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1、四川省雅安市雅安中学20242025学年高二上学期入学检测数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（）A事件1与事件3互斥B事件1与事件2互为对立事件C事件2与事件3互斥D事件3与事件4互为对立事件2已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组
2、随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）ABCD3从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（）ABCD4在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（）ABCD5甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（）A0.9B0.8C0.7D0.66已知空间向量，若与垂直，则等于（ ）ABCD7某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p
3、，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为（）ABCD8甲乙丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（）ABCD二、多选题（本大题共3小题）9不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在
4、有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则（）ABC事件与是互斥事件D事件与是相互独立事件10已知事件A，B，且，则（）A如果，那么B如果，那么C如果A与B相互独立，那么D如果A与B相互独立，那么11一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，则（）A的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点B若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率C若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为D若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为三、填空题（本大题共3小题）12已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满
5、足，则 13随着阿根廷队的夺冠，2022年卡塔尔足球世界杯落下帷幕.根据足球比赛规则，两支球队先进行90分钟常规赛.若比分相同，则进行30分钟加时赛；如果在加时赛比分依旧相同，则进入5球点球大赛.若甲、乙两队在常规赛与加时赛中得分均相同，则甲、乙两队轮流进行5轮点球射门，进球得1分，不进球不得分.假设甲队每次进球的概率均为0.8，乙队每次进球的概率均为0.5，且在前两轮点球中，乙队领先一球，已知每轮点球大赛结果相互独立，则最终甲队获胜的概率为 .14冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1例如：
6、给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为 四、解答题（本大题共5小题）15经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图(1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；(2)若分数在
7、区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率16甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.17杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzho
8、u 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组之
9、前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为最初分组时同组，同组(1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？(2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制
10、下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？18如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的中点，作 EFPB 交 PB 于点 F .(1)求证： PA/ 平面 EDB ；(2)求证： PB 平面 EFD ；(3)求平面 CPB 与平面 PBD 的夹角的大小.19在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为现有两种传输方案：单次传输和三次传输单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次收到的信号需要译码，译码规则如下
11、：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）(1)已知若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立(2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围参考答案1【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.【详解】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：,事件3可表示为：,事
12、件4可表示为：,因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；因为为不可能事件，为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；因为为不可能事件，不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；故选：B.2【答案】A【分析】根据随机数找出三次投篮恰有两次命中的数组，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意在组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：，共个，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率.故选：A3【答案】C【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则，且.因为A，B，C两两互斥，所以.故
13、选C.【思路导引】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则A，B，C两两互斥，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解.4【答案】D【分析】由空间直角坐标系对称点的特征即可求得结果.【详解】根据空间直角坐标系中点坐标的特征可知，关于原点对称的点的坐标需要把横坐标、纵坐标、竖坐标都变为原来的相反数，所以点关于原点对称的点的坐标为.故选：D5【答案】B【分析】由题意，表示出该题未被解出的概率，然后列出方程，即可得到结果.【详解】设乙独立解出该题的概率为，由题意可得，故选：B.6【答案】B【分析】首先求出的坐标，依题意可得，即可求出，从而求出，再计算
14、其模.【详解】因为，所以，因为与垂直，所以，所以，解得，所以，所以.故选：B7【答案】A【分析】根据题意结合独立事件概率的乘法公式求恰好投中两次的概率，列方程求解即可得结果.【详解】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A，B，C，则，可知恰好投中两次为事件，故恰好投中两次的概率，解得故选：A.8【答案】B【分析】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，将丙最终获胜的可能情况进行分类，分别求出各类事件发生的概率，再由互斥事件概率公式计算可得【详解】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时，甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响（或者用表示），若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为，若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，所以丙获胜的概率为故选B9【答案】AD【分析】根据题意可知：此实验相当于进行两次独立重复实验，进而判断选项即可求解.【详解】根据题意可知：两次取球相当于两次独立重复实验，所以事件与是相互独立事件，且，故选：.10【答案】ABD【分析】根据事件关系及运算有、，由事件的相互独立知，结合事件的运算求、.【详解】A：由，则，正确；B：由，则，正确；C：如果A与B相互独立，则，错误；D：由C分析及事件关系知：，正确.故选：ABD.11【答案】A
