《2025人教版五年级下册强基奥数讲义第8讲：行程问题（二）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2025人教版五年级下册强基奥数讲义第8讲：行程问题（二）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、行程问题（二）（五年级下册第8讲）【内容简介】本讲重点讲相遇问题和追及问题。一、相遇问题（或相向问题）：1相遇问题的概念：两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。2相遇问题公式：相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。它们的基本关系式如下：总路程（甲速乙速）相遇时间相遇时间总路程（甲速乙速）另一个速度甲乙速度和已知的一个速度甲走的路程乙走的路程两地距离。二、追及问题：1追击问题的概念：追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及
2、问题），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题2追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：距离差速度差追及时间追及时间距离差速度差速度差距离差追及时间速度差快速慢速3解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。【例1】甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离？【分析与解答】先画示意图如下：图中C点为相遇地点。因为从C点到B点，甲车行3时，所以C，B两地的距离为403=120（
3、千米）。这120千米乙车行了12060=2（时），说明相遇时两车已各行驶了2时，所以A，B两地的距离是（40+60）2=200（千米）。【小结】首先根据题意，用甲车的速度乘以3，求出甲车相遇后行驶的路程，即可求出乙相遇时行驶的路程；然后再除以乙的速度，求出两车的相遇时间；最后根据速度时间路程，用两车的速度之和乘以相遇时间，求出A，B两地的距离即可。此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度时间路程，路程时间速度，路程速度时间，要熟练掌握；解答此题的关键是求出两车的相遇时间。【例2】小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分钟行60米，李大爷每分
4、钟行40米，他们每天都在同一时刻相遇。有一天小明提前出门，因此比平时早9分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？【分析与解答】因为提前9分钟相遇，说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路，即多走了（60+40）9=900（米），所以小明比平时早出门90060=15（分）。【小结】根据题意，用两人9分钟所行路程除以小明的速度，即为小明早出发的时间。计算为：（6040）96015（分钟），本题主要考查相遇问题，关键利用路程、速度和时间的关系解题。【例3】小刚在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用18秒。已
5、知火车全长342米，求火车的速度？【分析与解答】在上图中，A是小刚与火车相遇地点，B是小刚与火车离开地点。由题意知，18秒小刚从A走到B，火车头从A走到C，因为C到B正好是火车的长度，所以18秒小刚与火车共行了342米，推知小刚与火车的速度和是34218=19（米/秒），从而求出火车的速度为19-2=17（米/秒）。【小结】解答错车问题，关键是确定行驶的方向，由此求出速度和或速度差。小刚和火车相对而行，18秒共行的路程是342米，所以速度和是3421819米/秒，然后减去他散步的速度2米/秒，就是火车的速度。【例4】甲乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发，到早上10时两车相距112.5千
6、米。两车继续行驶到下午1时，两车相距还是112.5千米。A、B两地的距离是多少？【分析与解答】分析：10点相距112.5千米，下午1点还是112.5千米，说明在这3小时同内他们两人一共走了225千米。所以他们的合速度是2253=75千米每小时，8点到10点有2个小时他们一共走了752150千米，故AB两地距离为：150112.5262.5千米解：早上8点到10点是2个小时（112.5112.5）32112.5752112.5150112.5262.5（千米）答：AB两地相距262.5千米【小结】首先根据“中午10时两车还相距112.5千米，继续行驶到下午1时，两车还相距112.5千米”求出两车
7、速度和，再理解8点到10点这两个小时是从A地到B地市完成本题的关键【例5】铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆拖拉机正以20千米/时的速度行驶。这时，一列火车以56千米/时的速度从后面开过来，火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒。求火车的全长？【分析与解答】与例3类似，只不过由相向而行的相遇问题变成了同向而行的追及问题。由上图知，37秒火车头从B走到C，拖拉机从B走到A，火车比拖拉机多行一个火车车长的路程。用米作长度单位，用秒作时间单位，求得火车车长为速度差追及时间=（56000-20000）360037=370（米）。【小结】此题属于追及问题，本题的追及路程就是火车车身长，先求出
