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1、2024-2025学年第一学期高一年级期中学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据分式、根式的意义列式求解即可.【详解】令，解得且，所以函数的定义域为.故选：B.2. 若，则的化简结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可.【详解】因为，则，所以.故选：C.3. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由两个集合为
2、点集，通过联立方程组，求出双曲线与直线的交点坐标，可得.【详解】由，解得或，所以.故选：C.4. “”是“”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】对充分性和必要性分别给出反例即可.【详解】当时，有a=01=b，c=01=d，但；当时，有ac=10=bd，但.所以原条件不是充分的也不是必要的.故选：D.5. 关于的不等式的解集是，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由不等式解集与方程根的关系解得，再由对数运算可得结果.【详解】根据题意可知和5是方程的两个实数根，由韦达定理可得，解得；所以.故选
3、：C6. 若命题“”是假命题，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据命题的真假，可转化为不等式恒成立问题，分情况讨论可得参数范围.【详解】命题“”是假命题，则有，当时，恒成立，满足题意；当时，有，解得，综上可得的取值范围为.故选：A.7. 已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对每个选项分别考查是否满足要求即可.【详解】不在上递增，故A错误；和不奇函数，故BC错误；而满足条件，故D正确；故选：D.8. 定义，设，则下列结论不正确的是（ ）A. B. 不等式的解集为C. 当时，的最大值为D. 在
4、上单调递减【答案】B【解析】【分析】把表示为分段函数，作出函数图象，结合图象和函数解析式，对选项进行判断.【详解】，解得或，所以，函数图像如图所示，A选项正确；不等式的解集为，B选项错误；当时，在上单调递增，最大值为，C选项正确；x0,1时，在0,1上单调递减，D选项正确.故选：B.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 下列命题中，正确的有（ ）A. 函数与函数是同一函数B. 若函数，则C. 二次函数的零点是，D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】A选项，
5、根据同一函数的条件判断；B选项，用换元法求函数解析式即可；C选项，求时的值；选项D，图像开口向上，在上单调递增，则，求解可判断.【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，故A不正确；对于B，则，且，所以，即，故B正确；对于C，令，得解得或，故C正确；对于D，的对称轴为，由在上单调递增，得，解得，故D正确.故选：BCD.10. 已知，且，则（ ）A. 的最小值为B. 的最小值为C. 的最小值为D. 的最小值为【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式判断选项A；基本不等式结合乘“1”法判断选项B；利用二次函数的性质判断选项C；算式平方后利用基本不等式求积的最大值判断选项D.【详解】A，已知
6、，且，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，A选项成立；B，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，B选项错误；C，由，有，则，所以当，时，的最小值为，C选项正确；D，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，D选项错误.故选：AC.11. 已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（ ）A. 为偶函数B. C 对，不等式总成立D. 对，且，总有【答案】ACD【解析】【分析】由是奇函数，是偶函数，且，求出和，利用偶函数的定义判断A选项；求函数值判断B选项；作差法比大小判断C选项；由不等式的性质判断D选项.【详解】是上的奇函数，是上的偶函数，且，则，有，由，得，为偶
7、函数，A选项正确；，B选项错误；对，所以不等式总成立，C选项正确；对，且，则，所以，D选项正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：利用函数奇偶性的特征，由，得，求出和的解析式，解决选项中的问题即可.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在答题卡中的横线上12. 已知，则_（用，表示）【答案】【解析】【分析】利用指数与对数运算法则可得，再由换底公式化简可得结果.【详解】由可得，所以.故答案为：13. 已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据单调性和奇偶性分析的符号性，进而分类讨论解不等式即可.【详解】因为函数在区间上单调递减，且，可知当时
8、，；当时，；又因为函数为偶函数，可知当时，；当时，；若，则，此事无解，或，得，所以不等式解集为.故答案为：.14. 规定：表示不超过的最大整数，例如：，.对于给定的，定义，则_；若集合，则A中元素的个数是_【答案】 . # . 2【解析】【分析】根据题意直接代入运算即可得；整理可得，分和两种情况，结合的定义运算求解即可.【详解】由题意可知：；又因为，当时，则，可得，则或2；当时，则，可得，则；综上所述：，即集合A中元素的个数是2.故答案：；2.四、解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）83 （2）10【解析】
9、【分析】（1）运用指数幂的运算和根式的化简求值；（2）运用对数的运算和换底公式化简求值.【小问1详解】.【小问2详解】.16. 已知集合，（1）当时，求，；（2）请在充分不必要条件；必要不充分条件；充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）当时，若“”是“”成立的_，试判断实数是否存在？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（1），或 （2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意求集合，进而根据集合间的运算求解；（2）根据题意可得.若选：可知集合A是集合的真子集，根据真子集关系列式求解即可；若选：可
10、知所以集合是集合A的真子集，根据真子集关系列式求解即可；若选：可知集合A等于集合，根据集合相等列式求解即可.小问1详解】由题意可知：，当时，所以；又因为或，所以或.【小问2详解】当时，若选择条件：可知集合A是集合的真子集，则，且等号不能同时取到，解得， 所以实数的取值范围是；若选择条件：可知所以集合是集合A的真子集，则有，且等号不能同时取到，解得，所以实数的取值范围是；若选择条件：可知集合A等于集合，则有，方程组无解，所以不存在满足条件的实数.17. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为
11、万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：cx=13x2+2x,08,xN，且函数的图象过点.每件产品售价为元，假设小王生产的商品当年全部售完（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）；（2）当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）Lx=13x2+4x2,08,xN （2）万件，最大利润为万元【解析】【分析】（1）将点代入给定的函数解析式求出c，结合给定的函数模型即可求解；（2）当时，取得最大值10万元；当时，结合基本不等式计算即可求解.【小问1详解】依题意得：当时，则，所以，
12、因为每件商品售价为元，则万件商品销售收入为万元，依题意得：当时，当时， 所以L(x)=13x2+4x2,08,xN.【小问2详解】当时，所以当时，取最大值10万元；当时，.当且仅当即时，取最大值14万元因为，所以当时，取最大值14万元，所以当年产量为万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为万元18. 已知函数为上的偶函数（1）求；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若，求实数的取值范围【答案】（1） （2）增函数，证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）函数为上的偶函数，则有，得，由，得； （2）定义法证明函数单调性； （3）由，利用函数奇偶性和单调性解不等式.【小问1详
13、解】函数为上的偶函数，则有，解得，所以，由为上的偶函数，则，即，得，当时，故符合题意，所以【小问2详解】是上的增函数，证明如下：由（1）知当时， 任取， ，因为，所以，x12+40，x22+40，则，即，则，所以是上的增函数.【小问3详解】令，即，当时，解得或，当时，解得或，又，则，由，即可转化为，因为是上的偶函数，即求f12mf(1)，由（2）知是上的增函数，则212m212m1，解得或，故实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：不等式，先通过函数解析式解得，问题转化为，是上的偶函数，又转化为f12mf(1)，再由是上的增函数，得212m212m1.19. 已知二次函数满足，且在上的最小值为.（1）求的解析式；（2）求在上的最小值；（3）设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围【答案】（1） （2）； （3）【解析】【分析】（1）依题意利用待定系数法解方程即可得出函数解析式；（2）根据二次函数性质分类讨论求得函数函数在区间上的单调性，可得的表达式；（3）易知，将不等式恒成立转化为，再利用函数单调性计算可得.
