第十一章 三角形易错训练与压轴训练01 思维导图目录易错题型一 正确画三角形的高线 1易错题型二 多边形截角后的边数问题 3易错题型三 多边形截角后的内角和问题 5压轴题型一 利用三角形三边关系化简 8压轴题型二 与三角形高有关的计算问题 9压轴题型三 与三角形中线有关的计算问题 14压轴题型四 与三角形角平分线有关的计算问题 22压轴题型五 三角形折叠中的角度问题 28压轴题型六 与三角形的外角有关的问题 36压轴题型七 多边形的内角和与外角和综合问题 4602 易错题型易错题型一 正确画三角形的高线例题：（22-23八年级上·北京·期中）下列各图中，作边边上的高，正确的是（ ）A． B． C． D．巩固训练1．（23-24七年级下·江苏南京·期中）下列图中，作边上的高正确的是（ ）A． B． C． D．2．（22-23七年级下·四川成都·期中）画边上的高，下列画法中，正确的是（ ）A． B． C． D．3．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）在中，作出边上的高，正确的是（ ）A．① B．② C．③ D．④易错题型二 多边形截角后的边数问题例题:（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（ ）A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5巩固训练1．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或83．（22-23七年级上·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ．4．（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ．易错题型三 多边形截角后的内角和问题例题：（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（ ）A． B． C．或 D．或或巩固训练1．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（ ）A．14 B．23 C．或 D．或或2．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（ ）A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或123．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为，则原多边形的边数（ ）A．12 B．11或12 C．12或13或14 D．11或12 或1303 压轴题型压轴题型一 利用三角形三边关系化简例题：（23-24七年级下·四川眉山·期中）若，，是的三边，试化简： ．巩固训练1．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）已知a，b，c是三角形的三边长，化简.2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边分别为a,b,c．(1)若为整数，求的周长．(2)化简：．压轴题型二 与三角形高有关的计算问题例题：（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，是的中线，是的高，，，，．(1)求高的长；(2)求的面积．巩固训练1．（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图（1），用分别表示和的面积．则，∵∴．【性质应用】(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F．【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高；【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的：证明：∵__________，∴__________．∵，∴__________．【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由．【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．压轴题型三 与三角形中线有关的计算问题例题：（2024七年级下·全国·专题练习）如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点顺次连接成，若的面积是5，则的面积是 ．巩固训练1．（23-24七年级下·重庆大渡口·期末）如图，在中，点是的中点，点在边上，，，若的面积是3，则图中阴影部分的面积是 ．2．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．(1)【深入探究】如图2，点D在的边上，点P在上．①若是的中线，______．②若，则______．(2)【拓展延伸】如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形．①：直接写出，与之间的等量关系；_______②：若，则_______．3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答：在图中过A作于点．是的中线，． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】（1）如图，点在的边上，点在上．①若是的中点，求证：；②若，则 ．【拓展延伸】（2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系．压轴题型四 与三角形角平分线有关的计算问题例题：（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且．(1)求证：；(2)若，求的度数；(3)当，，时，求点到直线的距离．巩固训练1．（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，在锐角中，两条高线相交于点O．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，，，与的角平分线交于点M，求的度数；(3)如图3，对任意的锐角，与的角平分线交于点M，直接写出的度数是__________．2．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在中，平分交于点，点为直线上一点，连接，，连接交于点，作平分交于点．(1)求证：；(2)若．①试判断，，之间的数量关系，并说明理由；②若，求的度数．3．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，在中，平分，平分，于点E，与交于点F，设，．(1)当，时，判断与的位置关系并说明理由．(2)求的度数（用含，的式子表示）．(3)要使得（1）中的结论始终成立，与之间应满足什么关系．压轴题型五 三角形折叠中的角度问题例题：（23-24七年级上·吉林白山·期末）如图，等边三角形纸片中，点在边（不包含端点，）上运动，连接，将对折，点落在直线上的点处，得到折痕；将对折，点落在直线上的点处，得到折痕． (1)若，求的度数；(2)试问：的大小是否会随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．巩固训练1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______；(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______；(3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合．①若，则______；②若，求证：；(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．2．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究 (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由．(2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数．(3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示．3．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）（1）如图，将一张三角形纸片沿着折叠，使点落在边上的处，若，则 ______； （2）如图，将一张三角形纸片沿着折叠点，分别在边和上，并使得点和点重合，若，则 ______；（3）如图，将长方形纸片沿着和折叠成如图所示的形状，和重合，①的度数是多少？请说明理由；②如果，求的度数．压轴题型六 与三角形的外角有关的问题例题：（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图所示，直线，直角的直角顶点A在直线上，边在直线上，的平分线与的外角的平分线交于点．(1)如图，__________；(2)如图，的平分线交于点，请判断与数量关系，并说明理由；(3)如图，，与交于点，将绕点顺时针以每秒的速度旋转，同时绕点顺时针以每秒的速度旋转，当旋转一周时两个三角形同时停止旋转．请直接写出，在旋转过程中边与的边平行时旋转的时间的值．巩固训练1．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知：，点在直线上，连接．(1)如图1，若．求证：；(2)若，的平分线与分别交于点．①如图2，当点在边上（不与重合）时，求证：；②当点在的延长线上时，“”是否依然成立？画出图形，并说明理由．2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．【结论探究】（1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题：【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数；【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？3．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在中，与的平分线相交于点P． (1)如图1，，，求的度数．(2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）．(3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D．①试探究，之间。
