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1、方向导数与梯度方向导数与梯度实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？最快到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行向（即梯度方向）爬行一、方向
2、导数的定义一、方向导数的定义 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方沿某一方向的变化率问题向的变化率问题当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，是否存在？是否存在？记为记为方向导数的几何意义方向导数的几何意义过直线过直线 作平行于作平行于 z 轴的平面轴的平面 与曲面与曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲线记为所交的曲线记为 C 表示表示C 的割线向量的割线向量 即即即即割线转化为切线割线转化为切线上式极限存在就意味着当点上式极限存在就意味着当点趋于点趋于点 曲线曲线C在点在点 P0 有唯一的切线有唯一的切线它关于它关于 方向的斜率方向的斜率就是方向导数就是方向导数LCM0TP0PMl证
3、明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到故有方向导数故有方向导数解解解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知故故推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义解解令令故故方向余弦为方向余弦为故故二、梯度的概念二、梯度的概念在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量等高线等高线等高线的画法等高线的画法例如例如,梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：此时此时 f ( x , y ) 沿该法线方向的方
4、向导数为沿该法线方向的方向导数为 故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。向。梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故例例5 求函数求函数
5、沿曲线沿曲线在点在点处处的的内法线方向的方向导数内法线方向的方向导数解一解一用用方向导数计算公式方向导数计算公式即即要求出从要求出从 x 轴正向沿逆时针轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角转到内法线方向的转角在在两边对两边对x 求导求导解得解得（切线斜率）切线斜率）故故法线斜率为法线斜率为内法线方向的方向余弦为内法线方向的方向余弦为而由而由得得解二解二用梯度用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值值, 即梯度是函数在这点增长最快的方向即梯度是函数在这点增长最快的方向 从
6、从等高线的角度来看，等高线的角度来看，f ( x , y ) 在点在点 P 的梯度的梯度 方向与过点方向与过点P 的等高线的等高线 f ( x , y ) = C 在在这点这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线指向数值较高的等高线等高线为等高线为f ( x , y ) = C 即即椭圆椭圆大于椭圆大于椭圆因此因此在点在点处的处的内法线恰好是梯度方向内法线恰好是梯度方向故故三、小结三、小结1、方向导数的概念、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）2、梯度的概念、梯度的概念（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案
