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1、第五章 导数的应用,5.1 函数的极值与最值 5.2 不定式的极限 5.3 曲线的凸凹性、拐点及函数图像 的作法 5.4 导数在经济管理中的应用 5.5 导数在最优化方面的应用 5.6 案例讨论,【开篇案例】,案例5.1 海鲜店李老板的订货难题,若一次订货太多，海鲜 卖不出去，而卖不出去的海 鲜死亡率高且保鲜费用也高； 若一次订货太少，则一个月 内订货批次必多，这样，一 则造成订货采购运输费用奇 高，另一方面还有可能会造成商机丧失。,如何选择订货批量，才能使每月的库存费与 采购订货运输费用的总和最小？,第五章 导数的应用,【学习目标】,1.极值与最值。 2. 不定式极限。 3. 函数曲线的凹凸
2、性、拐点。 4. 数学模型。,第五章 导数的应用,5.1 函数的极值与最值,函数的极值,设函数f(x)在x0的附近（或某邻域内）有定义， 且对此附近任一与x0不同的点x，均有f(x) f(x0)，则称f(x0) 是函数f(x)的一个极小值。,第五章 导数的应用,函数的极大值与极小值统称为函数的极值。 使函数取得极值的点称为函数的极值点。,5.1 函数的极值与最值,2. 函数的最值,设函数f(x)在闭区间a,b上连续，x0是区间a,b 上的一点。如果对此闭区间a,b上的任一与x0不同 的点x，均有f(x) f(x0) ，则称f(x0)是函数f(x)的一个 最小值。,5.1 函数的极值与最值,函数
3、最值与极值的区别：,(1) 极值是局部性的，最值是对整个定义域而言的；,(2) 极值只能在区间的内部取得，而最值则可能 在区间的端点取得；导数等于零或者不存在；,(3) 极值可以有多个，而最值一般各只有一个， 但最值点可以有多个。,5.1 函数的极值与最值,3函数极值的求法,5.1 函数的极值与最值,开篇案例海鲜店李老板的订货难题解法,解：设批量为x，运输费与保鲜库存费总和为P(x),其定义域为(0,a,如何确定批量x的取值，并使P(x)最小 ？,5.1 函数的极值与最值,定理 5.1 连续函数单调性判定定理,设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导。,（1）若在区间(a,b)内 ，则函数f(
4、x)在 (a,b)内单调递增；,（2）若在区间(a,b)内 ，则函数f(x)在 (a,b)内单调递减；,5.1 函数的极值与最值,定理 5.2 极值存在的第一充分条件,5.1 函数的极值与最值,5.1 函数的极值与最值,定理 5.3 极值存在的必要条件,设函数y=f(x)在x0及其附近可导，且f(x) 在x0处取得极值，则必有,5.1 函数的极值与最值,思考题：,设函数y=f(x)在x0及其附近可导，且,问点x0是否一定是y=f(x)的极值点？为什么？,？,5.1 函数的极值与最值,定理 5.4 极值存在的第二充分条件,(1) 若 ，则x0是函数f(x)的极大值点；,(2) 若 ，则x0是函数
5、f(x)的极小值点；,(3) 若 ，则该判别法失效，不能判断 x0是否为函数f(x)的极值点，这时只能转用第 一极值充分条件进行判别。,5.1 函数的极值与最值,解：(1)求一阶导数；,(2) 令一阶导数等于0，求稳定点；,(3) 求二阶导数 ；,(4) 求函数在稳定点的二阶导数值并下结论。,5.1 函数的极值与最值,4.函数最值的求法,设函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在 a,b上必有最大值与最小值，且最大值点、 最小值点必定是f(x)的极大值点或极小值点或 闭区间的端点上。,5.1 函数的极值与最值,求闭区间a,b上连续函数f(x)最值的一般 步骤：,（1）求函数f(x)在闭区
