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1、,第3章 直线与平面、平面与平面的相对位置,直线与平面、平面与平面的相对位置,3.1平行问题 3.1.1直线与平面平行 3.1.2 两平面平行 3.2相交问题 3.2.1利用积聚性求交点或交线 3.2.2利用辅助平面法求交点或交线 3.3垂直问题 3.3.1直线与平面垂直 3.3.2两平面垂直 3.4 点、线、面综合解题 3.4.1解题的一般步骤 3.4.2 解题示例,3.1平行问题,3.1.1直线与平面平行,定理：若空间一直线与平面上的任一直线平行，则此直线必定与该平面平行。,(a) (b) 图3-1直线与平面平行,3.1平行问题,【例3-1】 已知ABC和平面外一点E的投影（图3-2a），
2、过点E作一水平线EF，使其平行于ABC平面。,分析：根据直线与平面平行的几何条件，所作直线应平行于ABC平面内的水平线。在ABC平面内可作无数条水平线，它们之间均相互平行。为作图方便，本题作过A点的水平线AI，然后过E点作EFAI，即为所求。,(b)作平面内水平线 （c）完成作图,3.1平行问题,【例3-2】 已知ABC和平面外一直线EF的两面投影（图3-3a），判断直线EF是否与给定平面ABC平行。,(a) 图3-3判断直线与特殊位置平面是否平行,分析判断：因为直线EF的投影与铅垂面ABC的有积聚性的投影相互平行，则直线EF与铅垂面ABC平行，空间分析如图3-3b所示。,(b),3.1平行问
3、题,3.1.2 两平面平行,若一平面上的两条相交两直线，分别与另一平面上的两条相交两直线对应平行，则两平面相互平行。,(a) (b) 图3-4两平面平行的条件,3.1平行问题,【例3-3】过点K作一平面平行于由平行两直线AB和CD确定的平面（图3-5a）。,(a)题设 图3-5过 K点作已知平面的平行面,分析：最简便的方法就是过点K作一对相交直线对应平行于已知平面内一对相交直线，由于已知平面由平行两直线确定，因此应先在已知平面内作一直线与AB、CD相交。,(b)作图,3.1平行问题,【例3-4】试判断已知平面ABC和平面DEF是否平行（图3-6a）。,(a) 题设 图3-6判断两一般位置平面是
4、否平行,分析：可过一平面上一点作两相交辅助线，与另一平面的一对相交直线对应平行， 如果能证明所作辅助线属于前一平面，则该两平面就互相平行。,(b)作图,3.1平行问题,【例3-5】试判断已知平面ABC和平面DEF是否平行（图3-7a）。,(a) 图3-7判断两特殊位置平面是否平行,分析判断：从已知两平面的水平投影可知，这是两个铅垂面，而且有积聚性的水平投影平行，所以不用作图，可直接判断两个平面是平行的，空间分析如图3-7b所示。,(b),3.2相交问题,直线与平面如不平行，则一定相交于一点（图3-8a），该交点是直线与平面的共有点。它既属于直线，也属于平面。两平面如不平行，则一定相交于一条直线
5、（图3-8b），该交线是两平面的共有线。求交线时，只要求出属于该交线上的两点（即两平面的两个共有点）或一个共有点和交线的方向即可作出交线。,(a) 直线与平面相交 (b)两平面相交 图3-8相交问题,根据直线或平面对投影面的位置，求直线与平面的交点及两平面交线的方法一般有利用投影的积聚性求交线，或利用辅助平面法求交点或交线两种。,3.2相交问题,3.2.1利用积聚性求交点或交线,1）投影面垂直线与一般位置平面相交 【例3-6】求铅垂线EF与一般位置平面ABC的交点K（图3-9a）。,(a) 题设 图3-9铅垂线与一般位置平面相交,(b)作图过程 (c)结果,分析：因为水平投影ef积聚为一点，可
