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1、第4讲 日照东方古代与中世纪的东方数学,一、中国传统数学 二、印度数学 三、阿拉伯数学 四、中国与印度、阿拉伯的数学交流,中世纪数学的主角： 中国、印度与阿拉伯地区的数学。 东方数学特色：强烈的算法精神 所谓“算法”并不是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般性计算方法。 注：东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学的诞生。,1 中国数学的起源与体系形成 2 中国数学理论的深化 3 中国数学发展的高峰 4 中国传统数学的式微,一、 中国传统数学,1 中国数学的起源与体系形成,史前至两汉时期,1.1 中国传统数学的奠基 萌芽
2、（石器时代、青铜时代）原始社会、夏商周 积累与奠基（春秋战国时代、秦、西汉） 1.2 周髀算经与数理天文学 1.3 九章算术与中国传统数学的体系,1.2 周髀算经与数理天文学,盖天说,勾股定理,宋版书影,日高术,周髀算经: 数学著作,天文学著作. “盖天说”的代表. 约成书于西汉时期(公元前2世纪). 数学内容:学习数学的方法、用勾股定理来计算高深远近和比较复杂的分数计算等.,“勾广三,股修四,径隅五”,商高定理-勾股定理,返回,“以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日.”,勾股定理的证明,弦 图,影差d =后影长BD 前影长AC = b a,表距AB = e,1.3 九章算
3、术与中国传统数学的体系,返回,（1）汉简算数书,算数书: 1983年12月在湖北江陵张家山出土一本西汉初年的竹简, 收有许多应用的数学问题. 现已整理出版(包括竹简照片和释文).,九章算术共收有 246个数学问题，分为九章。分别是：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。 九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。,（2）九章算术,1.方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界 上最早对分数进行系统叙述的著作。 2.粟米：组好事粮食交易的计算方法，其中涉及许多比 例问题。
4、3.衰（读作“翠”）分：主要内容为分配比例的算法。 4.少广：主要讲开平方和开立方的方法。 5.商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体 积的计算为主。 6.均输：计算税收等更加复杂的比例问题。 7.盈不足：双设法的问题。 8.方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减 法，在世界数学史上是第一次出现。 9.勾股：勾股定理的应用。,九章算术的内容,九章算术的数学成就,设人数为x, 物价为y, 每人出钱a1盈b1, 出钱a2不足b2 .,则的“盈不足术”相当于给出如下解法：,(ii)正负术: 正、负数的加减运算法则 同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之.其异名相除,同名相益,正无
5、入正之,负无入负之.,（2）代数方面 (i)方程术: 线性方程组的解法 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？ 问题相当于解一个三元一次线性方程组：,注：关键算法: 遍乘直除, 即Gauss消元法.,(iii)开方术: 开平方和开立方的算法,本质: 减根变换,过程: 开方术相当于解方程: x2=A. 设解 x 是一个 k 位数 , 令x=10k -1x1 , 方程变为: 102k -2x12 = A , 仪得x1的整数部分, 记为 , 令 ,则方程变为: ,其中,再议得x2
6、的整数部分,记为 ,令 , 则方程变为: , 其中 上述过程一直下去.,二次方程的数值求解算法称为“开带从平方法”. “开方术” 指出了开方有开不尽的情形： “若开之不尽者，为不可开”。 不尽根数专门的名字面,（3）几何方面 几何问题具有很明显的实际背景.所有直线形的面积、体积公式都是准确的.如: 正方形、矩形、三角形、梯形、长方体、正方体、底面为长方形而有一棱与底面垂直的锥体、上下底面都是长方形的棱台等.,刍童（上下底面都是长方形的棱台）体积公式：,羡除（三个侧面均为梯形的楔形体）体积公式为：,2 中国数学理论的深化从刘徽到祖冲之,学术界思辨之风再起 在数学上也兴起了论证的趋势 最杰出代表:
7、 刘徽、祖冲之父子,2.1 刘徽与九章算术注,最主要成就： 割圆术 面积、体积理论,生卒不详 公元263年撰九章算术注,（一）刘徽的割圆术-极限方法,割圆术的要旨是用圆内接正多边形逼近圆。 指出:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.,设圆面积为 Sn ,半径为r ,圆内接正 n 边形的边长为 ln , 周长为 Ln ,面积为Sn , 将边数加倍后, 得到圆内接正 2n 边形, 其边长, 周长, 面积分别记为 l2n , L2n ,S2n .刘徽注意到当 ln 已知,由勾股定理可以求出 l2n .即：,化为分数即为: 157/50 , 这就是著名的“徽率”.,在内接
8、 n 边形的每边上作一高为 CG 的矩形, 则,刘徽取半径为一尺的圆, 计算到192边形, 得出精确到两位小数的圆周率的近似值,（二）刘徽的面积理论,出入相补原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后,面积或体积的总和保持不变。,勾股定理的证明,（三）刘徽的体积理论-阳马术,堑堵= 阳马 + 鳖臑,阳马 = 2鳖臑,立方= 2 堑堵,不易之率：阳马体积Y与鳖臑体积 B 之比为2:1,对每个小阳马和每个小鳖臑作同样的剖分,则n次剖分后有:,阳马中除去两个小阳马部分的体积(记为 )为鳖臑中除去两个小鳖臑部分的体积(记为 )的2倍, 他们合在一起的体积应占原壍堵体积的3/4 (刘徽称为“
9、已知”部分), 因而剩余部分(即两个小阳马和两个小鳖臑)的体积应占原壍堵体积的1/4 (称为“未知”部分). 若分别用 记每个小阳马和小鳖臑的体积,则,已知部分属阳马的体积为 , 属鳖臑的体积为 , 两者之比恒为2:1 .,未知部分的体积, 若记为 , 并不妨设原壍堵体积为1, 则,刘徽认为无限剖分下去, 则得不易之率： Y : B =2:1,（四）球体积公式证明的尝试,刘徽结论,刘徽: 敢不阙疑, 以俟能言者！,问题关键：如何求外三棋体积和 与小立方体积关系,最初是附于他所注的九章算术(263)之后, 唐初开始单行, 体例亦是以应用问题集的形式 . 全书共9题, 全是利用测量来计算高深广远的
10、问题, 首题测算海岛的高、远, 故得名.海岛算经是中国最早的一部测量数学著作, 亦为地图学提供了数学基础.,（五） 刘徽著海岛算经,2.2 祖冲之父子的数学成就,祖冲之与祖暅 主要数学成就： (1) 圆周率 (2) 祖氏原理与球体积,（一）祖冲之-缀术与圆周率,割圆术: 正六边形出发, 连续算到正24576边形, 恰好可以得到祖冲之的结果.,3.1415926 (朒(nv)数) 3.1415927 (盈数),现代数论中,如果将圆周率表示成连分数,其渐近分数为:,（二）祖暅-球体积公式与祖暅原理,祖暅原理：幂势既同,则积不容异 意即:位于两平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两平面的平面所截,如果两个截面的面积恒相等,则这两个立体的体积相等.,因为 IJ2 MN2 = AB2 IP2 = AP2 (AP2 AI2 ) = AI2 = h2,
