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1、24函数与不等式郝变花学习目标1体会函数与方程、不等式之间的联系，初步掌握函数与方程思想在不等式问题中的应用2重点掌握函数知识在比较大小、研究不等式解集、探讨含参系数不等式能否成立问题、证明不等式问题中的应用3注意体会和总结函数思想、数形结合思想、等价转化思想在本讲中的应用一、夯实基础基础达标1的值域为，且存在实数，使得，则实数的取值范围是（ ）ABCD2如果那么_；不等式的解集是_3已知函数则不等式的解集是（ ）AB C D4设，均为正数，且，则（ ）ABCD5若不等式在范围内恒成立，求的范围二、学习指引自主探究1设，是一个函数，我们知道方程的解的集合就是函数，图象与轴交点的横坐标的集合，也
2、就是函数，零点的集合，那么不等式或的解集与函数，有何关系呢？2设，是两个函数，我们知道方程的解的集合就是函数，图象交点的横坐标的集合，那么不等式的解集与函数，有何关系呢？3根据上述两个问题的观点，研究一元二次不等式与二次函数的关系令，重点研究情况图象的根没有实数根的解集的解集对于情况如何处理？4（1）二次不等式在上恒成立，系数应满足什么条件？（2）二次不等式解集为，系数应满足什么条件？5我们已经知道，定义在上的函数最小值为，则对一切恒成立我们类比得到如下结论：设，都是定义在上的函数，则对一切恒成立以上结论正确吗？如果正确，请证明：如果不正确，请思考：有无可能从一侧推出另一侧；给出“恒成立”的等
3、价条件6设，都是定义在上的函数，是待定常数（1）存在，使得，的取值应满足什么要求？（2）在在，使得，的取值应满足什么要求？案例分析1不等式的解集为_【解析】因为函数是定义在的增函数，所以故不等式的解集为2已知，有下列结论：；其中正确的结论序号为_【解析】由，可知函数的图象是开口向下的抛物线又，所以，所以，所以答案为说明：本题考查同学们对二次函数性质和图象的理解，特别是函数的零点、图象的对称轴、图象在轴上的截距等的特性请同学们注意综合考虑条件，由条件推出尽可能多的函数性质，例如由条件可知函数的另一个零点大于2，对称轴在5的右边等3已知，函数的定义域为（1）若，求实数的取值范围；（2）若方程在内有
4、解，求实数的取值范围【解析】（1），则在内至少有一个值，使成立，即在内至少有一个值，使得成立设，则，当时，则在上是单调增函数，所以当时，；所以当时，即的值域是，所以时，（2）若方程在内有解，则在内有解，在内至少有一个值，使得成立设，可证在上是减函数，所以，；当时，则在上是单调增函数，所以时，在内有解点评：解答本题的关键是利用函数与方程的思想对原命题进行等价转化一个看似函数性质讨论的问题被等价转化为不等式有解问题，而一个看似方程解的讨论问题又被转化为求不含参系数函数值域的问题同学们应从本问题的解法中获得思维的启迪4已知，（1）试比较与的大小；（2）利用（1），研究函数，的单调性【解析】（1）引入
5、中间量，对于和，由于指数函数在上单调递减，所以有；对于和，由于幂函数在上单调递增，所以有，于是我 们有（2）任取，且，则由（1）知道，两边取自然对数，有，所以函数，单调递增三、能力提升能力闯关1（1）已知关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围_（2）若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则实数的取值范围是_2（1）不等式对任意恒成立，求的范围（2）已知函数对任意都有意义，求实数的取值范围3已知函数和的图象关于原点对称，且（1）求函数的解析式；（2）解不等式拓展迁移1（1）（2011年天津）对实数与，定义新运算“”：设函数，若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） AB
6、CD（2）若函数，其中表示，两者中的较小者，则的解集为（ ）ABCD2设定义在上的减函数满足对于恒成立，求实数的取值范围挑战极限1解决下列问题：（1）解不等式（2）已知函数在上是增函数，求证：课程小结1不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式知识是高中数学的重要内容，尤其是解不等式知识，应用更是频繁，如求函数的定义域、值域及求变量取值范围问题等2不等式问题往往与函数概念、图象、性质密切联系，某些解不等式问题如果用纯代数方法不易求解时，可考虑引入函数，从函数性质或函数图象角度研究不等式解集3研究含参数不等式能否成立问题时，可考虑使用“分离参数”这种思维方
