复杂系统与复杂网络-何大韧

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1、复复杂杂系系统统与复与复杂杂网网络络 Complex Systems and Complex Networks 何大韧 刘宗华 汪秉宏 编著 高等教育出版社 3 前前 言言 十年之前（1998 年 6 月 4 日），Nature 发表了两位年轻的物理学家（D. J. Watts and S. H. Strogatz）关于网络的一篇论文。一年多之后（1999 年 10 月 15 日），Science 又发表了另 外两位年轻的物理学家（A. L. Barabasi and R. Albert）关于网络的另一篇论文。这两篇论文 引发了关于复杂网络的研究热潮。这个潮流席卷全球，涉及数学、力学、物理学、

2、计算科学、 管理科学、系统科学、社会科学、金融经济科学等许多科学领域，以及交通运输、能源传输、 通讯工程、电子科学，甚至医学、烹饪等许多应用学科。至今(2008 年 3 月)为止，D. J. Watts and S. H. Strogatz 的论文被 SCI 收录的论文引用 5670 次；A. L. Barabasi and R. Albert 的 论文被引用 3275 次。 人们把周围的许多系统（天然的或者人造的，例如交通网、电力网、人际关系网等等） 看作网络由来已久，运用数学的一个分支“图论”对这些系统进行研究也已经有百年以 上的历史。上述两篇文章的重要之处在于作者发现许多实际网络具有一些

3、共同的拓扑统计性 质，即“小世界性”和“无标度性”。这些性质既不同于规则网络，也不同于随机网络，正 像近几十年来物理学家认为“复杂位于规则与随机之间”一样，所以大家把实际网络称为 “复杂网络”。所谓小世界性是指实际网络具有比规则网络小得多的平均节点间距离和比随 机网络大得多的平均集群系数（即邻点之间也相邻，形成紧密集团的比例）；而无标度性则 指实际网络中节点邻边数取一个定值的概率分布函数是幂函数（规则网的这个分布是 函数， 而随机网是正态分布）。这个幂函数标志基本单元与其邻居相互作用能力的极其不均匀分布。 更加引人注目的是：论文的作者提出了解释这些独特规律的网络演化模型，而且运用统计物 理学方

4、法从这些模型解析地得出了这些独特规律。这些模型的思想简单明白、直观合理。产 生小世界性的机制就是一部分基本单元之间相互作用的远程性、跳跃性和随机性；产生无标 度性的机制就是基本单元建立相互作用的“优选”（或者称为“富者更富”）法则。这是第 一次把统计物理学的思想和方法引进网络或者图论的研究，因此，若与传统的图论或网络理 论比较，也许可以说当前的复杂网络研究的特征就是统计物理学的进入，所以应该把统计物 理学列入复杂网络研究的基础知识之中。 在这十年中，不止一次地有人发表议论，说复杂网络研究已经差不多了，现在参加已经 太晚；或者说复杂网络研究的前途已经在于各个实际领域中的应用，基础研究已经基本到头

5、 等等。然而，事实正好相反，国内外的复杂网络研究，包括基础研究和可能的应用研究，都 在快速发展。自从复杂网络研究兴起，我国物理学界就及时融入了世界科学的新潮流。 20002001 年间，胡进锟、熊诗杰、邹宪武、金准智、陈天仑、胡班比、胡岗、汪凯歌、高 自友、朱陈平、汪小帆、陈关荣等人在 SCI 期刊 Phys. Rev. E、 Phys. Rev. B 和 Comm. Theo. Phys.上发表了早期工作。其中汪小帆、陈关荣等人 20012002 年的论文引起了较大 的反响。与此大约同时的还有刘宗华、来颖诚等 2002 年在 Phys. Lett. A，以及欧阳颀等人 2002 年在 Phy

6、s. Rev. E 发表的文章。2004 年初夏在无锡召开全国第一次复杂网络学术论坛时， 只有 50 人参加、20 人发言。到了 2006 年初冬在武汉召开全国第二次复杂网络学术大会时， 就有 300 人参加、200 多人发言。在 2007 年 11 月上海的全国第三次复杂网络学术会议上， 仅经过严格审稿最后收入会议论文集的论文就有 249 篇，参加会议的人数超过 400。估计全 国从事复杂网络研究的人数以千计，包括数学、力学、物理学、计算科学、管理科学、系统 科学、社会科学、金融经济科学等许多科学领域，以及交通运输、能源传输、通讯工程、电 子科学，甚至医学、烹饪等许多应用学科的研究生和研究人

