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1、宁波市2024学年第一学期高考模拟考试高三数学试卷本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.将条形码横贴在答题卷右上角“贴条形码区”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的
2、整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1集合，则（）ABCD2复数满足，则（）A1B2CD53向量，满足，则（）ABCD4研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（）A7B7.5C7.8D85圆台的高为2，体积为，两底面圆的半径比为，则母线和轴的夹角的正切值为（）ABCD6已知椭圆的左、右焦点分别为，过上顶点作直线交椭圆于另一点.若，则椭圆的离心率
3、为（）ABCD7不等式对任意恒成立，则的最小值为（）AB2CD8设，函数若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（）ABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知数列，都是正项等比数列，则（）A数列是等比数列B数列是等比数列C数列是等比数列D数列是等比数列10函数，则（）A的图象过定点B当时，在上单调递增C当时，恒成立D存在，使得与轴相切11已知曲线：，下列说法正确的是（）A曲线过原点B曲线关于对称C曲线上存在一点，使得D若为曲线上一点，则非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小
4、题，每小题5分，共15分.12已知，则 .13抛物线：的焦点为，为上一点且，为坐标原点，则 .14一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为 .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15在三棱锥
5、中，侧面是边长为2的等边三角形，.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.16已知数列为等差数列，且满足.(1)若，求的前项和；(2)若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式.17已知是双曲线：上一点，的渐近线方程为.(1)求的方程；(2)直线过点，且与的两支分别交于，两点.若，求直线的斜率.18已知函数.(1)判断的奇偶性；(2)若，求证：；(3)若存在，使得对任意，均有，求正实数的取值范围.19开启某款保险柜需输入四位密码，其中为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是中的一个整数），是根据开启时收到的动态校验钥匙（为15中的一个随机整数）计算得到的动态校验码.的具体计
6、算方式：是的个位数字.例如：若静态密码为，动态校验钥匙，则，从而动态校验码，进而得到四位开柜密码为.(1)若用户最终得到的四位开柜密码为，求所有可能的动态校验钥匙；(2)若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙，求动态校验码的概率分布列；(3)若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙的概率为，其中是互不相等的正数.记得到的动态校验码的概率为，试比较与的大小.1D【分析】化简，根据并集的定义即可求解.【详解】由，可得，故，故选：D2C【分析】求出复数，再根据复数模的概念求.【详解】方法一：因为，所以.故选：C方法二：.故选：C3C【分析】利用，结合数量积的运算法则求解.【详解】因为.因为
7、，所以.故选：C4B【分析】根据百分位数的计算公式即可求解.【详解】由于样本数据的第60百分位数值是：小时；故选：B5B【分析】先根据圆台的体积公式求出圆台的上下底半径，再求母线和轴的夹角的正切值.【详解】设圆台上底半径为，则下底半径为，由题意：.所以圆台母线和轴的夹角的正切值为：.故选：B6C【分析】先根据椭圆的定义确定中各边的长度，再结合，用余弦定理列式，化简可求椭圆的离心率.【详解】如图：因为的周长为，所以，.又，所以.所以椭圆的离心率为.故选：C7A【分析】先由题意得到是的一个根，从而得到之间的关系式为，消元并利用均值不等式求解即可.【详解】由题意可得，需满足是的一个根，即，且，所以，