6、间a,b上所有可能的极值点；,（2）求出函数在极值点及端点的函数值；,（3）比较函数值的大小。,5.1 函数的极值与最值,解：（1）求可能的极值点；,（2）求f(x)在可能的极值点与端点的函数值；,（3）比较各值大小。,5.1 函数的极值与最值,求最大（小）值问题的两种特殊情况：（一）,5.1 函数的极值与最值,求最大（小）值问题的两种特殊情况：（二）,5.1 函数的极值与最值,解：（1）求函数可能的极值点：,得稳定点为,5.1 函数的极值与最值,是P(x)的极小值点，,5.1 函数的极值与最值,5.2 不定式的极限,1. 洛比达法则（ospital）法则,从几何直观上给以启示:,第五章 导数
7、的应用,（2） 洛比达法则,5.2 不定式的极限,2.洛比达法则应用举例,（1）基本型不定式极限的计算,例8求下列未定式的极限（ 型）,1）,5.2 不定式的极限,例9求下列未定式的极限（ 型）,（1）,（2）,5.2 不定式的极限,（2）其他类型不定式极限的计算,例 10求下列未定式的极限（ 型）,1）,2）,5.2 不定式的极限,例 11求下列未定式的极限（ 型）,（）,5.2 不定式的极限,进行计算。然后再转化为以下类型,5.2 不定式的极限,例 12求下列未定式的极限,）,2 ),5.2 不定式的极限,5. 3 曲线的凸凹性、拐点 及函数图像的作法,第五章 导数的应用,1函数的凸凹性及
8、拐点的定义,设函数y=f(x)在区间(a , b)内可导，如果曲线 弧位于其上任意一点切线的下方，则称此曲线弧 在区间(a , b)内是凸的（或向上凸的）；如果曲线 弧位于其上任意一点切线的上方，则称此曲线弧 在区间(a , b)内是凹的（或向下凸的）。,5. 3 曲线的凸凹性、拐点及函数图像的作法,设函数y=f(x)在区间(a,b)内连续，点x0是(a,b) 内的一点。如果曲线弧在区间(a, x0)是凸的，而在 (x0,b)是凹的；或情况正好相反。换言之，点x0是 曲线弧在(a,b)上凸与凹的分界点，则称点x0是函数 y=f(x)的拐点。,定义 5.4 拐点,5. 3 曲线的凸凹性、拐点及函
9、数图像的作法,2. 函数凸凹性的判别法,定理 5.5 函数凸凹性判别充分条件,设函数y=f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数，,5. 3 曲线的凸凹性、拐点及函数图像的作法,定理 5.6 拐点的必要条件,设函数y=f(x)在x0处有连续的二阶导数， 若点(x0, y=f(x0)是拐点，则,5. 3 曲线的凸凹性、拐点及函数图像的作法,定理 5.7 拐点的充分条件,设函数y=f(x)在点x0处连续，在点x0的 附近但不包括x0有二阶导数，若自变量x在 x0附近由左向右经过点x0时 变号，则点 (x0, f(x0)是曲线的拐点。,5. 3 曲线的凸凹性、拐点及函数图像的作法,3. 曲线的渐近线,
10、如果函数y=f(x)的自变量x沿着x轴趋于某 点或趋于无穷大时，其图像无限地靠近某条 直线（或曲线上相应的点(x,f(x)与某条直线 的距离趋于0），则称此直线是曲线y=f(x)的 渐近线。,5. 3 曲线的凸凹性、拐点及函数图像的作法,( 1 ) 水平渐近线,5. 3 曲线的凸凹性、拐点及函数图像的作法,（2）铅垂渐近线,5. 3 曲线的凸凹性、拐点及函数图像的作法,（3）斜渐近线,5. 3 曲线的凸凹性、拐点及函数图像的作法,所以直线 x=-2是该曲线的铅垂渐近线。,5. 3 曲线的凸凹性、拐点及函数图像的作法,（2）由,5. 3 曲线的凸凹性、拐点及函数图像的作法,函数图像的描绘,利用导
11、数描绘函数图形的一般步骤：,（1） 先求函数的定义域，确定函数的对称性 和周期性；,（2）求出函数的一阶导数和二阶导数；,（3）求出函数可能的极值点和可能的拐点；,（4）用可能的极值点和可能的拐点将定义域 划分几个区间并列表；,5. 3 曲线的凸凹性、拐点及函数图像的作法,（5）确定函数的单调性、极值、凸凹性、拐点；,（6）确定函数图形的渐近线；,（7）在直角坐标系中描出极值点、拐点甚至曲 线与坐标轴的交点等关键点，并结合单调性、 凸凹性用光滑曲线将这些关键点连接起来。,5. 3 曲线的凸凹性、拐点及函数图像的作法,5. 导数在经济管理中的应用,1. 边际问题,函数的导数是函数的变化率。它实质
