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1、摘要在数学分析中，求极限的方法是多种多样的，其中利用导数转化求极限是洛必达法则的一大特色。在使用洛必达法则求极限的过程中，一定要检验是否满足洛必达法则的三个条件，但法则成立的条件是比较苛刻的。实际上，洛必达法则在解决实际问题中有着广泛的作用。本文只从：法则适用函数极限的类型；将法则的应用推广至求数列极限以扩大法则的适用范围；对法则的不足（失效）之处和使用误区等方面进行了探讨和研究。并将该法则推广到了多元函数及其复变函数和差分形式当中去。显示了该法则在极限计算中的重要作用。关键词 洛必达法则 极限 应用 推广AbstractIn mathematical analysis, a variety
2、of ways to limit, derivative into the limit of which is a major feature l hospital rule. Los Bida rule limiting process, must be tested meets the three conditions which Los Bida, but rule conditions are more demanding. In fact, Los Bida law has a broader role in solving practical problems. This arti
3、cle from: principles applicable limit of function types; apply the rule extension to sequence limit in order to expand the scope of the law; insufficient to rule (fail) and errors are discussed and studied. And the rule was extended to functions of several variables, with its complex functions and d
4、ifferential forms. Shows the law is important in limit calculation.Keywords L hospitals rule The limit Application To promote目 录摘要IAbstractII第一章 引言11.1洛必达法则的历史背景11.2洛必达法则的研究意义1第二章 洛比达法则概念重述32.1洛必达法则定理32.1.1型32.1.2型32.2洛必达法则求极限的条件4第三章 洛必达法则的应用63.1基本类型63.1.1 型及型未定式3.1.2可转化为基本类型的未定式极限73.1.3函数极限的洛必达法则求解
5、83.1.4洛必达法则求极限83.2洛必达法则使用时注意的问题83.2.1极限式非未定式83.2.2使用法则求导后出现极限不存在的现象93.2.3多次使用法则后极限式出现循环现象93.2.4洛必达法则的正确使用103.3利用洛必达法则巧解高考题10第四章 洛必达法则的推广144.1差分形式的洛必达法则144.2二元函数的洛必达法则164.3二元函数的洛必达法则的应用194.3.1求二元函数型及型的极限194.3.2求三元函数型及型的极限204.3.3其他类型的未定式214.4利用洛必达法则求复数函数的极限214.4.1复变函数的洛必达法则214.4.2洛必达法则在复变函数中的应用244.4.3
6、判定解析函数孤立奇点类型254.5复变函数的极限与实变函数的区别26结束语28参考文献29致谢3027第一章 引言第一章 引言1.1洛必达法则的历史背景洛必达（G.F.A.de LHospital，1661-1704），法国的数学家。1661年出生于法国的贵族家庭，1704年2月2日卒于巴黎。他曾受袭侯爵衔，并在军队中担任骑兵军官，后来因为视力不佳而退出军队，转向学术方面加以研。他早年就显露出数学才能，在他15岁时就解出帕斯卡的摆线难题，以后又解出约翰伯努利向欧洲挑战“最速降曲线”问题。稍后他放弃了炮兵的职务，投入更多的时间在数学上，在瑞士数学家白努利的门下学习微积分，并成为法国新解析的主要成
7、员。 洛必达的(1696)一书是微积分学方面最早的教科书，在十八世纪时为一模范著作，书中创造一种算法(洛必达法则)，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，洛必达于前言中向莱布尼兹和白努利致谢，特别是Jean Bernoulli。洛必达逝世之后,白努利发表声明该法则及许多的其它发现该归功于他。洛必达的著作尚盛行于18世纪的圆锥曲线的研究。他最重要的著作是阐明曲线的无穷小于分析1696，这本书是世界上第一本系统的微积分学教科书，他由一组定义和公理出发，全面地阐述变量、无穷小量、切线、微分等概念，这对传播新创建的微积分理论起了很大的作用。在书中第九章记载著约翰第一伯努利在1694年7月22日告诉他
8、的一个著名定理：洛必达法则，则求一个分式当分子和分母都趋于零时的极限的法则。后人误以为是他的发明，故洛必达法则之名沿用至今。洛必达还写作过几何，代数及力学方面的文章。他亦计划写作一本关于积分学的教科书，但由于他过早去逝，因此这本积分学教科书未能完成。而遗留的手稿于1720年巴黎出版，名为圆锥曲线分析论。1.2洛必达法则的研究意义洛必达法则是数学分析中用于求未定式或极限的一种较普遍的有效方法，灵活地运用洛必达法则也是我们自身数学解题能力的体现，具有重要的应用价值。而洛必达法则在计算未定式极限中洛必达法则扮演着十分重要的角色。这是因为对于未定式极限来讲其极限是否存在,等于多少是不能用极限的四则运算
