试题试题1专题专题 05 一线三等角（一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似）型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握模型模型 1.一线三等角（一线三等角（K型图）模型（全等模型）型图）模型（全等模型）【模型解读】【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为 180与三角形内角和为 180，证得两个三角形全等常见模型及证法】【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K型图”）钝角一线三等角条件：条件：ACEDB+CE=DE证明思路：证明思路：,ABCBED +任一边相等BEDACE异侧型一线三等角：异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：条件：FACABDCED+任意一边相等试题试题2证明思路：证明思路：,ABCBED +任一边相等BEDACE1（2022湖南湘潭中考真题）在ABC中，90BAC，ABAC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E(1)特例体验：如图，若直线lBC，2ABAC，分别求出线段B D、CE和DE的长；(2)规律探究：如图，若直线l从图状态开始绕点A旋转045，请探究线段B D、CE和DE的数量关系并说明理由；如图，若直线l从图状态开始绕点 A 顺时针旋转4590，与线段BC相交于点H，请再探线段B D、CE和DE的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图中，延长线段B D交线段AC于点F，若3CE，1DE，求BFCS2（2022黑龙江九年级期末）（1）如图（1），已知：在ABC 中，BAC90，AB=AC，直线 m 经过点 A，BD直线 m，CE直线 m，垂足分别为点 D、E证明DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论 DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点 F 为BAC 平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF 的形状试题试题33（2022江苏九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：如图 1，ABC是等腰直角三角形，90C，AE=BD，则AED_；如图 2，ABC为正三角形，,60BDCFEDF，则BD E_；如图 3，正方形ABCD的顶点 B 在直线 l 上，分别过点 A、C 作AEl于 E，CFl于 F 若1AE，2CF，则E F的长为_【模型应用】（2）如图 4，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，点 O 为原点，点 A 的坐试题试题4标为1,3，则点 C 的坐标为_【模型变式】（3）如图 5 所示，在ABC中，90ACB，ACBC，BECE于 E，ADCE于 D，4cmDE，6cmAD，求BE的长模型模型 2.一线三等角模型（相似模型）一线三等角模型（相似模型）【模型解读与【模型解读与图示图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为 180，三角形的内角和为 180，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似1（2022四川一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图 1，已知：在ABC 中，ABAC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有BDAAECBAC试猜想 DE、BD、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形于是，学习小组又研究以下问题：如图 2，ABC 中，(060)BC将一把三角尺中 30角顶点 P 放在 BC 边上，当 P 在BC 边上移动时，三角尺中 30角的一条边始终过点 A，另一条边交 AC 边于点 Q，P、Q 不与三角形顶点重合设CPQ当在许可范围内变化时，取何值总有试题试题5ABPPCQ？当在许可范围内变化时，取何值总有ABPQCP？（3）试探索有无可能使ABP、QPC、ABC 两两相似？若可能，写出所有、的值（不写过程）；若不可能，请说明理由2（2022河南新乡二模）如图，ABC 和ADE 是有公共顶点 A 的两个等腰直角三角形，DAEBAC90，ADAE，ABAC6，D 段 BC 上，从 B 到 C 运动，点 M 和点 N 分别是边 BC，DE 的中点(1)【问题发现】若点 D 是 BC 边的中点时，BDMN，直线 BD 与 MN 相交所成的锐角的度数为（请直接写出结果）(2)【解决问题若点 D 是 BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出 N 点运动的路径长，及 CN 的最小值试题试题63（2022山东菏泽三模）（1）问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当90DPCAB 时，求证：AD BCAP BP（2）探究：若将 90角改为锐角或钝角（如图 2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由（3）应用：如图 3，在ABC中，2 2AB，45B，以点 A 为直角顶点作等腰Rt ADE 点D 在 BC 上，点 E 在 AC 上，点 F 在 BC 上，且45EFD，若5CE，求 CD 的长模型模型 3.