河北省沧衡名校联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，不等式，三角函数与解三角形，平面向量，复数，数列．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，若，则A.1 B.2 C.3 D.42.已知，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.3.在等比数列中，，则A. B.81 C. D.2434.甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.已知，则A. B. C. D.6.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用pH值来表示溶液的酸碱度．pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的pH值约为（参考数据：A.0.268 B.0.87 C.1.13 D.1.877.如图，AB是圆的一条直径，CD是圆的一条弦，点段CD上，若6，则的最小值是A.41 B.50 C.82 D.1008.已知函数在内恰有两个零点，则的取值范围是A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知复数，则A. B.C. D.在复平面内对应的点位于第一象限10.设的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列结论正确的是A. B.的外接圆的面积是C.的面积的最大值是 D.的取值范围是11.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则A. B.的图象关于直线对称C.的图象关于点中心对称 D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，若，则______．13.正偶数排列如图所示，表示第行第个数，如，若，则______.14.已知函数，若对任意的成立，则正数的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求的大小；（2）若，且的面积是，求的值.16.（15分）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围.17.（15分）设数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若求数列的前项和.18.（17分）已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）求的单调递减区间；（3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.19.（17分）若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点.（1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．（2）对任意，函数都满足.①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点.②若，证明：当时，.参考数据：.沧衡名校联盟高三年级2024-2025学年上学期期中考试数学参考答案1.B 由题意可得，解得.2.C 对于A，当时，不满足，则A错误.对于B，当时，，则B错误.对于C，因为，所以，所以，则，故C正确．对于D，当时，不满足，则D错误.3.D 设数列的公比为，则，解得，故．4.B 若甲是冠军，则乙不是冠军；若乙不是冠军，则甲是冠军或丙是冠军.故“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件．5.A 由题意可得解得，则.6.B 由题意得.7.C 如图，连接PO.由题意得是线段AB的中点，所以.因为，所以，所以.因为，所以圆心到直线CD的距离，所以，所以100，故的最小值是82.8.D 因为，所以.因为在内恰有两个零点，所以，解得.9.ACD 因为，所以，所以，则A正确，B错误.因为，所以，则C正确.因为，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，则D正确．10.BCD 因为，所以，所以，因为，所以，又，所以，则A错误.设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，则的外接圆的面积是，则B正确.由余弦定理可得，即.因为，当且仅当时，等号成立，所以3，所以的面积，则C正确.由正弦定理可得，则，所以.因为，所以，所以，所以，即的取值范围是，故D正确．11.ACD 因为，所以，因为，所以，则A正确．因为是定义在上的奇函数，所以，所以．因为，所以的图象不关于直线对称，则B错误．因为，所以．因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以的图象关于点中心对称，则C正确．因为是定义在上的奇函数，所以，所以当时，．设，则，所以.因为，所以，则D正确.12. 因为，所以.因为，所以，解得.13.23 由题意可知第行有个数，则前行一共有个数.当时，，当时，，则2024在第45行，即.因为，所以，则.14. 由，即，得.因为，所以.设，则.因为，所以，所以在上单调递增.因为，所以.因为，所以1，又因为在上单调递增，所以，所以，所以.设，则.由，得，则在上单调递减；由，得，则在上单调递增.故，即.15.解：（1）因为，所以…………………1分因为，所以，所以，………………………………………2分所以，即，………………………………………4分所以，又，所以.……………………………………………………6分（2）因为的面积是，所以，解得.……………………8分由余弦定理可得，即，…………………………………9分则，…………………………………………………………………………………11分即，…………………………………………………………………………12分故.…………………………………………………………………………………………13分16.解：（1）因为，所以，……………………………1分所以，………………………………………………………………………………3分则所求切线方程为，即（或）.………………………5分（2）设过点的切线的切点为.由（1）可知，则所作切线斜率.…………………6分由直线的斜率计算公式可得，……………………………………7分则，所以.………………………8分因为过点可作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个不同的实数根．……………………………………………………………………………………9分设函数，则.………………10分由，得或，则在和上单调递增；……………………11分由，得，则在上单调递减.…………………………………………12分由题意可得………………………………………14分解得，即的取值范围为.………………………………………………15分17.解：（1）因为，所以当时，，………………………………1分所以，即.……………………………………………………3分当时，，解得，………………………………………………………4分则是首项为1，公比为3的等比数列，……………………………………………………………5分故．……………………………………………………………………………………7分（2）由（1）可知当为奇数时，；当为偶数时，.……………………………………………………………………8分当为奇数时，…………………………………………………11分当为偶数时，.………………………………………………………………14分综上，………………………………………………………15分18.解：（1）由题意可得，则.因为，且，所以.………………………………………………………………2分由图可知，则，解得.因为，所以.……………………………………………………………………3分由图可知，解得.……………………………………………4分故.……………………………………………………………………………5分（2）令，…………………………………………………………7分解得，…………………………………………………………………9分故的单调递减区间是.………………………………………………10分（3）因为，所以，…………………………………………………11分所以当，即时，取得最小值-2.…………………………………………13分因为存在，使得不等式成立，所以0，……15分即，解得，故的取值范围是．………………………………………17分19.证明：（1）由，得，则，…………………………………………………………………………1分解得，所以只有1个偶点，且偶点为0，所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．……………………………………………………3分（2）由题意得对恒成立，………………………4分所以存在常数，使得…………………………………5分令，得解得.……………………………………6分①，由，得，即，则，即．…………………………………………………………7分，因为，所以必有两根（设），………………………………8分当或时，，当时，，所以函数有2个极值点．…………………………………………………………9分②若，则，…………………………………………………10分当时，要证，只需证.因为，所以，所以只需证.……………………………………………………………………12分设函数，则.当时，，则在上单调递减，当时，0，则在上单调递增，………………………………………………………………14分所以.因为，所以，………………16分所以，从而，故当时，.……………………………………………………………………17分。
