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1、专题08 利用导数研究不等式恒成立问题 一、单选题1设为正实数，函数，若，则的取值范围是（ ）ABCD【解析】，因为，当时，所以有成立，因此函数在上单调递减，因此当时，恒成立，一定有成立，即，因为，所以有.故选：A2已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为（ ）A1B0C3D2【解析】在时恒成立，而时，在上递减，当时，恒成立，即时，恒成立，故，实数a的最大值为3，故选：C.3已知函数，对任意，不等式恒成立，则正数a的最小值为（ ）ABCD【解析】，在单调递增，不妨取，则，恒成立令，即在单调递增，又，故选：A.4已知，且，且，恒成立，则a的取值范围是（ ）ABCD【解析】，且，恒成立，对，且恒成
2、立，令，则只需，对恒成立，即，对恒成立，只需，令，则，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，的取值范围为故选：B5当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【解析】令，时，不合条件.令，故恒成立，又，要在处取最大值，故为在上的极大值点，故，又，故 ，故选：B.6已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【解析】依题意，故，令，故，而，令，故，故当时，当时，故，即实数的取值范围为，故选：B7已知函数，对于任意，不等式恒成立，则整数的最大值为（ ）A2B3C4D5【解析】，设，则有且，即恒成立，即，令，则在上单调递增，即恒成立，即，得，下证成立：，易证当时，考查函数
3、：，则，故函数在区间上单调递减，在区间上单调造增，当时，函数的最小值为，据此可得：，当时，故成立故选B8已知函数，若在上单调递增，则的取值范围为（ ）ABCD【解析】由题意知函数在上单调递增，因为，所以转化为在上恒成立，因为，所以在上恒成立，即转化为，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.故选：D. 二、多选题9已知不等式对恒成立，以下命题中真命题是（ ）A对，不等式恒成立B对，不等式恒成立C对，不等式恒成立D对，且，不等式恒成立【解析】对于A选项，由于不等式对恒成立，所以恒成立，所以A正确.对于B选项，由于不等式对恒成立，所以对恒成立，注意到，所以对恒成立，B正
4、确.当时，所以C选项错误.对于D选项，对，且，不等式恒成立，等价于，即，下证此不等式对，且恒成立.当时，令，所以在区间上递增，所以，即成立.当时，令，所以在区间上递增，所以，即（证毕）. 所以D选项正确.故选：ABD10若，则下列不等式成立的是（ ）ABCD【解析】构造函数 ，因为，所以在上单调递减，因为，所以，即，所以选项A正确，选项B错误.构造函数，易知在上单调递增，而，时，所以，使，所以在上单调递减，在上单调递增，所以无法判断C选项的正确性.构造函数，易知在上单调递增，因为，所以，即，所以选项D正确.故选：AD.11已知函数，若，不等式成立，则的可能值为（ ）A4B3C2D1【解析】，若
5、，则，则在单调递增， ；若，则在单减，在单增，.，则在单调递增，在单调递减，.，不等式成立，若，成立；若，即，令，h（x）在（1，+）单增.而，.故选：BCD.12已知函数f（x）=ax2x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，若不等式恒成立，则t的取值可能是（ ）ABCD【解析】，由题意得，为的两不等正根，所以，解得，令（a），则，（a）在上单调递增，（a），因为恒成立，所以恒成立，所以故选：BD三、填空题13已知函数，若对于任意，都有成立，则_.【解析】，当时，所以当x=1时，由，取得最大值.因为对任意，都有成立，所以，即，即对任意，恒成立，所以，解得：.，令解得：，当时，有；当时，有；当
6、时，有；所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.于是，当时，即，解得：a=4.14已知函数若对恒成立，实数a的取值范围是_【解析】对恒成立，等价于在上恒成立，即，令，则有，当时，则有在上单调递减；当或时，则有在和上单调递增；所以的最小值为或，又，所以，即.15已知函数，若满足恒成立，则实数的取值范围是_.【解析】令，则，所以，若，则，函数在上单调递增，符合题意；若，令，则，易得在上单调递增，且，若，则，函数在上单调递增，所以，所以，函数在上单调递增，符合题意；若，则，则存在使得当时，所以当时，函数单调递减，即，此时函数单调递减，不合题意；综上，符合要求的a的取值范围为.16已知函数，若对
7、任意的，当时，恒成立，则实数的最大值为_【解析】因为，所以，且，所以，故在上单调递增，因为，所以，当时，恒成立等价于恒成立，即恒成立，设，则在上单调递增，所以在上恒成立，而，所以在上恒成立，令，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以，故实数的最大值为.四、解答题17设，其中（1）若有极值，求的取值范围；（2）若当，恒成立，求的取值范围【解析】（1）由题意可知：，且有极值，则有两个不同的实数根，故，解得：，即（2）由于，恒成立，则，即，由于，则当时，在处取得极大值、在处取得极小值，当时，为增函数，因为，所以恒大于，当时，解得：；当时，即在上单调递增，且，则恒成立；当时，在处取得极大值、在处
8、取得极小值，当时，为增函数，因为，所以恒大于，当时，解得，综上所述，的取值范围是18已知函数的图像在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）当时，证明：对恒成立.【解析】（1）因为，所以，解得，则，解得.（2）证明：因为，所以要证对恒成立，只需证对恒成立.设函数（），则.因为，所以，所以在上单调递减，从而，则对恒成立，故当时，对恒成立.19已知函数且曲线 在点处的切线方程为（1）求实数a，b的值及函数的单调区间；（2）若关于x的不等式恒成立，求实数 m的取值范围【解析】（1）代入得：，所以切点为.，所以.所以.，令，解得，（舍去）.所以，为减函数，为增函数.（2）因为恒成立，即恒成立，化简为：
9、恒成立.设，即即可.，因为在为增函数，且，所以，为减函数，为增函数.，即.20已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围【解析】（1）当时，所以切线的斜率为，因为，所以切点为，所以在点处的切线方程为即（2）对任意的，都有成立，只要任意的，由，得，当时，所以在上单调递增，所以，满足题意，当时，在上恒成立，所以在上单调递增，所以，满足题意，当时， 当，当时，所以在上递减，在上递增，所以，所以只要即可，而，所以不合题意，综上所述：或，所以的取值范围为21已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若时有恒成立，求的取值范围【解析】（1）的定义域为，所以当时，函数
10、在上单调递增；当时，由得；得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，综上可得，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减（2）当时，恒成立，即恒成立因为，所以令，令，所以，故在上单调递减，且，故存在使得，故，即当时，；当时，；在单调递增，在单调递减，故22已知函数，且.（1）当时，求函数的单调区间与极大值；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（1）当时，函数，,，由，可得，单调递增；由，可得，单调递减；所以函数的单调增区间为,单调减区间为，当时，函数取极大值，无极小值. （2）由题意可得：对于恒成立，当，时，；时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；当时，时恒有，故在上是减函数，所以对任意都成立只需，即，解得：，故. 综上所述：的取值范围是
