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1、20242025学年度高二第一学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1. 直线的倾斜角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角.【详解】，斜率为1，倾斜角为.故选：B2. 在等比数列中，若，则（ ）A. -32B. -16C. 16D. 32【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的性质即可得出.【详解】设等比数列的公比为，.故选：D.3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先
2、根据曲线为圆可得，再结合在圆外得，则答案可得.【详解】化简可得圆的标准方程为：，所以，即，又因为在圆外，故，解得，综上可得，故选：A.4. 将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知：，所以，可得到的斜率，再由点斜式方程，即可得到答案.【详解】由方程可知：的斜率为，由题意可知：，所以，所以，因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：，即.故选：C5. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率
3、，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程.【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为，将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上，又，所以过点与圆相切直线的斜率为1，所以过点的切线方程为，即.故选：D.6. 已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出圆心，由垂径定理得，从而得到，写出直线方程.【详解】的圆心为，为过点的弦，当弦被点平分，由垂径定理得，其中，故，所以直线的方程为，即.故选：B7. 高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，共有50组，所以，这就
4、是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（ ）A. 1010B. 2024C. 1012D. 2020【答案】C【解析】【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出.【详解】根据可得，所以；由等比数列性质可得，因此可得.故选：C8. 在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点在圆上，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. （3，7）【答案】A【解析】【分析】由题意，如需圆上的点关于轴的对称点在圆上，只需圆关于轴的对称圆C与圆有交点即可，从而可以求得的范围.【详解】由题意，如需
5、圆上点关于轴的对称点在圆上，只需圆关于轴的对称圆与圆有交点即可.圆和圆的圆心分别为，半径分别为和2，所以圆心距为，因为两圆相交，所以有，即：，又因为，所以.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 已知点，点，点，则下列正确的有（ ）A. B. 直线的倾斜角为C. D. 点到直线的距离为【答案】BCD【解析】【分析】利用两点距离公式即可判断A；由两点之间的斜率公式即可判断B；由两直线垂直时的斜率关系即可判断C；由点到直线的距离公式即可判断D.【详解】由题意得
6、，故A错误；因为，所以直线AB的倾斜角为，故B正确；因为，所以，故C正确；直线AC的方程为：，即，所以B点到直线AC的距离为：，故D正确；故选：BCD.10. 圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（ ）A. 的直线方程为B. 公共弦的长为C. 圆与圆的公切线段长为1D. 线段的中垂线方程为【答案】AC【解析】【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可.【详解】由，得，则，半径，由，得，则，半径，对于A，公共弦所在的直线方程为，即，所以A正确，对于B，到直线的距离，
7、所以公共弦的长为，所以B错误，对于C，因为，所以圆与圆的公切线长为，所以C正确，对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为，所以直线为，即，所以D错误，故选：AC.11. 已知数列满足，且，则下列正确的有（ ）A. B. 数列的前项和为C. 数列的前项和为D. 若数列的前项和为，则【答案】ACD【解析】【分析】对A，构造数列求解通项公式，进而可得；对B，由A，再求和即可；对C，根据对数的运算结合等差数列求和公式求解即可；对D，根据裂项相消求和判断即可.【详解】对A，由可得，故数列是以为首项，1为公差的等差数列，故，即，则，故A正确；对B，故数列的前项和为，故B错误；对C，则前项和，故C正确
8、；对D，则，又易得随的增大而增大，故，即，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设是数列的前项和，且，则的通项公式为_.【答案】【解析】【分析】利用求出，再求出可得通项公式【详解】由题意时，又也满足上式，所以故答案为：.13. 函数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】可表示为点与点的距离减去点与点的距离，然后可得答案.【详解】，fx表示为点与点的距离减去点与点的距离，所以，又，当共线，且P在B的外侧时取等号，所以的最大值为.故答案为：.14. 已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为_.【答案】或【解析】【分析】根据题
9、意可求得圆心坐标，再求得切线长以及四边形面积表达式可得结果.【详解】联立可解得，即；设圆心，圆的半径为，可得，解得或， 当时，可得，可得，因此四边形的面积为；当时，可得，可得；所以四边形的面积为.故答案为：或【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用圆心位置以及切线方程求得圆的标准方程，再求出切线长可得四边形面积.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，公比为2，且，.（1）求数列与的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可直
10、接求解； （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，所以，所以； 因为，所以【小问2详解】结合（1）可得：16. 已知圆，点.（1）过点圆作切线，切点为，求线段的长度（2）过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度（3）点为圆上一点，求线段长度的最大值【答案】（1） （2） （3）【解析】分析】（1）求出圆心和半径，得到；（2）求出直线，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求出答案；（3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，得到答案【小问1详解】圆心，半径为，即，又，故；【小问2详解】，故直线，记圆心到直线的距离为，故；【小问3详解】的最大值为点
11、到圆心的距离加上半径，故17. 已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程.（1）过点且与直线平行；（2）过点且到原点的距离等于2；（3）直线关于直线对称的直线.【答案】（1） （2）或 （3）【解析】【分析】（1）联立方程解交点坐标，由平行关系设直线方程，代入点坐标待定系数可得；（2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可；（3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得.【小问1详解】联立方程，解得， 设与直线平行的直线为，由题意得：，故满足
12、要求的直线方程为：【小问2详解】当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2； 当所求直线斜率存在时，设直线方程为，即，原点到该直线的距离为， 解得，直线方程为， 综上所述，符合题意的直线方程为或【小问3详解】在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则，解得， 又，则直线的方程即所求直线方程，为，化简得，.故所求的直线方程为：18. 已知圆.（1）求的范围，并证明圆过定点；（2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值.【答案】（1），证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件列式求出范围，再分离参数求出定点坐标.（2）联立直线与圆的方程联立，利用韦
13、达定理及向量垂直的坐标表示求解.【小问1详解】由圆，得，所以的范围为；，由，得，所以圆过定点.【小问2详解】以弦为直径的圆过原点，则，设点，则，即，由，消去整理得：， ，于是，解得，满足，所以的值为19. 已知数列满足.（1）求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）.【解析】【分析】（1）根据递推关系求值即可；（2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列数列是以0为首项，以为公差的等差数列；（3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列bn的单调情况，确定数列的最大项由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围【小问1详解】， 【小问2详解】证明：由题可知：，-得，即：，所以，又数列是以0为首项，以为公差的等差数列.【小问3详解】由（2）可得， 则， 由可得；由可得，故bn有最大值，对任意，有， 如果对任意，都有成立，则， ，解得或， 实数的取值范围是【点睛】方法点睛：（1）本题的突破口是通过与的关系得到和的关系，进而通过构造等差数列或等比数列进行求解；（2）本题求解中巧妙地将恒成立问题转化为数列的最值问题求解而求数列项的最值时，又通过判断数列的单调性进行，解题时可通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列项的最值第14页/