7、法，我们称为“分离参数法”，其思维要点是将参变数与主变量分离于表达式的两边，然后根据主变量的取值范围决定参变数的取值范围，这种方法可避免复杂的分类讨论，使问题得到时简单明快的解决，其中渗透的思想方法是“等价转化思想”，即把不等工中恒成立问题转化为求函数的最值问题4构造函数，利用函数的单调性或函数最值是解决比较实数大小、证明不等式问题中常用的方法24函数与不等式基础达标1C【解析】存在实数，使得，等价于函数至少有一个函数值大于，这意味着函数图象上至少存在一点落在直线上方，所以函数图象的最高点必在直线上方，即，选C21，【解析】，3A【解析】解法一：或或，即解法二：， 解法三：在直角坐标系中，画出
8、函数和的图象，不等式的解集就是函数的图象落在函数图象上方所有点的横坐标形成的集合，容易看出为4A【解析】在同一直角坐标系中，作出四个函数，的图象，就是函数，图象交点横坐标；就是函数图象交点横坐标；就是函数，图象交点横坐标，从图上容易看出5【解析】方法一：画出与，不等式在范围内恒成立，不可能，从而在上为增函数，减函数，故必有，（注意到为什么可取等号？）即，得又，所以方法二：由方法一知，于是在上为增函数，后略自主探究1【解析】不等式解的集合就是函数，图象落在轴上方点的横坐标的集合；不等式解的集合就是函数，图象落在轴下方点的横坐标的集合如果我们能够准确知道函数，图象与轴的相交情况，那么不等式或的解集
9、也就能够直观地获得如右图，我们可以得到：或2【解析】不等式解的集合就是函数图象落在函数图象上方点的横坐标的集合我们也可以令，则不等式解的集合就是函数的图象落在轴上方点的横坐标的集合如上图，我们可以得到：不等式解为或3【解析】的图象的根两个不等的实数根两个相等的实数根没有实数根的解集的解集对于情况，我们可以在二次不等式两边同时乘以即可将目标不等式转化为上述三种情形4【解析】（1）二次不等式在上恒成立，意味着二次函数图象恒在轴下方，所以系数应满足（2）令，二次不等式解集为意味着当且仅当时，函数图象落在轴上方，所以问题等价于：且，是二次函数两个不同的零点，故有，说明：不可忽视，这两个条件5【解析】不
10、正确可以从右侧推出左侧，但从左侧不能推出右侧恒成立恒成立恒成立说明：并不是，而是函数的最小值【解析】（1）存在，使得，意味着函数图象上至少存在一点在函数图象上方，这样理解我们得不出关于的取值结论令，则问题可转化为：存在，使得，这等价于，即（2）存在，使得，意味着函数的值域中至少有一个函数值大于函数某一个函数值，这等价于函数图象的最高点不能低于函数图象的最底点，所以问题等价于能力闯关1（1）；（2）【解析】（1）作出函数的图象作出水平线，观察可得，取，解得（2）显然，于是不等两边同除以得令，不等式可化为作出函数的图象，作出水平线分析可知当，满足时，的解集中的整数恰有3个于是，即2【解析】（1）将
11、左边视为的函数，则对任意恒成立，令，的图象即为直线恒成立，解得功（2）问题等价于在上恒成立，令，显然函数单调递增，于是问题又等价于，又，所以实数的取值范围是3【解析】（1）设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则即因为点在函数的图象上，所以，即，故（2）由，可得，构造，画出函数，的图象，观察图象，得不等式解集为拓展迁移1（1）B；（2）C【解析】（1）由得其图象如右作直线，它与的交点个数一零点个数一致观察可知，（2）分别画出函数，的图象，容易知道从图上容易得到或，故应选C2【解析】原问题等价于对于恒成立，即对于恒成立令，对于恒成立，则，而，故令，对于恒成立，则而，故，解得或，所以实数的取值范围是挑战极限1【解析】（1）直接解这个高次分式不等式会比较困难，若能注意到，则不等式可化为，于是，我们构造函数，容易证明该函数在上是单调增函数，则原不等工可化为：，即等价于，解之得或（2）观察结构发现，所以要证不等式成立，只需要证明成立即可构造函数，因为函数在上是增函数而，所以，即，所以成立工厂搬迁对于一个企业来说，安全问题始终是第一位的，也是最基本的，过程中所涉及到的安全问题主要是人员的安全和设备拆装以及财产的安全。各部门经理和所有员工一定要以安全为核心，开展各项工作，职责到人、分工明确。
