基于问题推进的三角形内角和教学研究 Summary：三角形内角和是三角形的一个重要性质，理解三角形的有关内容有助于学生感受、理解三角形内角之间的关系，也是进一步学习多边形内角和的基础本文针对目前在三角形内角教学中教学活动中回避测量角误差、缺少形成解决路径的启发活动、教师未重视学生演绎推理能力的培养等问题，结合儿童思维发展的特点，给出了相应的三角形内角和教学建议，以提高学生对于三角形内角和的理解，培养学生合情推理能力和演绎推理能力Keys：小学数学 三角形内角和 教学研究引言 根据《小学数学课程标准（2022 年版）》，“三角形内角和”属于小学数学中图形与几何模块的教学内容，图形与几何模块是小学数学重点教学内容之一三角形内角和是三角形的一个重要性质，有助于学生感受、理解三角形内角之间的关系，也是进一步学习多边形内角和的基础，对于理解同位角、对顶角、内错角等知识也有着很大的帮助作为教学重点的三角形内角和“证明”部分，重点在于培养学生的合情推理能力、演绎推理能力，而合情推理能力、演绎推理能力的培养不仅有利于学生理解三角形内角和的有关知识，同时也有利于解决其他的数学问题和攻克数学难点。
目前，在“三角形内角和”的教学中，学生能顾名思义地了解到三角形的内角和就是三个内角相加的得数，并知道三角形内角和为180度但是如何想到证明方法，都是通过教师预设路径同时也是教材提示的路径来进行课堂教学，基本上没有教学设计解决，使课堂缺乏了合情推理能力、演绎推理能力的培养与此同时，大部分课堂教学的引入都是从测量角度的探究活动入手，然而在探究教学中出现意想不到的测量误差，教师往往牵强回避，导致学生只能浅显地认识到三角形内角和为180度，无法将合情推理能力和演绎推理能力以及其对应的思想方法运用到其他类似的数学概念理解和数学问题同时，教学中缺少使学生形成解决路径的启发活动、教师未重视学生演绎推理能力的培养等因此，本文就三角形内角和教学中存在的一些问题提出了一些看法和解决策略一、三角形内角和教学分析（一）教学内容“三角形内角和”是义务教育课程标准实验教科书（数学）四年级上册第四单元“角与三角形的认识”中的一个教学内容这部分内容是在学生学习了角的分类、角的度量、三角形的认识、三角形的分类的基础上进行教学的，旨在让学生在观察、思考等一系列教学活动中领悟到三角形内角和即三个内角相加等于180度二）能力目标根据《九年义务教育小学数学教学大纲（试用修订版）》，“三角形内角和”这一章节的教育教学的目标有：1.通过观察、猜想、测量、翻折、拼接、计算等一系列方式得出三角形的内角和为180度这个重要性质；2.通过足够的时间经历观察、实验、猜想、推理、验证的过程，渗透转化的推理思想，培养从合情推理到演绎推理的能力。
三）三角形内角和的认知过程分析皮亚杰认为：“人的认知发展的实质是适应，儿童是在已有图式的基础上，通过同化、顺应和平衡，不断从低水平状态向高水平状态发展的过程”[1]三角形内角和的学习，是在学生已学习了三角形的概念、三角形内角的概念的基础上进行进一步的学习学生可以通过字面意斯很迅速的处理概念信息，将其与三角形、三角形的内角联系起来，即了解到三角形内角和即是三角形中三个内角相加的得数但根据课程标准的能力目标要求，学生在本节主要要进行和理解的，是探知三角形内角和为什么是180度的过程，区别于概念的学习的对比、变化、联系的过程，是一个数学问题解决的心理过程根据杜威的数学问题解决心理模式，可以将学生数学问题解决的心理过程分为五个阶段，分别是：感觉疑难阶段、确立疑难阶段、提出可能的答案、考虑各种结果阶段、确立选择方法阶段[2]而不同的学生在经历这些阶段时，感觉观察的敏锐性、方案确立的周密性以及鉴别能力和水平、对于以往知识掌握情况以及学生思维迁移能力水平都有一定程度上的不同，使教师的引导显得格外的重要三角形的内角和等于多少度的求解过程，经历了将难以解决的数学问题，在头脑中转化、变式[3]，直至建立与原有的知识经验的联系，从而通过原有的知识经验解决现有数学问题的过程，即由难转易、由未知转已知的过程，体现的是数学思想中转化的推理思想。
