《2025人教版五年级下册强基奥数讲义第6讲：用割补法求面积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2025人教版五年级下册强基奥数讲义第6讲：用割补法求面积（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用割补法求面积（五年级第6讲）【内容简介】在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。简单来说就是把不规则的图形通过面积替换，转换一下位置，使不规则图形变成规则图形，以便于用公式求解的一种方法，大大减少计算量。面积公式：长方形的面积长宽（Sab）正方形的面积边长边长（Sa）平行四边形的面积底高（Sah）三角形的面积底高2（Sah2）梯形的面积（上底下底）高2S（ab）
2、h2圆的面积半径半径（Sr）【例1】求下列各图中阴影部分的面积：【分析与解答】（1）如下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。444-442=4.56。（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为55=25。【小结】利用割补法求面积一般步骤：1、观察、思考图
3、形之间的联系。2、寻找哪些图形经过分割、切拼可以补充诚一个规则的图形。3、列式计算求出面积。【例2】如图中，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？【分析与解答】如图，10102=50（平方厘米）本题考查了运用正方形的面积计算公式解答问题，只要认真观察，不难看出，图中阴影部分与空白部分的面积相等，或通过旋转、平移，阴影部分也可组成一个小正方形，其面积是大正方形面积的一半1、 通过观察题图可知，中间白色的小正方形里边有四个小的阴影三角形；2.将分析1中提到的四个阴影三
4、角形都往外翻转，阴影小三角形正好覆盖住大正方形四周的四个白色小三角形，如下方的示意图：；3.通过观察上方的示意图可知，白色小正方形的面积为大正方形面积的一半，所以，阴影部分的面积也为大正方形面积的一半.【例3】在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。【分析与解答】阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角形拼成一个长方形（见下图）。显然，阴影部分正好是长方形的三分之一，所以原题阴影部分占整个图形面积的三分之一。（2）拼补法将两个这样的三角形
5、拼成一个平行四边形（见下图）。显然，图中阴影面积占平行四边形面积的三分之一。根据商不变性质，将阴影面积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面积的三分之一。（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，所以阴影面积占整个图形面积的九分之三，即三分之一。注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。【小结】“补”能让我们得到一个更加完成的图形，使要求面积的图形包含在整个图形之中。方法二就是利用此思路。方法三利用的是“割”，把整个图形分割成若干等分，求出阴影面积占整个面积之比，最后求
6、出结果。【例4】求阴影部分的面积【分析与解答】阴影部分的面积是一个不规则的图形，白色部分相当于两个半圆，整体部分是一个正方形，因此，S阴影S正2S半圆。我们还可以，把题图分成两半，然后把左边部分移到右边补回去，从而S阴影S正S圆，即88（82）13.76（cm）【例5】如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。【分析与解答】因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（见右上图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米
7、的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（99-55）4=14（cm）。【例6】在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。【分析与解答】题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A，B与B面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是46=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。【小结】例4的方法与例3相似，把题目所给的图形补充完整，找出所求图形与其他图形之间的联系，求出所求图形的面积。【例7】下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大4
8、0厘米2。求乙正方形的面积。【分析与解答】如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2，宽是4020=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）2=9（厘米），从而乙正方形的面积为99=81（厘米）。【小结】利用“割补”的方法，可以使不规则的图形变成使它变成可以计算出面积的规则图形。【例8】根据图形中已知条件，计算下面图形阴影部分的面积。【分析与解答】本题虽然通过加减法等方法也能够算出
9、阴影部分的面积，但方法比较繁琐，无形中增加图形的难度。我们仔细观察发现，可把上面两块阴影部分的面积，通过割补法把此图转化为下面图形：把刚才的阴影部分的面积转化为长方形的面积。（2+2）2=8（平方厘米）【例9】如图，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。【分析与解答】S阴影S矩形ABCDS小路S矩形EFGH（ac）b【课后练习】1.求下列各图中阴影部分的面积：（1）（2）2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形
10、后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米，上底为3厘米，求下底和高。4.在下图中，长方形AEFD的面积是18cm，BE长3厘米，求CD的长。5.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米。求甲、乙的面积之和。6.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。用割补法求面积（五年级第6讲）【内容简介】在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。在多边形的组合图形中，为
11、了计算面积，有时也要用到割补的方法。简单来说就是把不规则的图形通过面积替换，转换一下位置，使不规则图形变成规则图形，以便于用公式求解的一种方法，大大减少计算量。面积公式：长方形的面积长宽（Sab）正方形的面积边长边长（Sa）平行四边形的面积底高（Sah）三角形的面积底高2（Sah2）梯形的面积（上底下底）高2S（ab）h2圆的面积半径半径（Sr）【例1】求下列各图中阴影部分的面积：【分析与解答】（1）如下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
12、444-442=4.56。（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为55=25。【小结】利用割补法求面积一般步骤：1、观察、思考图形之间的联系。2、寻找哪些图形经过分割、切拼可以补充诚一个规则的图形。3、列式计算求出面积。【例2】如图中，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？【
13、分析与解答】如图，10102=50（平方厘米）本题考查了运用正方形的面积计算公式解答问题，只要认真观察，不难看出，图中阴影部分与空白部分的面积相等，或通过旋转、平移，阴影部分也可组成一个小正方形，其面积是大正方形面积的一半1、 通过观察题图可知，中间白色的小正方形里边有四个小的阴影三角形；2.将分析1中提到的四个阴影三角形都往外翻转，阴影小三角形正好覆盖住大正方形四周的四个白色小三角形，如下方的示意图：；3.通过观察上方的示意图可知，白色小正方形的面积为大正方形面积的一半，所以，阴影部分的面积也为大正方形面积的一半.【例3】在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见
14、右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。【分析与解答】阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角形拼成一个长方形（见下图）。显然，阴影部分正好是长方形的三分之一，所以原题阴影部分占整个图形面积的三分之一。（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（见下图）。显然，图中阴影面积占平行四边形面积的三分之一。根据商不变性质，将阴影面积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面积的三分之一。（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，所以阴影面积占整个图形面积
15、的九分之三，即三分之一。注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。【小结】“补”能让我们得到一个更加完成的图形，使要求面积的图形包含在整个图形之中。方法二就是利用此思路。方法三利用的是“割”，把整个图形分割成若干等分，求出阴影面积占整个面积之比，最后求出结果。【例4】求阴影部分的面积【分析与解答】阴影部分的面积是一个不规则的图形，白色部分相当于两个半圆，整体部分是一个正方形，因此，S阴影S正2S半圆。我们还可以，把题图分成两半，然后把左边部分移到右边补回去，从而S阴影S正S圆，即88（82）13.76（cm）【例5】如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求