7、员。正如香港城市大学的陈关荣 教授为 2006 年武汉全国第二次复杂网络学术大会文集所写的序言中说的：“从过去这几年 国际上复杂网络的研究进展来看，发表的论文数量有增无减，专著陆续出版，论题的覆盖面 不断拓宽，理论的探讨不断深入，并且渗透到越来越多的不同学科、特别是边缘和交叉学科 里面去，可见其发展姿态依然是方兴未艾、形势喜人。展望不远的将来，可以预见，像复杂 网络这样规模庞大、非线性强、复杂度高而且种类繁多的多节点连接巨型动态系统，其研究 4 工作绝不会在短期内就取得比较完整的结论，其发展状态亦绝不会直线式地迅猛上升；但是 也正因为这样，其发展趋势亦一定不会很快地衰落下来。毋庸置疑，复杂网络

8、应该是相关领 域里新一代研究生和青年科研工作者选题定向和专业发展最好的选择之一。” 为什么还需要深入地进行复杂网络的研究？复杂网络研究的最主要目标是什么？可能不 同的人有不同的看法。我们三位作者作为物理学工作者，习惯于从物理学发展的角度看问题。 本书的读者们应该都熟悉经典物理学，尤其熟悉经典力学和经典电磁学，这是物理学中 比较接近我们周围的世界，因此比较好懂，又特别能显示由牛顿及其追随者们创立、完善的 现代物理学方法论框架美妙魅力的部分。在经典力学和经典电磁学中，研究的对象运动 物质，被想象为可以被分割为无限多个无限小，又在空间中连续分布的的基本单元的集合。 这些基本单元（质点或者电荷元）被想

9、象地放在均匀空间中的各个规则格点位置上，因此， 使用千年前数学家们创造的坐标体系就可以完善地描述这个体系的运动。尽管各个基本单元 的空间位置不同，而且一般来说在随时间变化，但是由于它们之间的相互作用遵从已经被认 识的简单、普适基本法则，因此运用几百年前创立的微积分工具（以及基本思想类似的一些 现代数学工具）就可以非常简明地表示支配每一大类客观体系运动变化的普遍动力学规律， 并且可以用来准确地预言这些体系未来的行为，为人类服务。以坐标的运动学描述和微积分 （以及其它基本思路相似的现代数学方法）为基础的动力学描述起着现代物理学辉煌大厦的 支柱作用。这些认识导致了现代人类灿烂的物质与精神文明。 然而

10、，自然界中存在大量不适于或者不能够用这种方法论（被称为“还原论”）讨论的 系统。在第一类系统中，虽然我们原则上可以运用还原论进行它们演化的讨论，但是实际上， 由于基本单元的相互作用涉及非常多的因素，这些因素又极其错综复杂地交连，所以不但进 行动力学的解析讨论不可能，连不考虑近似的“理想精确”数值“从头计算”也不大可能。 与国计民生密切相关的气象系统、地震系统、足够复杂结构的各种材料系统都是这类系统的 例子。可以说随着物理学研究的不断深化，几乎各个物理学分支的前沿都涉及这类复杂系统。 物理学家越来越认识到不能继续被局限在还原论的框架内去讨论这类系统，必须探讨全新的 思想方法论才有解决问题的希望。

11、除此之外，另一类系统根本不能用还原论来处理，这是由 于这类系统基本单元的“组织”会“涌现”许多种大量分立个体不会展示的性质，因此不可 能仅仅依据单元个体性质来预言系统整体的丰富行为。这类系统的最典型代表是具有生命特 征的所谓“自适应系统”（即基本单元具备根据外界信息进行预期、采取对策、改进自身及 其与其它单元或环境的关系的系统），例如生物系统、生态系统、社会系统、经济系统等。 近几十年来，由于各门科学，尤其是计算机科学和非线性科学的发展，许多科学家（包括物 理工作者）认为突破还原论的限制，寻求描述复杂系统的概念和理论，把物理学的适用领域 推广到复杂系统的任务已经提上日程。 改造世界必须先认识世