学生在四年级阶段的推理方式都偏向于合情推理，而转化是演绎推理的一种思想方法，有利于培养学生演绎推理的能力图1二、三角形内角和教学中存在的问题（一）教学活动中回避测量角误差对于学生而言，理解误差的概念、生成误差的原因等等是十分重要的，这不仅有助于提高学生对于探究严谨性的重视，更有助于学生在测量中、计算中对于科学概念、数学性质等的理解教师在三角形内角和教学的过程中，多有两种论证方式，一是测量、二是拼角，但是无论使用哪种方式，“误差”是无法避免的比如，在测量三角形内和时，常常有许多同学得到的答案有179度、181度等等，但此时，很多教师对于误差的解释不完整，比较牵强地引导学生得出教师为了课程进度所想要的答案，既没有很好地解答学生对于“不是180度”的疑惑，也没有引导学生思考如何减少误差[4]，更打击了学生的学习热情、增大了学生的理解难度无论是测量还是使用实物操作进行三角形内角和的探究方式，都会有或多或少的误差，回避误差使学生缺少探究空间二）缺少形成解决路径的启发活动在现阶段的一般小学中，教师普遍存在有“赶进度”“抓成绩”的现象，教授新知时，过于重视学生对于结果的理解和运用，缺乏对于问题解决过程和方法的重点培养。
大部分课堂中存在的是老师说什么，学生做什么，教师缺乏从侧面引导学生自主思考加上从儿童发展心理学的角度来看：小学低年级阶段，儿童的思维主要以具体形象思维为主，小学中高年级，儿童思维活跃，正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过度的阶段[5]，而教师在讲述这方面的知识时，多数比较抽象，没有分析透彻，没有按部就班地按照学生的思维发展特点进行教育教学，使学生难以理解，导致学生也不愿意动脑筋进行知识探究，从而只按照教师规定的课堂步骤进行学习三）教师未重视学生演绎推理能力的培养三角形内角和的概念掌握不难，难点在于求解“三角形内角和等于多少？”的过程，经历了将难以解决的数学问题，经过转化、变式，直至建立与原有的知识经验的联系，从而通过原有的知识经验解决现有数学问题的过程，由难转易、由未知转已知的过程，而这个过程所体现的是数学的转化思想教师在进行三角形内角和的教学过程中，缺乏渗透转化的推理思想，缺乏对于合情推理、演绎推理能力培养的的针对性和重视性转化思想的解题步骤一般包括：转化、求解和还原三个步骤，同时转化思想也包括了转化对象、转化目标、转化手段三个基本要素在培养转化思想时，这些步骤和要素缺一不可这就需要学生有扎实的基础知识，才能更好地将陌生的新知识转化成熟悉的旧知识，再运用旧知识解答疑难从而解决新的疑难。
比如：了解三角形的概念、三角形内角的概念、图形的翻折、量角器的使用等等如果学生不能熟练地掌握这些基本概念和技能技巧，对于知识的认知结构不够完善甚至知识网络混乱，教师有没有在课前进行复习和基本指导，那么学生在转化的过程中便会遇到瓶颈和困难，使转化和推理变得吃力而枯燥，从而失去思考和学习的兴趣，导致无法完整的经历求解的过程对于班级优等生，因为接受能力快，思维发散能力好，一点就透，多数教师愿意将其进行转化的推理思想的渗透，培养其演绎推理的能力；而对于接受能力较差、思维反应较慢的学生，教师认为其无法理解或是要花长时间理解常常对其进行选择性的忽略就三角形内角和来说，学生可以理解三角形内角和的由来，如三个角进行拼接为平角等，但是经过学习，学生的理解仅限于三角形内角和，缺失了演绎推理能力的培养转化的推理思想是数学问题解决的重要思想，学生对于转化推理思想方法的缺失久而久之导致了学生解决数学问题困难，思维局限性强[6]，无法灵活地运用转化推理思想解决问题又或是教师没有重视演绎推理能力的培养，粗略的带过，没有以学生为课堂的中心，不能将“知识与技能”目标与“情感态度与价值观”目标进行有机结合，学生接触到了转化思想、演绎推理的能力，但是由于没有深刻理解很容易就忘记了。
