八上数学【因式分解】九大题型【知识点1 因式分解】定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止题型1 因式分解的意义】【例1】（济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x【变式1-1】（儋州校级期末）下列各式不能因式分解的是（ ）A．a2﹣b2 B．a2﹣2a+1 C．ab﹣a D．a2+b2【变式1-2】（青川县期末）下列各式因式分解正确的是（ ）A．12a2+a+12=a2+2a+1＝（a+1）2 B．a2+ab﹣6b2＝a（a+b）﹣6b2 C．a2﹣b2﹣a﹣b＝（a+b）（a﹣b）﹣a﹣b D．a﹣2a2+a3＝a（1﹣2a+a2）＝a（1﹣a）2【变式1-3】（德惠市期末）给出六个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1；⑤x（x+1）﹣2（x+1）；⑥m2﹣mn+14n2．其中，能够分解因式的是 ②③④⑤⑥ （填上序号）．【题型2 利用因式分解求系数的值】【例2】（攀枝花模拟）若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（ ）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【变式2-1】（聊城期末）如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x﹣7y）2，那么k＝ ．【变式2-2】（南山区校级期中如果x3+ax2+bx+4有两个因式（x+1）和（x+2），则a+b的值为 ．【变式2-3】（青羊区校级期中）已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，则a＝ ；b＝ ．【题型3 利用公式法进行因式分解求代数式的值】【例3】（渠县校级期中）若a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【变式3-1】（新吴区校级期中）（1）已知x+y＝4，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值；（2）已知x=112，化简并计算：（1﹣2x）2（2x+1）2﹣（3+2x）2（3﹣2x）2．【变式3-2】（洪泽区期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m2n+mn2的值为 ．【变式3-3】（安顺模拟）已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（ ）A．16 B．12 C．10 D．无法确定【题型4 利用平方差公式进行因式分解确定整除问题】【例4】（新泰市月考）两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（ ）A．6 B．8 C．6的倍数 D．8的倍数【变式4-1】（河北区期末）对于任意整数n，多项式（n+7）2﹣n2都能被（ ）A．2整除 B．n整除 C．7整除 D．n+7整除【变式4-2】（荔城区校级期中）对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n﹣1）﹣（3﹣n）（3+n）的整数是（ ）A．3 B．6 C．10 D．9【变式4-3】（招远市期末）已知424﹣1可以被60﹣70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64【题型5 因式分解】【例5】（梅里斯区期末）因式分解（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．【变式5-1】（聊城期末）把下列各式分解因式：（1）9xy2﹣15x3y；（2）﹣9x2y+3xy2﹣6xyz；（3）3m2n﹣6mn+3m；（4）﹣24a2b﹣8ab2+28ab3．【变式5-2】（碑林区校级开学）把下列各式分解因式：（1）4xyz﹣4x2yx﹣12xy2z；（2）20am+1b2m+4﹣12a2m+1bm+2；（3）﹣20c（a﹣b）2﹣25（b﹣a）3；（4）x（x﹣2）﹣x+2．【变式5-3】（寻乌县模拟）把下列各式分解因式：（1）6（a﹣b）2+3（a﹣b）；（2）x（x﹣1）﹣3x+4；（3）x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）；（4）a5-12a3b2+116ab4．【题型6 利用添项进行因式分解】【例6】（河北区期末）因式分解：x4+4y4【变式6-1】（寻乌县模拟）因式分解：x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．【变式6-2】（永定区期中）把多项式x4+324因式分解．【变式6-3】（柳南区二模）分解多项式a5﹣1的结果是 ．【题型7 利用拆项进行因式分解】【例7】（江油市期末）分解因式：m2+6m+8．【变式7-1】（微山县月考）分解因式：a2﹣6a+8．【变式7-2】（寻乌县模拟）把x2﹣4x+3因式分解．【变式7-3】（微山县月考）分解因式：a4+10a2b2+9b4．【题型8 利用因式分解确定三角形的形状】【例8】（鱼台县期末）已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．【变式8-1】（市中区期末）△ABC三边a，b，c满足2a2+b2+c2＝2a（b+c），判断△ABC的形状，并说明理由．【变式8-2】（乐平市期末）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．【变式8-3】（临沂期末）已知a，b，c为△ABC的三边，且b2+2ab＝c2+2ac，试判断△ABC的形状并说明理由．【题型9 因式分解在阅读理解中的运用】【例9】（市中区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3（1）上述分解因式的方法是 ，共用了 次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是 ．（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．【变式9-1】（徐闻县期末）阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．【变式9-2】（盱眙县期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算（a+b+c）2”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：[（a+b）+c]2或[a+（b+c）]2，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；②可以用“数形结合”的方法，画出表示（a+b+c）2的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面方框中画出图形，并作适当标注．（2）利用（1）的结论分解因式：x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y＝ ；（3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：①x2﹣6x+7＝x2﹣6x+9﹣2＝（x﹣3）2﹣2∵（x﹣3）2≥0∴（x﹣3）2﹣2≥﹣2．故当x＝3时代数式x2﹣6x+7的最小值为﹣2②﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1）+4＝﹣（x+1）2+4∵﹣（x+1）2≤0∴﹣（x+1）2+4≤4故当x＝﹣1时代数式﹣x2﹣2x+3的最大值为4请你参考小明的方法，求当x，y取何值时代数式2x2+y2﹣2xy﹣2x+20有最小值，并确定它的最小值．【变式9-3】（丰台区校级期中）阅读下列材料在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2+4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2+4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ．A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ．（3）请你用换元法对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解（4）当x＝ 时，多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）﹣1存在最 值（填“大”或“小”）．请你求出这个最值23答案版【题型1 因式分解的意义】【例1】（济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．【变式1-1】（儋州校级期末）下列各式不能因式分解的是（ ）A．a2﹣b2 B．a2﹣2a+1 C．ab﹣a D．a2+b2【分析】利用平方差公式，完全平方公式，以及提取公因式方法判断即可．【解答】解：A、原式＝（a+b）（a﹣b），不符合题意；B、原式＝（a﹣1）2，不符合题意；C、原式＝a（b﹣1），不符合题意；D、原式不能分解，符合题意，故选：D．【变式1-2】（青川县期末）下列各式因式分解正确的是（ ）A．12a2+a+12=a2+2a+1＝（a+1）2 B．a2+ab﹣6b2＝a（a+b）﹣6b2 C．a2﹣b2﹣a﹣b＝（a+b）（。