8、当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故选：A.8D【分析】根据正弦函数的性质可得的零点为，根据，解得或，即可分三种情况讨论求解.【详解】在区间内恰有6个零点，又最多有两个零点，当时，至少有四个根，令，即，又，即，令，解得或，若且，解得，此时在有2个零点，只需要在有4个零点，这4个零点分别为故且，解得，此时有6个零点，满足题意， 当且时，解得，此时在有1个零点，只需要在有5个零点，这5个零点分别为，故且，解得，此时有6个零点，满足题意， 当且时，解得，此时在有1个零点，只需要在有5个零点，这5个零点分别为，故且，解得不存在， 综上可得或，故选：D【点睛】关键点点睛：的零点为，根据，解得或，分三
9、种情况讨论求解.9BC【分析】根据等比数列的定义和通项公式逐项判断即可.【详解】因为数列，都是正项等比数列，所以设数列，的公比分别为，且，且对任意的正整数有，成立；对于A，不妨设， ，满足，都是正项等比数列，此时，因为，所以，此时不是等比数列，故A不正确；对于B，因为，所以数列是等比数列，故B正确；对于C，因为，所以数列是等比数列，故C正确；对于D，设，满足，都是正项等比数列，此时，所以，所以，此时数列不是等比数列，故D不正确；故选：BC.10ACD【分析】结合可判断A的真假；当时，求导，分析函数的单调性，可判断BC的真假；问题转化为函数的最小值为0是否成立，可判断D的真假.【详解】对A：不管
10、取何值，所以函数的图象过定点，故A正确；对B：当时，（），设，则，所以在0,+上单调递增.因为，所以，所以在0,+上单调递增，这一说法不正确，即B错；对C：由B选项可知，所以存在，使得，当x0,x0时，fx0，函数单调递增.所以函数的最小值为，且，因为，故不能取“”.故C正确；对D：当时，（），所以（），设（），则（）.所以在0,+上单调递增.因为当时，；当时，.所以存在，使得，当x0,x0时，fx0，函数单调递增.所以函数的最小值为，且.由.设，（），则，所以在0,+上单调递减.且，所以必定有解.即D正确.故选：ACD11ABD【分析】代入即可判断A,根据Px,y关于的对称点为在曲线上，结合
11、同角关系即可求解B，根据得矛盾求解C，根据，即可结合不等式求解D.【详解】将代入可得，故曲线过原点，A正确，设曲线上任意一点Px,y，则Px,y关于的对称点为，则，故在曲线上，B正确，对于C，若曲线上存在一点Px,y，根据：可知均在曲线上，故曲线关于坐标轴以及原点均对称，若曲线上存在一点Px,y，使得，则，根据对称性不妨设，将其代入曲线方程可得，所以，由于，则存在角使得，所以，这与矛盾，故不存在一点，使得，C错误，对于D，故，故，故，故D正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛： 由，得矛盾求解.122【分析】根据函数的解析式，结合指数式与对数式的运算法则，即可求解.【详解】由题意，函数，令，所以
12、.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了函数的求值问题，其中解答中熟记指数式与对数式的运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.13【分析】根据焦半径公式，确定点的横坐标，再求点的纵坐标，可得的面积.【详解】如图：不妨设点Px,y在第一象限，过点作与抛物线的准线垂直，垂足为.则，又，所以，所以.所以.故答案为：14【分析】列举第一轮中甲得1分的情况，结合排列组合以及乘法公式即可求解.【详解】若第一轮在第一轮中得1分，若第一轮中甲抽到的小球为1，3，则乙抽到的小球只能是2，若第一轮中甲抽到的小球为1，4，则乙抽到的小球可以是2或3，若第一轮中甲抽到的小球为2，3，则乙抽到的小球可以是1或4，若第一
13、轮中甲抽到的小球为1，5或者2，4或者2，5或者3，4或者3，5或者4，5时，则乙抽到的小球可以是剩下三个小球中的任何一个，故共有，因此第一轮中甲得1分的概率为,在第二轮的过程中，只剩下两个球，要使甲在第二轮中得1分，只需要甲在剩下两个球中抽到号码大的球即可，故概率为，因此甲在两轮中共得2分的概率为，故答案为：15(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点为，连接，通过证明平面，即可解决问题；（2）建系求得平面法向量，代入夹角公式即可.【详解】（1）取的中点为，连接，因为是边长为2的等边三角形，所以，在直角三角形中， 为中点，所以，又，所以，所以，即，又为平面内两条相交直线，所以平面，又在平面内，所以平面平面.（2）由（1）知过作的平行线作为轴，分别为轴，则，所以，,设平面的法向量为，则，即，令，可得，设平面的法向量为，则，即，令，可得，设平面与平面的夹角为，则.16(1)(2)【分析】（1）根据题目中的递推公式，求得等差数列的前两项与公差，结合通项公式以及求和公式，可得答案；（2）利用公式求得数列的通项公式，根据题目中的方程，利用换元法整理为关于的一元一次方程，求得等差数列的通项公式，可得答案.【详解】（1）当时，由，则，由，则，所以等差数列的公差为，即通项公式，所以前项和.（2）当时，可得，当时，将代入上式，则，综上所述，.，可得，由（1）可知，则，由方程，可得，解得，