没有经过渗透转化的推理思想这一过程，学生的演绎推理的能力自然没有得到培养三、三角形内角和的教学策略建议（一）利用误差问题推进课堂教学多数学生在本堂课前通过预习或者是生活经验，基本知道三角形的内角和是180度[7]，但是不知道三角形内角和等于180度是如何得来的所以，教师应该在课堂开始，便引导学生感知疑难、确立疑难，突出教学重点，提出问题，如“三角形内角和真的是180度吗?”“三角形的内角和为什么等于180度呢？”“你可以用数学的方法证明三角形内角和等于180度吗？”等等误差在学生的学习探究中是无法避免的，教师可以通过误差，提出本课主要要解决的教学问题，不仅可以避免因为误差导致的学生疑惑，也有利于学生确立明确的思维发展方向以及提高学生的重视程度其次，再引导学生提出可能的答案，如”三角形内角和不一定是180度”、考虑各种结果最后解决问题案例一：“三角形内角和”教学片段师：大家都说三角形的内角和是180度，但是，真的是180度吗？大家可以动手用量角器量一量自己制作的三角形，真的是180度吗？教师引导学生用量角器对自己事先做好的三角形的内角进行测量，然后再分小组各自汇报由于量角器存在一定的误差，每一组测量出来的结果不都是180度，教师在这种情况下运用反问的方式推翻学生的结论，从而很好的引出教学重点，即证明三角形的内角和是180度。
师：大家看，为什么有的组测出来的结果不是180度呢？那三角形的内角和不一定是180度呀？你什么方法来证明三角形内角和一定是180度呢？就让我们一起走进今天的课堂！（二）设置活动经历解决问题的完整过程学生的学习过程和思考过程是循序渐进的，美国教育家杜威指出，问题解决的过程分为五个阶段——感知疑难、确立疑难、提出可能的答案、考虑各种结果、解决问题《数学课程标准（2011年版）》指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式[8]，教师的教学方法也不仅仅是讲授法，还应该积极的引入实验法、讨论法等等学生经过了完整的解决问题的过程，有了解决问题的基本经验，可以有效的为学生今后问题的解决有着很大程度的帮助教师引导学生动手画一画、折一折、算一算、拼一拼，这可以很好的调动学生的学习积极性，从而培养其合情推理的能力案例二：师：我们要解决的问题是用数学的方法证明三角形的内角和等于180度，那么我可以从问题中联想到什么呢？可以想到哪些我们以往学习过的数学知识呢？激发学生的联想和兴趣，学生想到“三角形有三个内角”、“平角也是180度”等一系列旧知识。
师：那么，我们是不是可以尝试用我们以前学习过的知识来解决问题呢？大家刚刚说到，平角也是180度，那三角形的内角和是否可以和平角联系起来呢？这时学生想到，可以把三个角拼合在一起，如果能形成一个平角，也就是一条直线，那么就可以证明三角形的内角和等于180度师：那么我们有哪些方法可以使三个角拼合在一起呢？学生提出了裁剪拼合、翻折拼合等方法教师指导他们动手操作，学生得出了三角形的三个角都等于180度在教师的设问中初步领略了合情推理的魅力，由新问题联想到旧的知识，再通过直观的、合乎情理地推理旧的知识来解决新的问题，再将它们整合起来图2图3（三）渗透转化思想培养演绎推理能力转化思想是演绎推理地重要思想李亚坤认为应用转化思想的方法有五种：将旧知识转化为新知识、将不规则转化为规则、将复杂转化为简单、将抽象转化为直观、将无序转化为有序[9]转化思想的方法是多种多样的，但是都渗透了有难化易、由新化旧的过程所以教师在培养学生转化思想时，要先进行有关旧知识的复习和整合4，再根据学生内在的需求，。