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1、幂函数的概念,图象与性质,目标：,1) 理解幂函数的概念和性质,2) 会画出五种幂函数的图象,难点和重点：,学会数形结合的思想概括出五种幂函数的性质,我们先来看看几个具体的问题:,(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付 _,P=W 元,(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积_,(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积_,(4)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度_ _,p是w的函数,S=a,S 是a的函数,V=a,V是a的函数,V=t km/s,V是t 的函数,以上问题中的函数有什么共同特征？,（1）都是函数； （2）均是以自变量为底的幂； （
2、3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1; （5）幂前的系数也为1。,上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。,从而我们归纳出幂函数的一般概念：,一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x为自变量，a为常数。,幂函数的定义的注意事项,（1） 这是个形式定义，其特征可归纳为“两个1”， 即：系数为1，只有1项；,（2） 我们只研究 k 是有理数的情况,例1，判断下列函数哪几个是幂函数？,答案（2）（6）,函数图象的画法是：列表、描点、连线，那么幂函数也用此法。,幂函数图象的画法,幂函数的图象和性质,我们主要学习下列几种函数. (1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3 (4) y=x
3、1/2 (5) y=x-1,(1,1) (0,0),(1,1) (0,0),(1,1) (0,0),(1,1) (0,0),(1,1),结合以上特征得幂函数的性质如下:,所有的幂函数在 都有定义,并 且图象都通过点(1,1),0时,(1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (2)图象在第一象限,函数是增函数.,0时,(1)图象都经过点（1，1）； (2)图象在第一象限是减函数; (3)在第一象限内,图象向上与Y轴无限 地接近,向右与X轴无限地接近.,指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数,幂函数的定义域，图象的对称性与p、q之间的关系：,分母 p 的奇偶确定函数的定义域： 当
4、p 为偶数时，非奇非偶函数,（定义域不关于原点对称）; 当 p 为奇数时，则定义域关于原点对称, 而分子 q 的奇偶就是函数的奇偶性.,幂函数的图象与性质,1）从图象的分布来看： 都经过第一象限，且都过（1，1）点；都不过第四象限。 2）从图象的类型来说，分为直线型、抛物线型、双曲线型。 k 0，为抛物线型，图象均过（0，0）点 k 0，为直线型，图象是除去（0，1）点的一条直线 k 0，为双曲线型，图象不过（0，0）点,在第一象限单调增,在第一象限单调减,巧记速画要点小结： 一看符号（识类别） 二看大小（知上下） 再看分母（画右边） 分子奇偶（定对称）, 直线型、抛物线型、双曲线型, 举手型
5、、眉毛型, 指数的分母, 分子 q 的奇偶就是函数的奇偶性,例2：,例3：试比较下列各题中两个值的大小：,例4:图中曲线是幂函数,在第一象限的图象,则相应于曲线C1， C2，C3，C4 的 n 值依次为（ ）,（B）,已知n 取,四个值,c1,c2,c3,c4,（A）,（C）,（D）,B,解法：图象法,数的大小,形的高低,证明: 任取x1 ,x2 0，+）,且x1 x2 则x1/ x21 所以 所以 所以,例6： 证明幂函数f(x)= x1/2 在0，+）上是增函数.,(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式 (2)作比法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则推不出 (1
6、)(2),一、对称变换,y = f (x) y = f ( |x| ),y = f (x) y = | f (x) |,保留 y 轴右方部分的图像,保留 x 轴上方部分的图像,并将其对称到 y 轴左方,将x 轴下方部分的图像沿x轴翻折上去,二、翻折变换,y = x+1,y = |x| +1,y = | x +1 |,o,x,y,1,-1,o,x,y,1,-1,o,x,y,1,-1,y = f(x),关于 x 轴 对称,( x , y ),( x , y ), y = f(x),y = f(x),y = f(x),关于 y 轴 对称,( x , y ),( x , y ),y = f( x),y = f(x),关于 原点 中心对称,( x , y ),( x , y ), y = f( x),y = f( x),x2x,奇,x2x,三、平移变换,y = f(x),y = f ( x|a|),y = f(x),y = f ( x )|a|,左右平移|a|个单位,左 右,上下平移|a|个单位,上 下,向右平移 个单位,向上平移 个单位,向右平移 个单位,向上平移 个单位,