12、界，而认识世界必须先描述世界。世界上的客观系统是由规则、 均匀分布，全同、遵从简单普适规律的基本单元构成的，还是由高度不规则、不均匀分布， 显示丰富多彩的种类、相互作用、组织的基本单元构成的？这可能是把物理学推广向复杂系 统时要回答的首要问题。这个问题看来正在引起物理学家（以及许多领域内的科学家）对复 杂网络研究的空前热烈兴趣。 最简单地回顾一下生物学研究的历史可能是有益的。20 世纪前，生物科学基本上属于经 验科学，没有多少真正可称为理论的东西。20 世纪中叶以后，物理学、化学的仪器与方法大 规模地进入生物学研究，同时带给生物学的还有物理学先分解、再综合的方法论。20 世纪后 期盛极一时的分

13、子生物学体现了这些变化导致的辉煌成就。“分解”发现了蛋白质结构、基 因、以及遗传信息序列等等。然而，“综合”却遇到了非常大的困难。生物系统远远不像经 典物理学研究的力学或电学系统那样容易从基本单元综合起来，生物系统基本单元的种类太 多、它们之间的作用太错综复杂，也许只有用网络（可能还是一大堆网络）来形容才比较合 适。这就是 21 世纪开始后系统生物学（包括所谓“生物网络”）兴起的原因。这个发展历 5 程和形势吸引了大批物理学家试图进入生命科学研究领域。 前面所说的 Nature 和 Science 上发表的那两篇论文在物理学界引发了地震，使许多物 理学家，尤其是统计物理学家认识到实际系统使用网

14、络描述的重要性、统计物理学进入网络 研究并大有作为的可能性、以及网络描述作为复杂系统研究工具的可能光辉前景。近十年来， 复杂网络研究的论文车载斗量，然而，要达到物理学家寻求复杂系统动力学理论框架的目标， 复杂网络研究还任重而道远。 首先，复杂网络研究依赖的主要数学基础理论“图论”的主流还很难与物理学动力 学描述的要求挂钩。从 1736 年诞生开始，图论研究就集中于位于某个平面（或二维曲面） 上的一些基本单元之间的位置关系、这些位置之间的某种联系、以及图上某种量的传播等问 题。这种对系统基本单元及其相互作用的描述是“静态”和“平面”的，没有提供对相互作 用丰富特性及其随时间演化的描述方法，更缺乏

15、总结这些相互作用特征与规律，从而预言系 统行为的手段。就我们所知，突破传统框架的图论研究成果已经开始发展，并正在给物理学 家极大鼓舞。此外，已经有一些从其它角度探索复杂网络动力学工具的研究。我们将根据自 己的理解，选择这些研究成果的一部分在本书最后一章予以简介。然而，这些研究只能说是 一个开始。 其次，复杂网络这样的研究对象对于统计物理学也是新问题。统计物理学还不能提供针 对这类对象的最有效思想、方法、工具。目前的研究在借用一些多年来对许多类研究对象行 之有效的方法，例如平均场理论、主方程、率方程、生成函数、最大似然估计等。本书将从 物理角度简介这些方法。专门针对复杂网络研究的统计物理学方法的

16、发展将是物理学工作者 的一个重要探索方向。 还有不少原因可以被列举，来说明复杂网络研究还将不断地推出意义重大的研究成果， 还会热烈地延续很长时间。正像 R Albert 和 A. L. Barabasi 在他们 2002 年 Reviews of Modern Physics 发表的综述文章（被 SCI 收录论文引用次数：4231 次）中所说的，“我们相 信，这些（已经获得的）结果仅仅是一杯冰淇淋的小尖”。我们同样相信，还会有很多年轻 朋友们陆续进入这个前程远大、可能对人类具有重大影响的科学领域，还会有许多关于这个 领域的研究专著出版。如果本书能作为一本入门引导，能被一些青年朋友喜欢，我们将感到 无比欣慰。 在我们的知识范围内，虽然国外关于复杂网络的科学专著已经出版几十本，还没有一本 特别考虑初学者的需求。国内已经出版了两本关于复杂网络的高水平专著。第一本是“复杂 网络”，由郭雷、许晓鸣等（包括本书作者之一汪秉宏）主编（上海科技教育出版社 2006 年 11 月）。它由 31 位作者（包括本书作者之一何大韧）分工写作 13 章。每一章由熟悉该 方向的专家