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1、20242025学年吉林省长春市实验中学高二上学期第二学程考试数学试卷一、单选题() 1. 直线 的倾斜角是（ ） A B C D () 2. 如图， 四棱锥 的底面 为平行四边形， 为 上一点， 且 ， 则（ ） A B C D () 3. 设 ， 方程 所表示的曲线是（ ） A 焦点在x轴上的椭圆B 焦点在x轴上的双曲线C 焦点在y轴上的椭圆D 焦点在y轴上的双曲线 () 4. 双曲线 （ ）的左、右两个焦点分别是 与 ， 焦距为 ； 是双曲线左支上的一点， 且 ， 则 的值为（ ） A B C 或D 或 () 5. 如图， 在正方体 中， 分别是棱 的中点， 则点 到直线 的距离为（ ）
2、 A B C 1D () 6. 已知点 是抛物线 上的一点， 过点 作直线 的垂线， 垂足为 ， 若 ， 则 的最小值为（ ） A 3B 4C 5D 6 () 7. 已知圆 ， 为坐标原点， 以 为直径的圆 与圆 交于 两点， 则下列结论错误的是（ ） A 直线的方程为B C 均与圆相切D 四边形的面积为 () 8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 过 的直线与 轴相交于 点， 与双曲线 在第一象限的交点为 ， 若 ， ， 则双曲线 的离心率为（ ） A B C D 二、多选题() 9. 点 P是直线 上的动点， 由点 P向圆 O： 作切线， 则切线长可能为（ ） A B C D ()
3、 10. 如图， 在正方体 中， 点 P在线段 上运动， 则下列结论正确的是（ ） A 直线平面B 三棱锥的体积为定值C 异面直线与所成角的取值范围是D 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 () 11. 法国数学家加斯帕尔 蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆， 这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 的蒙日圆为圆 ， 过 上的动点 作 的两条互相垂直的切线， 分别与 交于 两点， 直线 交 于 两点， 则（ ） A 椭圆的蒙日圆方程为B 面积的最大值为7C 的最小值为D 若动点在上， 将直线的斜率分别记为， 则 三、
4、填空题() 12. 若 与 平行， 则两直线之间的距离为 _ . () 13. 已知抛物线 的焦点为 ， 圆 ， 圆心 是抛物线 上一点， 直线 ， 圆 与线段 相交于点 ， 与直线 交于 ， 两点， 且 ， 若 ， 则抛物线方程为 _ . () 14. 已知椭圆 （ ）， 是其左焦点， 过原点 的直线 交椭圆于 A， B两点， M， N分别是 ， 的中点， 若存在以 为直径的圆过原点， 则椭圆离心率的最小值为 _ . 四、解答题() 15. （1）已知直线 经过两条直线 和 的交点， 且与直线 垂直， 求直线 的方程； （2）已知圆 的圆心在直线 上， 且过点 ， ， 求圆 的标准方程. (
5、) 16. 在直三棱柱 中， ， 点 是线段 上靠近 点的三等分点 (1)求 的长； (2)求二面角 的正弦值 () 17. 已知 分别为双曲线 左、右焦点， 在双曲线上， 且 (1)求此双曲线的方程； (2)若双曲线的虚轴端点分别为 （ 在 轴正半轴上）， 点 在双曲线上， 且 ， ， 试求直线 的方程 () 18. 如图， 四棱台 中， 上、下底面均是正方形， 且侧面是全等的等腰梯形， 分别为 DC ， BC的中点， 上下底面中心的连线 垂直于上下底面， 且 与侧棱所在直线所成的角为 . (1)求证： 平面 ； (2)求点 到平面 的距离； (3)在线段 上是否存在点 ， 使得直线 与平面
6、 所成的角为 ， 若存在， 求出线段 BM的长；若不存在， 请说明理由. () 19. 折纸又称“工艺折纸”， 是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动， 在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容， 例如： 用圆形纸片， 按如下步骤折纸. 步骤1： 设圆心是 ， 在圆内不是圆心处取一点， 标记为 ； 步骤2： 把纸片对折， 使圆周正好通过点 ， 此时圆周上与点 重合的点标记为 ； 步骤3： 把纸片展开， 于是就留下一条折痕， 此时 与折痕交于点 ； 步骤4： 不断重复步骤2和3， 能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点 . 现取半径为4的圆形纸片， 定点 到圆心 的距离为2， 按上述方法折纸.以线段 的中点 为原点， 线段 所在直线为 轴， 建立平面直角坐标系 ， 记动点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的标准方程； (2)直线 与曲线 交于 两点， ， 且 平分 ， 求 的中点 到点 的最小距离.
