吴冲锋制作金融工程学第二版制作10金融工程讲义第十讲

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1、金 融 工 程 学,第10章 期权的基本概念和定,价分析,开课单位：金融工程课程组,主讲：吴冲锋教授等,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,2,10.1 独特性 （1）期货特性：线性 10000,7500 5000 2500 0 (2500) (5000) (7500) (10000),94.00,95.00 96.00,97.00,98.00,99.00,100.00,101.00 102.00,结算价格,最 终 支 付 （ 马 克 ）,多头 空头,图4-1,债券期货合同双方的交付,(2) 期权特性：左右不对称，非线性 10000,7500,5000 2500 0 (2500) (50

2、00) (7500) (10000),94.00,95.00 96.00,97.00,98.00,99.00,100.00,101.00 102.00,最,终 支 付 （ 马 克 ）,多头 空头,结算价格 3,图4-2 国债（期货）期权合同双方的交付 金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,4,期权特性：左右不对称，非线性 4。0 3。0,2。0 1。0 0 -1。0 -2。0 -3。0 -4。0,6.00,7.00,8.00,9.00,10.00,11.00,12.00,13.00,14.00,最 终 支 付 （ 马 克 ）,多头 空头,结算价格

3、股票期权合同双方的交付，执行价为10,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,5,（3）期货与期权的根本区别： 期货同时有权利和义务 期权将权利和义务分离 利 润,权利,期货 多头,期货 空头,期货价格 义务 损 失 图4-3 期货：权利和义务结合,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,6,图4-4 期权：权利和义务分离,利 润,只有 权利,多头 看涨 期货价格,多头 看跌,损 失,义务,空头看 跌,损 失 利 润,期权买方 期权卖方 期货价格 只有,空头看涨,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,7,10.2 基本概念 看涨期权和看跌期权 持有一份看涨期权是： 买的权利 一定数量的

4、对应资产 一定的价格 在给定日期或者之前执行 注意：看涨期权的买方有权利而没有义务,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,8,持有一份看跌期权是： 卖的权利 一定数量的对应资产 一定的价格 在给定日期或者之前执行 注意：看跌期权的买方有权利而没有义务,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,9,芝加哥期权交易所S&P,指数期权的合约文本主要内容,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,10,欧式：只能在到期日行使的期权 美式：在到期日前任何一天都可以行使的期权 权利金（期权价格或期权费）：买方为了获得期权支付给卖 方的费用 交割价格（执行价格）：行使期权的价格，通常事先确定 内在价值：

5、如果期权立即执行其正的价值 时间价值：权利金超过内在价值的值 价内（折价）：有内在价值 价外（溢价）：没有内在价值 平价：行使价格等于相关资产价格,17,图4-10 美元对马克看跌期权的利润模式 金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,0.2500,0.2000,0.1500,0.4000 0.3500 0.3000,0.1000 0.0500 0.0000 -0.0500 -0.1000 -0.1500,1.40 1.45,利 润 （,马 克,）,1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 对应资产价格（美元/马克）,1.5

6、000,1.6000 1.7000 1.8000,1.9000,) = ln( ) + ln( ),18,（1）收益度量,收益率定义一：, 1,S t + 1 S t,不满足可加性,收益率定义二： ln(,),S t + 1 S t,，满足可加性，即,ln(,S t + 2 S t +1 S t +1 S t,S t + 2 S t,S t 收益率价格比的对数 ln( S 0 ) 满足正态分布,ln(,t ),S t S 0,) N ( t ， ,St：时刻 t 的根本资产价格,t 的随机正态分布,S0：时刻 0 的根本资产价格 N ( t， t ) ：均值为 t ，标准差为 ：年收益率 ：收

7、益率的年标准差 金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,19, 价格满足对数正态分布：,t ),S t / S 0 e N,( t , ,-60,-50,-40,30 20,-10,0,10,20,30,40,50,60,70,80,0. 020,中值=10%,标准差=20% 0. 015 0.010 0.005 0.000,图4-11 收益率的正态分布,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,20,0. 015 0.010 0.005 0.000,50,75,100,125,150,175,200,0. 020 中值=112.75,标准差=22.