6、知EF是铅垂线，交点K的水平投影k与ef重影。因为K点也是ABC内的一点，利用平面上取点的方法，作出交点K的正面投影k。,3.2相交问题,2)一般位置直线与特殊位置平面相交 【例3-7】求直线MN与ABC平面的交点（图3-10a）。,(a)题设 图3-10一般位置直线与铅垂面相交,分析：由于ABC平面为铅垂面，其水平投影积聚为一直线，因此，水平投影中abc与mn的交点k必为直线与平面的交点K的水平投影，然后再根据K与直线MN的从属关系，利用直线上取点的方法求出其V面投影，空间分析如图3-10b所示。,(b)空间分析,(c)作图过程 (d)作图结果,3.2相交问题,3）一般位置平面与投影面垂直面
7、相交,当相交两平面中有一个平面的投影有积聚性时，即可利用有积聚性的投影来确定交线的一个投影，交线的另一个投影，可以按平面上取点、取线的方法作出。,【例3-8】求ABC与DEF的交线（图3-11a）。,(a) 题设 图3-11铅垂面与一般位置平面相交,(b) 空间分析,分析：从图3-11b可知，DEF为铅垂面，水平投影积聚为一直线；ABC为一般位置平面，两个投影都是类似形。交线的水平投影一定与DEF的水平投影重合，即在def与abc重叠的共有部分。可利用属于直线上点的求法，在abc的对应边线上求出交线的V面投影。,(c) 作图,3.2相交问题,4）两特殊位置平面相交,指两个平面对同一个投影面都具
8、有积聚性的情况，这时两平面的交线同时也对此投影面具有积聚性。,分析：从图3-12a看，ABCD和EFGH均为正垂面，两个正垂面的交线是一条正垂线，正面投影积聚为一点，其水平投影垂直于X轴，空间分析如图3-12b 所示。,(b) 空间分析 (c)作图结果,3.2相交问题,3.2.2利用辅助平面法求交点或交线,当相交两几何元素都不垂直于投影面时，其投影均无积聚性，不能从投影图上直接利用积聚性作图，这时可利用辅助平面的方法来求交点或交线。其基本原理和作图步骤如下（图3-13）： （1）过已知直线作一辅助平面。为作图方便，一般所作辅助平面应为特殊位置平面，如过EF作辅助平面P为一铅垂面。 （2）作出该
9、辅助平面与已知平面的交线，如P平面与ABC的交线MN。 （3）作出该交线与已知直线的交点，即为已知直线与已知平面的交点，如MN与EF的交点K。,图3-13用辅助平面法求交点,3.2相交问题,1)一般位置直线与一般位置平面相交 【例3-10】求直线EF与ABC 平面的交点（图3-14）。,(a)题设 图3-14求一般位置直线与一般位置平面的交点,(b)作图过程 (c)作图结果,分析：直线EF为一般位置直线，ABC 为一般位置平面，投影均无积聚性，需用辅助平面求交点。辅助面一般为过直线某一投影作投影面垂直面，通常用迹线表示。,3.2相交问题,2）一般位置平面与一般位置平面相交,两一般位置平面相交，
10、由于其投影均无积聚性，因此，交线也不能直接求出，同样需用辅助平面法求。求作时可将一平面中的某一边看成是一直线，利用一般位置直线与一般位置平面求交点的方法，求出交点。再取另一条边，同样方法求出交点，两交点同面投影连线即交线的投影。,3.2相交问题,【例3-11】求ABC与DEF的交线（图3-15a）。,(a) 题设 图3-15 求两一般位置平面的交线,(b) 作图过程 (c) 结果作图,分析：选取ABC的两条边AB、AC，分别作出它们与DEF的交点，连接两交点即为所求的交线。,3.3垂直问题,3.3.1直线与平面垂直,定理：直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。应用直角
