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1、北京市大兴区20242025学年高二上学期期中检测数学试题一、单选题（本大题共10小题）1直线的倾斜角的正切值为（）ABCD2已知两个向量，且，则（）ABCD3过点，的直线的斜率为，则（）ABCD4圆关于轴对称的圆的方程为（）ABCD5若是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面的位置关系是（）A直线在平面内B平行C相交但不垂直D垂直6已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（）ABCD7在平行六面体中，则的长为（）ABCD8已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（）A1BCD29已知点C（2，0），直线kxyk=0（k0）与圆交于A，B两点，则“ABC为等边三角形”是“
2、k=1”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件10如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆. 已知直线. 给出下列四个结论：当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为，则；当时，直线与黑色阴影区域有个公共点；当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有个公共点其中所有正确结论的序号是（）ABCD二、填空题（本大题共5小题）11已知，三点共线，则 12已知圆，则圆心坐标为 ，当圆与轴相切时，实数的值为 .13已知平面过点三点，直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以
3、是 14直线和与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为 15如图，在正方体中，为的中点，为棱（含端点）上的动点，给出下列四个结论：存在，使得；存在，使得平面；当为线段中点时，三棱锥的体积最小； 当与重合时，直线与直线所成角的余弦值最小.其中所有正确结论的序号是 三、解答题（本大题共6小题）16已知平面内两点.（1）求的中垂线方程；（2）求过点且与直线平行的直线的方程17已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切.（1）求圆的标准方程.（2）求直线：与圆相交的弦长.18如图，在四棱锥中，平面，且(1)求直线与直线所成角的大小；(2)求直线PD与平面PAC所成角的正弦值19已知圆过三点，直线(
4、1)求圆的方程；(2)求圆关于直线对称的圆的方程；(3)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值20在四棱锥中，底面ABCD是正方形，Q为PD的中点，再从条件、条件这两个条件中任选一个作为已知(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离条件：平面平面；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分21已知圆：及其上一点(1)若圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；(2)设过点的直线与圆相交的另一交点为，且为直角三角形，求的方程；(3)设动点，若圆上存在两点，使得，求实数的取值范围参考答案1【答案】A【详解】直线的斜率为，倾斜角为
5、，所以.故选：A2【答案】C【详解】由于，所以.故选：C3【答案】B【详解】依题意，解得，所以，所以.故选：B4【答案】D【详解】圆的圆心为，半径为，因为关于轴对称的点为，所以对称圆的方程为，故选：D.5【答案】C【详解】，假设存在实数，使得，则，即 无解.不存在实数，使得成立，因此l与不垂直由，可得直线l与平面不平行因此直线l与平面的位置关系是相交但不垂直故选：C6【答案】C【详解】因为直线与直线平行，所以 ,解得，因为直线与直线所以它们之间的距离为故选：C7【答案】B【详解】依题意，所以.所以.故选：B8【答案】C【分析】连接，当最小时，最小，计算点到直线的距离得到答案.【详解】如图所示：
6、连接，则，当最小时，最小，故的最小值为.故选：C.9【答案】A【详解】设圆心为，易知，半径，当为等边三角形时，而，因为，所以，当时，直线为：，而，所以，所以，所以为等腰三角形，因为，圆心到直线的距离为，即，所以圆心为的重心，同时也是的外心，所以为等边三角形，所以“为等边三角形”是“”的充要条件，故选：A.10【答案】A【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，所以大圆的面积为，小圆的面积为对于，当时，直线的方程为此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，所以，故正确对于，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为,当时，直线的方程为，即，小圆圆心到直线的距离，所以直线与该半圆弧相切，
7、如图2所示，所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故正确对于，当时，如图3所示，直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故错误综上所述，正确故选：A11【答案】【详解】因为，所以直线斜率存在，因为三点共线，所以，所以，解得，故答案为：.12【答案】 . 4.【详解】由，配方得，所以圆心C的坐标为；当圆与轴相切时，则有，解得；故答案是，4.13【答案】（答案不唯一）【详解】设平面的法向量为，因为，所以，所以，所以，取，所以，又因为直线与平面垂直，所以直线的方向向量与平面的法向量共线，所以可取方向向量为（不唯一，非零共线即可），故答案为：（答案不唯
8、一）.14【答案】【详解】令中，得，所以与轴交于，令中，得，所以与轴交于，由可得，所以两直线交于，所以围成的四边形面积为，故答案为：.15【答案】【详解】建立如图所示空间直角坐标系设，：因为，所以，当时，解得，不符合题意，故错误；：当与重合时，因为，所以四边形为平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面，故正确；：设到平面的距离为，所以，且为定值，所以当最小时，三棱锥的体积最小，因为，所以，设平面的法向量为，所以，所以，取，所以，又，所以，当时有最小值，故错误；：设直线与直线所成角为，因为，所以，令，所以，所以，因为，所以时取最大值，此时取最小值，此时，即与重合，故正确；故答案为：.16【答案】
9、（1）；（2）.【详解】试题分析：(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；(2)利用点斜式可得直线方程为.试题解析：（1）， 的中点坐标为 ，的中垂线斜率为 由点斜式可得 的中垂线方程为 （2）由点斜式 直线的方程17【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆的标准方程.（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.【详解】（1）令圆心为且，由圆与相切，有，即可得.圆的标准方程为.（2）由（1）知：，到直线的距离为，直线与圆相交的弦长为.18【答案】(1)(2)【详解】（1）由于平面，平面，所以，由于，
10、所以两两相互垂直.以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设直线与直线所成角为，则，由于，所以.（2），设平面的法向量为，则，故可设，设直线PD与平面PAC所成角为，则.19【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设圆的方程为，代入，则，解得，所以圆的方程为；（2）设，由对称关系可知，解得，所以，又因为对称圆的半径不变，所以的方程为；（3）因为，由（2）可知关于直线的对称点为，所以，当且仅当共线时取等号，所以，即的最小值为.20【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）若选，由于平面平面，且交线为，平面，所以平面.若选，由于，平面，所以平面.（2）由（1）知平面，两两垂直，以为原点，分别
11、所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，则，A0,0,0，所以，由（1）知平面的法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，设平面与平面夹角的为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.（3）由已知得，所以点到平面的距离为.21【答案】(1)(2)或(3)【详解】（1）圆的方程可化为，所以圆心为，半径为.由于圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，结合图象可知圆的圆心为，半径为，所以圆的标准方程为.（2）由于，所以三角形是等腰直角三角形，且，所以到直线的距离为，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，则，两边平方并化简得，解得或，所以直线的方程为或，即或.（3），所以，因为，为圆上的两点，所以，由，得，即，解得，即实数的取值范围为
