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1、 1 第一章第一章 信号与系统信号与系统 1.6 判断下列信号的周期性： （a） (/4) 1( ) 2( ) j t x teu t （c） 3 4 14 k x nnknk 解： （a）当 t 0 和 （b） /4 2( ) 2cos(32 ) j x tet （d) ( 2100) 4( ) jt x tje 解： （b） /4 2( ) 2cos(32 ) 2(cossin)cos3 44 cos3cos3 j x tet jt tjt 所以该信号的实部表示为 0 2 Re( )cos(30) t x tet 。 （d） 2 ( 2100) 4 2 22 22 ( ) (cos100s
2、in100 ) sin100cos100 cos(100)cos100 2 jt t tt tt x tje jetjt etjet etjet 所以该信号的实部表示为 2 2 Re( )cos(100) 2 t x tet 。 1.9 判断下列信号的周期性。若是周期的，给出他的基波周期。 （a） 10 1( ) jt x tje （c） 7 3 jn x ne 解： （a） (10) 10 2 1( ) jt jt x tjee ，所以该周期信号的周期为 2 105 T 。 （c） 7 3 jnj n x nee ，所以该周期信号的周期为 2 2T 。 1.10 求信号( )2cos(101
3、) sin(41)x ttt的基波周期。 解： 1 2 12 ( )2cos(101)sin(41) ( )2cos(101) ( )sin(41) ( )( )( ) x ttt x tt x tt x tx tx t 1( ) x t的周期为 1 2 105 T ， 2( ) x t的周期为 2 2 42 T ，( )x t的周期T为 1 T和 2 T的最小 公倍数，则T。 1.13 考虑连续时间信号 ( )(2)(2)x ttt 试对 ( )( ) t y txd 计算E值。 解：( )(2)(2)x ttt， ( )x t图形如图 2 所示： -11-20 2 1 -1 图 1 时间序
4、列图 3 0, 2 ( )( )( (2)(2)1, 22 0, 2 tt t y txdtdtt t ( )y t如图 3 所示， 22 2 ( )4Ey t dtdt -11-202 1 图 3 1.16 考虑一离散时间系统，其输入为 x n，输出为 y n，系统的输入输出关系为 2y nx n x n （a）系统是无记忆的吗？ （b）当输入为 A n，A 为任意实数或复数，求系统输出。 （c）系统是可逆的吗？ 解： （a） y n的值与2x n有关，所以系统不是无记忆的。 （b） 当输入为 A n， x n和2x n恒有一个为 0，则系统输出恒为 0。 （c） 从（b）中可以看出输出恒为
5、零，所以不同输入对应着相同输出，所以系统不是可逆的。 1.18 考虑一个离散时间系统其输入 x n和输出 y n关系为 0 0 n n k n n y nx k ，式中 0 n为某一有限正整数。 （a） 系统是线性的吗？ （b） 系统是时不变的吗？ （c） 若为有界且界定为一有限整数 B（即对全部 n， x nB） ，可以证明 y n是被界 定到某一有限数 C。因此可以得出该系统是稳定的。请用 B 和 0 n来表示 C。 解： （a）输入为 1 x n时，输出 0 0 11 n n k n n y nx k ；输入为 2 x n时，输出 0 0 22 n n k n n y nx k ； 3
6、x n是 1 x n和 2 x n的线性组合 312 x nax nbx n，输入为 3 x n时， 4 00 00 00 00 3312 1212 n nn n k n nk n n n nn n k n nk n n y nx kax kbx k ax kbx kay nby n 所以该系统是线性的。 （b）输入为 1 x n时，输出 0 0 11 n n k n n y nx k ；输入为 2 x n是 1 x n的一个时移， 211 x nx nn，输出 010 010 211111 n nn nn k n nk n nn y nx knx ky nn ；所以该系统是 时不变的。 （c
7、）若 x nB ， 则 0 (21)y nnB，因此 0 (21)CnB。 1.19 判定下列输出输入关系的系统是否是线性、时不变性，或两者俱有。 （a） 2 ( )(1)y tt x t （c） ( )(1)(1)y nx nx n 解： （a） i 对于任意的两个输入 1( ) x t和 2( ) x t ，相应的输出分别为 1( ) y t和 2( ) y t ， 2 11 2 22 ( )(1) ( )(1) y tt x t y tt x t 3( ) x t为 1( ) x t和 2( ) x t的线性组合， 312 ( )( )( )x tax tbx t ，输为 3 x t时，