8、78,图4-12 价格的对数正态分布,) E ln( ),) = E ln( ) + 0 .5Var ln( ) ）,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,21, 期望值的对数 对数的期望值,即,ln( E ,S t S 0,S t S 0,（因为， ln( E ,S t S t S 0 S 0,S t S 0, 2 t 2, t +,算术平均意义上的平均价格为 E ( S t ) = S 0 e,几何平均意义上的平均价格为, t,0 e,e E ln( S t ) = S,前者大于后者 例子： S0 = 100， = 0 . 1 ， = 0.2,2,= 112.75,S 1 的算术平均值

9、 100e 0.1+ 0.04,S1 的几何平均值,1 0 0 e 0 .1 = 1 1 0 .5 2,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,22,（2）期权定价布莱克斯科尔斯模型 期权收益 C T = max S T X ,0 期权期望收益 E(CT ) = Emax(ST X ,0) = P ( EST | ST X X ), rT,P (EST | ST X X ) ，,将 E (C T ) 贴现到现在，贴现值 C = e 即为现在需要付出的期权费， 其中 P： ST X 的概率,EST | ST X ：当 ST, X 时 S T 的预期价值,C ：期权开始时的适当价格 r ：连续的

10、复合零风险利率 T ：直至到期日的时间长度,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,23,一个例子： 0.1 ，,= 0.2 ， S 0 = 100 ， r = 0 . 12 ，执行价,120,P ( S T X ) = 0 .34,，,EST | ST X = 137.894 ， C = 0.34 e 0.12 (137.894 120) = 5.40,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,24,概 率 密 度,0.020 价格 S120= 0.34,0.015 0.010 0.005 0.00,50,75,100,125,150,175,200,价格 EST | ST X =137.

11、894 图4-13 对数正态分布, X ) = S 0 1 ) Xe N (d 2 ),N (d,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,25,),ln X S 0 (r 2 2)t t,) = 1 N (,Pr ob S T X = 1 N (,ln X S 0 ,式中 N () 为标准累积正态分布函数，,r 2 2 ， t,无风险利率定义为 (r 2 2)t ， ,) ),1 2,0,N ( d N ( d,E S,| S,e,rT,T,T,X = S,2 ) t,ln S,2,0,d 1 =,X ( r + t,，,d,2 ) t,ln S,2,0,2,X ( r t,t ,= d 1

12、 ,N (d1 ) N (d 2 ), rT,C = N (d 2 )e rT (S 0 e rT,布莱克斯科尔斯模型 图 4-14 和图 4-15 显示了蒙特卡罗模拟的结果,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,26,0.03 0.02,0.04,0.05,中值=112.75,标准差=22.55,概 率,0.01 0 40 62. 85 108 130 153 175 198 图4-14 对应资产价格的分布,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,27,概率=0.66,0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0,0.02 0.018 0.016

13、,0,3,6,9,12 15 18 21 24 27 30 34 37 40 43 46 49,概 率,期权价值 图4-15 期权价值的分布,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,28,模型假设： 根本资产可以自由买卖 根本资产可以卖空 在到期前根本资产没有任何收益 资金的借贷适用相同的无风险利率且为连续复利 欧式期权，即在到期前不能执行 没有任何税赋、交易成本或保证金 根本资产价格是时间的连续函数，不会出现跳动或间 断情况 根本资产的波动率、利率在契约期间不变,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,29,放宽假设： 根本资产买卖有约束 根本资产不能卖空 在到期前根本资产有收益或红利

14、资金的借贷无风险利率不相同 美式期权，即在到期前可以执行 有税赋、交易成本或保证金 根本资产价格出现突变 根本资产的波动率、利率均为随机过程,C = Se N ( d1) Xe,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,30,例如： 一份货币期权，其对应资产外汇是有收入的，即外汇 存款的利息。 可将标准布莱克斯科尔斯模型修改为：, r p t, rb t,N ( d 2 ) 高曼哥哈根模型, ,r b ：基础货币的连续复合利率 r p ：定价货币的连续复合利率 d1 = ln(S / X ) + (rp rb + 2 / 2)t / t ， d 2 = d1 t,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋

15、,2006,31,理论推导 (1) 布朗运动的假设,方差为1,z = t 关键在,t, 用t 是否可行, 是正态分布 零均值,E (z ) = 0 , Var (z ) = t,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,32,（2）股票价格过程的假设,几何布朗运动,ds = sdt + sdz,ds s,= dt + dz,dG = ,1 G ,dt +,2 x ,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2006,33,(3),Ito过程,设 dx = a( x, t )dt + b( x, t )dz 设G是x和t的函数，则有,bdz,G x,+,G t,a +, G x,2 ,2,2 x, G,1 G,2 t,金融工程讲义，吴冲锋 ,吴文锋,2