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1、第五节 可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.内容分布图示 型)(xfyn 例 1 例 2 例 3 型 例 4),(f 例 5 例 6 例 7 型),(yf 例 8 例 9 内容小结 课堂练习 习题 125 返回内容要点：一、 型)(xfy在方程 两端积分，得1)(Cdxfy再次积分，得21)(f注：这种类型的方程的解法，可推广到 阶微分方程n，)()(xfy只要连续积分 n 次, 就可得这个方程的含有 n
2、个任意常数的通解.二、 型)(yxf这种方程的特点是不显含未知函数 y，求解的方法是：令 则 ，原方程化为以 为未知函数的一阶微分方程，),(p )(xp )(xp.,f设其通解为 ),(1Cxp然后再根据关系式 又得到一个一阶微分方程,py ).,(1Cxdy对它进行积分，即可得到原方程的通解 .),(21三、 型),(yf这种方程的特点是不显含自变量 x. 解决的方法是：把 暂时看作自变量，并作变换y于是，由复合函数的求导法则有),(py .dpxydpy这样就将原方程就化为 ).,(pyf这是一个关于变量 y、p 的一阶微分方程. 设它的通解为 ),(1C这是可分离变量的方程，对其积分即
3、得到原方程的通解 .),(21xyd例题选讲：型)(xfy例 1（讲义例 1）求方程 满足 的特解.xeyxcos2 1)0(,)(y例 2（讲义例 2）求方程 的通解.0)3()4(例 3 质量为 的质点受力 的作用沿 轴作直线运动. 设力 仅是时间 的函数: mFOxFt在开始时刻 时 随着时间 的增大, 此力 均匀的减少, 直到).(tF0t,)(0t时, 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.Tt.型)(yxf例 4（讲义例 3）求方程 的通解.02)1(2dxyx例 5 求微分方程初值问题. ,2)1(yx,1030xy的特解.例 6 求微分方程 满足 且当 时， 有界的特解.yx),(y例 7（讲义例 4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.型),(yf例 8（讲义例 5）求方程 的通解.02y例 9 求微分方程 满足初始条件 的特解.)(y ,1)0(y2)(课堂练习1. 求方程 的通解.xyln2.求微分方程 满足初始条件 的特解.23 1|,|00xxy3.一质量为 m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落 , 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.