8、相应的输出 3 y t， 22 331212 ( )(1)(1)(1)( )( )y tt x ttax tbx tay tby t， 所以该系统是 “线 性” 。 ii 输入 1( ) x t，相应的输出为 1( ) y t， 2 11 ( )(1)y tt x t； 2( ) x t是 1( ) x t的一个时移信 号 210 ( )()x tx tt，相应的输出 2 220 ( )(1)y tt x tt， 因为 2 100102 ()(1)( )y ttttx tty t，所以该系统不是“时不变性” 。 （c） i 对于任意的两个输入 1 x n和 2 x n ，相应的输出分别为 1
9、y n和 2 y n ， 111 222 11 11 y nx nx n y nx nx n 3 x n为 1 x n和 2 x n的线性组合， 312 x nax nbx n，输入为 3 x n时输出 3 y n， 333 1212 12 11 =a 11 a 11 =a y nx nx n x nbx nx nbx n y nby n ， 5 所以该系统是“线性” 。 ii 输入 1 x n，相应的输出为 1 y n， 111 11y nx nx n, 2 x n是 1 x n的一个 时移信号 210 x nx nn，输出 2101010 11y nx nnx nny nn。 所以该系统是
10、“时不变性” 。 1.27 这一章介绍了系统的几个性质，这就是一个系统可能是或不是 （1）无记忆； （2）时不变； （3）线性； （4）因果； （5）稳定。 对以下连续时间系统确定哪些性质成立，哪些不成立，并陈述理由。下例中( )y t和( )x t 分别作为系统的输出和输入。 （a）( )(2)(2)y tx txt （d） 0 t0 ( )(2), t 0 ( )x t x t y t 解： (a) i. 该系统输出与(2)x t有关，所以该系统不是“无记忆” ， ii. 输入 1( ) x t，相应的输出为 1( ) y t， 111 ( )(2)(2)y tx txt, 2( ) x
11、t是 1( ) x t的一个时 移信号 210 ( )()x tx tt，输出 21010 ( )(2)(2)y tx ttxtt ， 101010 ()(2)(2)y ttx ttxtt ， 210 ( )()y ty tt， 所以该系统不是“时不变” 。 iii. 对于任意的两个输入 1( ) x t和 2( ) x t，相应的输出分别为 1( ) y t和 2( ) y t， 111 222 ( )(2)(2) ( )(2)(2) y tx txt y tx txt 3 x t为 1( ) x t和 2( ) x t的线性组合， 312 ( )( )( )x tax tbx t ，输为
12、3( ) x t时输出 3( ) y t， 333 1212 12 ( )(2)(2) =a (2)(2)a (2)(2) =a ( )( ) y tx txt x tbx txtbxt y tby t ， 所以该系统是“线性” 。 iv. 该系统输出与(2)xt有关，所以该系统不是“因果” 。 v. 设( )x tB ，则 ( )2y tB，所以该系统是“稳定” 。 综上所述，该系统是“线性” 、 “时不变” 、 “稳定” 。 （d） i. 该系统输出与(2)x t有关，所以该系统不是“无记忆” 。 ii. 令0t ， 00 00ttt且， 输入 1( ) x t ， 输出 1( ) 0y
13、t ； 当输入 210 ( )()x tx tt时， 输出 2101010 ( )()(2)()y tx ttx tty tt ， 故系统不是“时不变” 。 6 iii. 对于任意的两个输入 1( ) x t和 2( ) x t ， 相应的输出分别为 1( ) y t和 2( ) y t ， 3( ) x t为 1( ) x t 和 2( ) x t的线性组合， 312 ( )( )( )x tax tbx t ，输为 3( ) x t时，相应的输出 3( ) y t，当 0t 时， 11 ( )( )0y ty t ， 312 ( )( )( )0y tay tby t； 当0t 时， 333 1212 12 ( )( )(2) =a ( )( )a (2)(2) =a ( )( ) y tx tx t x tbx tx tbx t y tby t 故该系统是“线性” 。 iv. 该系统输出只与之前和现在的输入有关，所以该系统是“因果” 。 v. 当0t 时，系统显然是“稳定” ； 当0t 时，设( )x tB ，则 ( )2y tB，该系统是稳定的； 综上，系统是“稳定“。 综上所述，该系统是“线性” 、 “因果”和“稳定” 。 1.28 对以下离散时间系统确定习题 1.27 中所列诸性质哪些成立，哪些不成立