一线三直角一线三直角模型（相似模型）模型（相似模型）【模型解读与【模型解读与图示图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似试题试题71（2022湖南郴州中考真题）如图 1，在矩形 ABCD 中，4AB，6BC 点 E 是线段AD 上的动点（点 E 不与点 A，D 重合），连接 CE，过点 E 作EFCE，交 AB 于点 F(1)求证：AEFDCE；(2)如图 2，连接 CF，过点 B 作BG CF，垂足为 G，连接 AG点M 是线段 BC 的中点，连接 GM求AG GM的最小值；当AG GM取最小值时，求线段 DE 的长2（2022山东济宁二模）情境观察:将含 45角的三角板的直角顶点 R 放在直线l上，分别过两锐角的顶点 M，N 作l的垂线，垂足分别为 P，Q，（1）如图 1.观察图 1 可知：与 NQ 相等的线段是_，与NRQ相等的角是_(2)问题探究直角ABC中，90B，在 AB 边上任取一点 D，连接 CD，分别以 AC，DC为边作正方形 ACEF 和正方形 CDGH，如图 2，过 E，H 分别作 BC 所在直线的垂线，垂足分别为 K，L.试探究 EK 与 HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC中，90B，在 AB 边上任取一点 D，连接 CD，分别以 AC，DC 为边作矩形 ACEF 和矩形 CDGH，连接 EH 交 BC 所在的直线于点 T，如图 3.如果ACkCE，CDkCH，试探究 TE 与 TH 之间的数量关系，并证明你的结论.试题试题83.（2022浙江嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图：在ABC 中，ACB90，ACBC，分别过 A、B 向经过点 C 直线作垂线，垂足分别为 D、E，我们很容易发现结论：ADCCEB(1)探究问题：如果 ACBC，其他条件不变，如图，可得到结论；ADCCEB请你说明理由(2)学以致用：如图，在平面直角坐标系中，直线 y12x 与直线 CD 交于点 M（2，1），且两直线夹角为，且 tan32，请你求出直线 CD 的解析式(3)拓展应用：如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC5，点 E 为 BC 边上一个动点，连接AE，将线段 AE 绕点 E 顺时针旋转 90，点 A 落在点 P 处，当点 P 在矩形 ABCD 外部时，连接 PC，PD若DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出 BE 的长试题试题9课后专项训练：课后专项训练：1（2022贵州铜仁三模）（1）探索发现：如图 1，已知Rt ABC中，90ACB，ACBC，直线 l 过点 C，过点 A 作ADl，过点 B 作BE l，垂足分别为 D、E求证：CDBE（2）迁移应用：如图 2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点 O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点 N 的坐标为4,2，求点 M 的坐标（3）拓展应用：如图 3，在平面直角坐标系内，已知直线44yx 与 y 轴交于点 P，与 x轴交于点 Q，将直线PQ绕 P 点沿逆时针方向旋转45后，所得的直线交 x 轴于点 R求点 R的坐标2（2022广东汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图 1，等腰直角三角形 ABC 中，ACB=90，CB=CA，直线 ED 经过点 C，过 A 作 ADED 于 D，过 B作 BEED 于 E求证：BECCDA；（2）模型应用：已知直线 AB 与 y 轴交于 A 点，与x轴交于 B 点，sinABO=35，OB=4，将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90 度，得到线段 BC，过点 A，C 作直线，求直线 AC 的解析式；如图 3，矩形 ABCO，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），A，C 分别在坐标轴上，P 是试题试题10线段 BC 上动点，已知点 D 在第一象限，且是直线 y=2x 5 上的一点，若APD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点 D 的坐标3（2022黑龙江桦南县九年级期中）如图 1，在ABC中，90ACB，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E(1)由图 1，证明：DE AD BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图 2 的位置时，请猜想出DE，AD，BE的等量关系并说明理由；(3)当直线MN绕点C旋转到图 3 的位置时，试问DE，AD，BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）4（2022山东九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图，90ACB，ACBC，ADCE，BECE，垂足分别为D，E，2.5cmAD，1.7cmDE求BE的长”，请直接写出此题答案：BE的长为_（2）探索证明：如图，点B，C在MAN的边AM、AN上，ABAC，点E，F在MAN内部的射线AD上，且BEDCFDBAC求证：ABECAF（3）拓展应用：如图，在ABC中，ABAC，ABBC点D在边BC上，2CDBD，试题试题11点E、F段AD上，BEDCFDBAC若ABC的面积为 15，则ACF与BDE的面积之和为_（直接填写结果，不需要写解答过程）5（2022无锡市九年级月考）（1）如图 1，直线 m 经过等腰直角ABC 的直角顶点 A，过点B、C 分别作 BDm，CEm，垂足分别是 D、E求证：BDCEDE；（2）如图 2，直线 m 经过ABC 的顶点 A，ABAC，在直线 m 上取两点 D、E，使ADBAEC，补充BAC（用表示），线段 BD、CE 与 DE 之间满足 BDCEDE，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线 m 绕着点 A 逆时针方向旋转一个角度到如图 3 的位置，并改变条件ADBAEC（用表示）通过观察或测量，猜想线段 BD、CE与 DE 之间满足的数量关系，并予。
