《2025人教版五年级下册强基奥数讲义第9讲：行程问题（三）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2025人教版五年级下册强基奥数讲义第9讲：行程问题（三）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、行程问题（三）（五年级第9讲）【内容简介】在行程问题中，经常会碰到相遇问题、追及问题、时间路程速度的关系问题等交织在一起的综合问题，这类问题难度较大，往往需要画图帮助搞清各数量之间的关系，并把综合问题分解成几个单一问题，然后逐次求解。【例1】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？【分析与解答】这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、
2、丙的路程和为（40+36）3=228（米）第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228（38-36）=114（分钟）第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程，所以花圃周长为（40+38）114=8892（米）我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。总之，行程问题是重点，也是难点，更是锻炼思维的好工具。只要理解好“三个量”之间的“三个关系”，解决行程问题并非难事！【例2】甲乙丙三个小分队都从A地到B地进行野外训练，上午6时，甲乙两个小队一起从A地出发，甲队每小时走5
3、千米，乙队每小时走4千米，丙队上午8时才从A地出发，傍晚6时，甲丙两队同时到达B地，那么丙队追上乙队的时间是上午()时。【分析与解答】从上午6时到下午6时共经过12小时，则A、B两地的距离为512=60千米，丙上午8时出发，则全程比甲少用8时-6时=2小时，所以丙的速度为每小时60(12-2)=6千米。由于丙出发时，乙已行了42=8千米，两人的速度差为每小时6-4=2千米，则丙追上乙需要82=4小时，所以丙追上乙的时间是8时+4小时=12时。解：6时+6时=12时，8时-6时=2时；512(12-2)=6010，=6(千米)；24(6-4)=82，=4(小时)8时+4小时=12时。即丙在上午1
4、2时追上乙。故答案为：12。【例3】两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1800米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发12分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发后75分钟，两人与十字路口的距离再次相等。此时他们距十字路口多少米？【分析与解答】如左下图所示，出发12分钟后，甲由A点到达B点，乙由O点到达C点，且OB=OC。如果乙改为向南走，那么这个条件相当于“两人相距1800米，12分钟相遇”的相遇问题，所以每分钟两人一共行180012=150（米）。如右上图所示，出发75分钟后，甲由A点到达E点，乙由O点到达F点，且OE=OF。如果乙改为向北走，那么这个条件相当于“两人相距1800
5、米，75分钟后甲追上乙”的追及问题，所以每分钟两人行走的路程差是180075=24（米）。再由和差问题，可求出乙每分钟行（150-24）2=63（米），出发后75分钟距十字路口6375=4725（米）。【例4】小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。问：甲、乙两地相距多远？【分析与解答】如下图所示，面包车与小轿车在A点相遇，此时大客车到达B点，大客车与面包车行BA这段路程共需30分钟。由大客车与面包车的相遇问题知BA=（48+42）（3060）=45（千米）；小轿车比大客
6、车多行BA（45千米）需要的时间，由追及问题得到45（60-42）=2.5（时）；在这2.5时中，小轿车与面包车共行甲、乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲、乙两地相距（60+48）2.5=270（千米）。由例1、例2看出，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题，可以达到化难为易的目的。【例5】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米.甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地间的距离。【分析与解答】画图如下：结合上图，如果我们设甲、乙在点C相遇时，丙在D点，则因为过15分钟后甲、丙在点E相遇，所以C、D之间的距离
7、就等于（4060）15=1500（米）。又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内，乙走到C点，丙才走到D点，即在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为50-4010（米/分），这样就可求出乙从B到C的时间为150010150（分钟），也就是甲、乙二人分别从A、B出发到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。解：甲和丙15分钟的相遇路程：（4060）15=1500（米）。乙和丙的速度差：50-40=10（米/分钟）。甲和乙的相遇时间：150010=150（分钟）。A、B两地间的距离：（5060）15016500（米）16.5千米。答：A、B两地间的距离是16.