9、法则。而通过对分子分母分别求导再求极限的洛必达法则能够很有效的计算出未定式的极限。洛必达法则,是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。求函数极限是高等数学中的一项重要内容，是研究微积分学的工具。在众多求极限方法中，洛必达法则因其使用简单方便又可解决绝大部分极限问题而备受青眯，但如果使用不当也容易产生误区，得出错误结果。第二章 洛比达法则概念重述第二章 洛比达法则概念重述2.1洛必达法则定理2.1.1型洛必达法则1：若函数f (x)与g(x)满足下列条件： （1）在a的某去心邻域可导，且g (x)0； （2）f (x)=0与g (x)=0； （3）,则=洛必达法则2：若函
10、数f (x)与g(x)满足下列条件： （1）A0，在与可导，且g (x)0；（2）f (x)=0与g (x)=0；（3）则=2.1.2型洛必达法则3：若函数f (x)与g(x)满足下列条件：（1）在a的某去心邻域可导，且g (x)0； （2）f (x)= 与g (x)= ； （3）,则=2.2洛必达法则求极限的条件从定理知道，无论是“”型还是“”型都必须具备一个重要条件，即在自变量的同一过程中，存在（或为）时，才有存在（或为），且=，但是此条件却不便先验证后使用。所以连续多次使用该法则时，每次都要验证它是否为“”型或“”型。其使用程序如下： ， ， ，若存在（或为），那么才有式子=成立，而上式
11、成立是基于，都是“”型未定式，而且从右到左依次相等。但为了书写方便，在应用此法求极限时，总是习惯从右到左写。这样，如果忽略了对条件的验证，就有可能出错。例1、问a,b取何值时，下式成立？=1，a0.解：解法1、 = 而，由此可以得到，于是b=1，所以有，即a=4.根据以上从左到右推导顺序.问题出在式，即的存在性并没有论证.根据洛必达法则的条件，只有当存在时，式才能成立.这种问题往往在求极限时被忽视.因此后面的做法就是去了根基.所以上述解法1错误。解法2、，若，则上式等于0，与已知条件矛盾；若，则是型未定式，可用洛必达法则求解。即 .根据以上从右至左，多次应用法则得.解法2求出后，讨论了其存在性
12、，排除了的情形后，得出了；此时是型未定式，继续应用洛必达法则进行求解，从而避免了武断上述极限存在的错误。该问题的关键是讨论的存在性，只有它存在才能使用洛必达法则。第三章 洛必达法则的应用第三章 洛必达法则的应用3.1基本类型3.1.1 型及型未定式在自变量的某变化过程中，对上述两种基本类型可直接应用法则求极限。例2、求数列极限.解：先求函数极限.取对数后的极限为： 所以，.注：在求极限时，如果还是型未定式，且，仍满足洛必达法则条件，则可继续使用该法求极限。另外，要分辨是否是数列极限，是数列极限则不能直接使用洛必达法则。例3、设，且已知，试求.解：因为，所以由洛必达法则得.注：如果用两次洛必达法
13、则，得到是不对的。3.1.2可转化为基本类型的未定式极限洛必达定理只能解决型及型未定式函数极限，而对于某一极限过程中，等5种类型的极限也可经过一定变形，转化为基本类型，再用法则求之。对于型，可将乘积化为除的形式，即化为型或型；对于型，可通过通分化为型未定式计算；对于，型，可先化为以e为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，转为直接求指数的极限，而指数的极限形式为型，再转化为型或型计算。例4、求.解：此题属型未定式。讲原式中的写在分母上，使其变为型后，应用洛必达法则，即.例5、求（型）.解 例6、.解 .可见利用洛必达法则能够解决很多函数极限问题，而且可以将法则和其他求极限方法结合起来同时
14、使用。3.1.3函数极限的洛必达法则求解例7、求.解 此问题可归类到型未定式极限，但由于题目中变量为正整数，对这些孤立点无法求导，故不能直接利用洛必达法则求解。应先将极限式中的换成连续变量，求函数极限，再由归结原则知原数列极限值。，故由归结原则得，.该法则尽管求极限很方便，但也并不是万能的，而且使用时也要谨慎，否则容易出错。3.1.4洛必达法则求极限在求极限时若能灵活地将法则和其他求极限方法结合起来使用，则计算往往变得更为简单、方便。例8、求.解 显然，当时，故.该法则是通过计算函数的导数，利用导数的极限求出原函数的极限，故只适用于函数极限的求解。然而在应用时，对型及型数列极限也可间接应用。3
15、.2洛必达法则使用时注意的问题有时极限式并不满足法则条件，如用法则求解，就会得到错误的结果，主要有三种情形。3.2.1极限式非未定式例9、求.解：事实上，此题可以直接利用函数连续性得到结果。如果运用洛必达法则， .由于本题不是未定式型，而上面错误地应用了洛必达法则，从而得出错误的结论。.3.2.2使用法则求导后出现极限不存在的现象特别当时，函数式中含有或；或当时，函数式中含有或时，用法则求极限时出现极限震荡，此时法则失效。例10、求极限.分析：这问题是型未定式，但分子分母分别求导后，变成，而与当时极限均不存在。但原极限存在，可用如下方法求得。.即此时法则失效。例11、求解 （振荡），法则失效，但原函数极限存在，.3.2.3多次使用法则后极限式出现循环现象例1