11、投影定理，该直线的水平投影必垂直平面上水平线的水平投影，该直线的正面投影必垂直平面上正平线的正面投影。此定理的逆定理成立。,（a） (b) 图3-16直线与平面垂直,3.3垂直问题,【例3-12】试过定点N作给定平面ABC的法线MN（图3-17a）。,(a) 题设 图3-17 过点作平面的垂线,分析：为方便应用直角投影定理，在ABC内分别作正平线和水平线，然后使所作直线分别垂直于正平线的正面投影和水平线的水平投影，则所作直线与给定的平面垂直。,(b) 作图,3.3垂直问题,【例3-13】已知由平行两直线AB和CD 给定的平面（图3-18a），试判断直线MN 是否垂直于该平面。,(a) 题设 图
12、3-18 判断直线是否垂直于平面,分析：关键是验证直线MN是否能垂直给定平面的一对相交直线，为方便应用直角投影定理，应在平面内分别作正平线和水平线，然后验证所给直线是否分别垂直于正平线的正面投影和水平线的水平投影。,(b) 作图,3.3垂直问题,3.3.2两平面垂直 如一直线垂直一平面，则包含这一直线的所有平面都垂直于该平面。反之，如两平面互相垂直，则从属于第一平面上的任意一点向第二平面所作的垂线，必定属于第一平面。,(a) (b) (c) 图3-19 两平面垂直,3.3垂直问题,【例3-14】已知铅垂面ABC、直线ED和K点（图3-20a），过K点作一平面垂直于ABC，并平行于ED。,(a)
13、题设 图3-20过点作平面垂直于铅垂面且平行于已知直线,分析：只要过K点作直线垂直于ABC ，则包含该直线的所有平面都垂直于ABC。由于ABC是铅垂面，则过K点作ABC的垂线KN必为水平线，其水平投影knabc，正面投影knX轴，再过K点作一直线KMED，则KM、KN两相交直线所组成的平面一定垂直ABC，并平行于ED。,(b)作图,3.3垂直问题,【例3-15】判断ABC平面与相交直线GH、KL所确定的平面（图3-21a）是否垂直。,(a)题设 图3-21判断两平面是否垂直,分析：判断两平面是否垂直，只要在第一个平面内任取一点，向第二个平面作垂线，并判断垂线是否在第一个平面内。若在，两平面垂直
14、；反之，则不垂直。,(b)作图,3.4 点、线、面综合解题,3.4.1解题的一般步骤 （1）分析题意 首先应仔细分析已知条件和欲求的结果，及其对应满足的条件。要 根 据几何元素的投影特性，分析已知几何元素的空间位置和相互关系。 （2）确定解题方法和步骤 在分析题意的基础上，确定解题方法和步骤。即以有关的几何概念和定理，以及有关的投影概念为依据，进行必要的逻辑推理、空间思维和空间分析。一般地说，应当在想象中建立起空间几何模型，也可借助于画轴测图或以简易模型（如以笔代线，以纸代面）帮助构思。 （3）投影作图 将设想的解题步骤逐步绘制在投影图上，求出最后结果，完成作图。,3.4 点、线、面综合解题,
15、3.4.2 解题示例,常用的解题方法有“轨迹法”和“反推法”。 “轨迹法”就是根据已知条件和题目要求进行空间分析，分别作出满足题目各个要求的轨迹，例如与两点等距离的点的轨迹为两点连线的中垂面；与某平面平行的直线轨迹为该平面的平行面；若出现正方形、矩形、菱形、等腰三角形等，轨迹通常用垂直面等。然后求出这些轨迹的交点或交线，则为所求答案。 “反推法”则是先假设最后的解答已作出，然后应用有关的几何定理进行空间分析，找出最后答案与已知条件间的联系，并由此得到的解题的方法和步骤。应该说这两种方法经常是相辅相成，不可分割的。,3.4 点、线、面综合解题,【例3-16】作一直线与已知三直线相交，且有一交点K 平分线段FE（图3-22）。,分析：即求作直线上三个点分别在交叉的直线上，设与AB交点为N，与EF交点为K（平分点），与CD交点为M。 关键先求出EF的中点K，并与CD组成平面KCD，包含AB直线作辅助平面，求与KCD相交的直线，交线与AB的交点是线上一个端点N，连接已求两点并延长与C