8、5千米.【例6】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他，每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？公共汽车的速度是小明步行速度的几倍？【分析与解答】这是一道数量关系非常隐蔽的难题，有很多种解法，但大多数解法复杂且不易理解。为了搞清各数量之间的关系，我们对题目条件做适当变形。假设小明在路上向前行走了63分钟后，立即回头再走63分钟，回到原地。这里取63，是由于7，9=63。这时在前63分钟他迎面遇到637=9（辆）车，后63分钟有639=7（辆）车追上他，那么在两个63分钟里
9、他共遇到朝同一方向开来的16辆车，则发车的时间间隔为【例7】甲、乙两人在长为30米的水池里沿直线来回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他们同时分别从水池的两端出发，来回共游了11分钟，如果不计转向的时间，那么在这段时间里，他们共相遇了多少次？【分析与解答】甲游一个单程需301=30（秒），乙游一个单程需300.6=50（秒）。甲游5个单程，乙游3个单程，各自到了不同的两端又重新开始，这个过程的时间是150秒，即2.5分钟，其间，两人相遇了5次（见下图），实折线与虚折线的交点表示相遇点。以2.5分钟为一个周期，11分钟包含4个周期零1分钟，而在一个周期中的第1分钟内，从图中看出两
10、人相遇2次，故一共相遇了54+2=22（次）。例4用画图的方法，直观地看出了一个周期内相遇的次数，由此可见画图的重要性。【例8】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时乙距山顶还有400米，甲回到山脚时乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。【分析与解答】本题的难点在于上山与下山的速度不同，如果能在不改变题意的前提下，变成上山与下山的速度相同，那么问题就可能变得容易些。如果两人下山的速度与各自上山的速度相同，那么题中“甲回到山脚时乙刚好下到半山腰”应该变为“甲下山路走了1/2时，乙下山路走了1/4”。因为甲到山顶时比乙多走400米
11、，所以甲下山路走了1/2时，应该比乙多走400（1+1/2）=600（米），而这段路是下山路的1/2-1/4，所以，从山脚到山顶的距离是600（1/2-1/4）=2400（米）。【练习】1.甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米，中午12点甲到达西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。问：东、西两村相距多远？2.红星小学组织学生排成队步行去郊游，步行的速度是1米/秒，队尾的王老师以2.5米/秒的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟。求队伍的长度。3.甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，两人同向而行，甲26分钟赶上乙；两人相向而行，6分钟可相遇。已知乙每分钟
12、行50米，求A，B两地的距离。4.某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10分钟前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的3倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？5.某人沿着电车道旁的便道以4.5千米/时的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过。如果电车按相等的时间间隔发车，并以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是多少？电车发车的时间间隔是多少？6.铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以30千米/时的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名工人，15
13、秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民。问：工人与农民何时相遇？7.小红从家到火车站赶乘火车，每小时行4千米，火车开时她还离车站1千米；每小时行5千米，她就早到车站12分钟。小红家离火车站多少千米？行程问题（三）（五年级第9讲）【内容简介】在行程问题中，经常会碰到相遇问题、追及问题、时间路程速度的关系问题等交织在一起的综合问题，这类问题难度较大，往往需要画图帮助搞清各数量之间的关系，并把综合问题分解成几个单一问题，然后逐次求解。【例1】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每
14、分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？【分析与解答】这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）3=228（米）第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228（38-36）=114（分钟）第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程，所以花圃周长为（40+38）114=8892（米）我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路
15、更加清晰。总之，行程问题是重点，也是难点，更是锻炼思维的好工具。只要理解好“三个量”之间的“三个关系”，解决行程问题并非难事！【例2】甲乙丙三个小分队都从A地到B地进行野外训练，上午6时，甲乙两个小队一起从A地出发，甲队每小时走5千米，乙队每小时走4千米，丙队上午8时才从A地出发，傍晚6时，甲丙两队同时到达B地，那么丙队追上乙队的时间是上午()时。【分析与解答】从上午6时到下午6时共经过12小时，则A、B两地的距离为512=60千米，丙上午8时出发，则全程比甲少用8时-6时=2小时，所以丙的速度为每小时60(12-2)=6千米。由于丙出发时，乙已行了42=8千米，两人的速度差为每小时6-4=2千米，则丙追上乙需要82=4小时，所以丙追上乙的时间是8时+4小时=12时。解：6时+6时=12时，8时-6时=2时；512(12-2)=6010，=6(千米)；24(6-4)=82，=4(小时)8时+4小时=12时。即丙在上午12时追上乙。故答案为：12。【例3】两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1800米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发12分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发后75分钟，两人与十字路口的距离再次相等。此时他们距十字路口多少米？【分析与解答