12、上描 述了由该函数所表示的那个事物或现象由于其 中一个变量（自变量）的改变而引起另一变量 （因变量）的改变的相对变化情况。,第五章 导数的应用,案例5.2 展销会上的购物问题,假如张华参加了某次 展销会，门票为20元。如 果张华不买任何东西，他 参加此次展销会的的成本 为20元，又假如张华在展 销会上看中一件商品，该 商品的定价是：1件100元； 2件160元；3件200元；4件以上每件60元。请问， 张华应如何确定购买量？,5.4 导数在经济管理中的应用,在离散型情况下，所谓边际成本是指 生产最后增加的那个单位产品所花费的成 本。或者说，边际成本就是每增加或减少 一个单位产品而使总成本变动的
13、数值。,边际成本,5.4 导数在经济管理中的应用,连续函数的边际概念,假设总成本函数C=C(x)（x为产量或购买量） 是连续的，而且是可导的。若产量（或销量）x 单位，在此产出水平上，产量x增至x+ x ，则 比值,就是每增加单位产量总成本的增量。,5.4 导数在经济管理中的应用,由于假设产量x是连续变化的，令 x0 ， 则极限,就表示产量为某一数值x的“边缘上”总成本的变 化情况，这样一个极限就是产量为x单位时总成 本的变化率，称为产量为x的边际成本，记作MC,5.4 导数在经济管理中的应用,对于连续型成本函数，其边际成本就是 总成本函数对产量 x 的导数。即边际成本函 数为,5.4 导数在
14、经济管理中的应用,习题： 已知某商品的总成本函数为,求 (1) 当x=10时的总成本和平均成本； (2) 当x=10到x=50时的总成本的平均变化率； (3) 当x=50时的边际成本并解释其经济意义。,5.4 导数在经济管理中的应用,边际收益函数,边际利润函数,5.4 导数在经济管理中的应用,2. 弹性问题,设函数y = f (x)可导，函数的相对改变 量 与自变量的相对改变 量 之比，即 称为函 数f (x)从x到x+ x两点间的弹性（也称弧弹 性或弧相对变化率）。,5.4 导数在经济管理中的应用,在点x处的弹性（也称点弹性或点相对变化率）。,5.4 导数在经济管理中的应用,（1） 需求价格
15、弹性,把对某商品的需求量 Q 看成是价格 p 的 函数，即需求函数为 （其中p为价格） 则需求对价格的点弹性为：,5.4 导数在经济管理中的应用,需求价格弹性反映了当价格变动时需求量 变动对价格变动的灵敏程度。一般分如下三类：,5.4 导数在经济管理中的应用,（2）供给价格弹性,把对某商品的供应量 Q 看成是价格 p 的 函数，即供给函数为 （其中p为价格） 则供给对价格的点弹性为：,5.4 导数在经济管理中的应用,把对某商品的需求量 Q 看成是收入R 的 函数，即需求函数为 （其中R为消费 者收入）则需求收入的弧弹性为：,（3） 需求收入弹性,5.4 导数在经济管理中的应用,案例 5.3 手
16、机生产商的定价问题,某手机制造商估计其产 品的需求价格弹性为-1.2%， 需求收入弹性为，当年该 地区的销售量为90万单位， 据悉，下一年居民实际收入 将增加10，制造商决定提 价5，问手机制造商应如 何组织生产？如果该手机制造商下一年的生产能力最 多比当年可增加5，为获得最大利润，该手机制造商 应如何调整价格？提价还是降价？调整多少？,5.4 导数在经济管理中的应用,解：(1) 设需求函数为Q=f(p)（p为价格）， 需求收入函数为Q=g(R)（R为收入），依题意,5.4 导数在经济管理中的应用,可知价格每提升1%，销售量将将减少1.2% ， 这样由于公司提价5%，即,使销售量减少,5.4 导数在经济管