8、火车和汽车的速度差；再根据追及路程追及时间速度差，据此解答即可。此题主要考查了速度、路程、时间的关系，但在本题中速度应该是相对速度；当两物体沿同一方向行驶时，相对速度应该是两个物体行驶的速度的差，当两物体沿相反方向行驶时，相对速度应该是两个物体行驶的速度的和，解答时要注意统一单位。【例6】甲骑车，乙跑步，两人同时从一点出发沿着4千米的环形公路同方向进行晨练。出发10分钟后，甲便从乙身后追上了乙，已知两人的速度和是每分钟行700米，求甲、乙两人的速度各是多少？【分析与解答】根据甲骑车，乙跑步，两人同时从一点出发沿着4千米的环形公路同方向进行晨练。出发10分钟后，甲便从乙身后追上了乙，可以知道甲比
9、乙10分钟多跑了4千米，即路程差，根据路程差时间速度差，求出甲、乙的速度差是：400010400（米/分），然后根据和差问题公式：（和差）2大数，可以求出甲的速度，根据（和差）2小数，可以求出乙的速度。解：4千米4000米400010400（米/分钟）（700400）211002550（米/分钟）700550150（米/分钟）答：甲的速度是550米/分钟，乙的速度是150米/分钟【小结】求出甲、乙的速度差是解答此题的关键。【例7】如右图所示，沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。已知甲每分走90米，乙每分走70米。问：至少经过多长
10、时间甲才能看到乙？【分析与解答】当甲、乙在同一条边（包括端点）上时甲才能看到乙。甲追上乙一条边，即追上300米需300（90-70）=15（分），此时甲、乙的距离是一条边长，而甲走了9015300=4.5（条）边，位于某条边的中点，乙位于另一条边的中点，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可以看到乙，共需300590=1632分=16分40秒【小结】解答这类题目，一定要弄清题里数量间的关系，理清思路，抓住关键问题“必须在一条直线上时甲才能看到乙”，再进行推算就可以了。【例8】森林中，猎狗发现前方20米处有一只奔跑的野兔，立即追赶上去，猎狗步子大，
11、它跑5步的路程，兔子要跑9步，但兔子动作快，猎狗跑2步的时间，兔子却能跑3步，猎狗跑出多远才能追上野兔？【分析与解答】猎狗步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，则猎狗跑2510步路程，则兔要跑9218步，猎狗跑2步的时间，兔子却能跑3步，则猎狗跑2510步的时间，兔只能跑3515步，所以猎狗速度是的兔的速度的1815=56，猎狗在每一个单位时间内比兔子多走20（65）20米，则猎狗跑出206120米才能追上野兔。解：猎狗跑2510的步路程兔跑9218步的路程，猎狗跑2510步的时间内，兔只能跑3515步；则猎狗速度与兔的速度比：18：156：5设猎狗要追x米，野兔则跑x20米。x：（x20）6
12、：5x120答：猎狗跑出120米才能追上野兔。【小结】根据2和5的最小公倍数为10，猎狗跑5步是时间距离统起来，由此求出猎狗和兔子的速度比是完成本题的关键。【练习】1.A，B两村相距2800米，小明从A村出发步行5分钟后，小军骑车从B村出发，又经过10分钟两人相遇。已知小军骑车比小明步行每分钟多行130米，小明每分钟步行多少米？【分析与解答】.60米。解：（2800-13010）（102+5）=60（米）。2.甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米。已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。【分析与解答】176千米。3.小红和小强同时从家里出发相向而行。
13、小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远？【分析与解答】解：因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少走4分。由（704）（90-70）=14（分），推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）18=2196（米）。4.甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，8小时后相遇，相遇后两车继续行驶，3小时后两车相距360千米。求A、B两地间的距离？【分析与解答】分析：已知时间是8小时，要求A、B两地相距多少千米，就要
14、求出两车的速度和因为两车相遇后是背向而行，由“3小时后两车相距360千米”，可知两车的速度和为3603120（千米），那么A、B两地相距1208，计算即可解：36038，1208，960（千米）；5.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢长的车长是385米。坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？【分析与解答】分析：快车上的人看见慢车的速度与慢车上的人看见快车的速度相同，所以两车的车长比等于两车经过对方的时间比，那么慢车上看见快车驶过的时间就是快车上看见慢车驶过的时间的280385，用11秒乘这个分率即可求解。解：112803858（秒
15、）6.甲、乙二人同时从A地到B地去。甲骑车每分钟行250米，每行驶10分钟后必休息20分钟；乙不间歇地步行，每分钟行100米，结果在甲即将休息的时刻两人同时到达B地。问：A，B两地相距多远？【分析与解答】根据题意，每30分钟甲行250102500米，乙行100303000米，乙10分钟行100101000米，由于300025001500，500310002500（米）因此，AB相距：30003100010000（米）7.甲、乙两人从周长为1600米的正方形水池相对的两个顶点同时出发逆时针行走，两人每分钟分别行50米和46米。出发后多长时间两人第一次在同一边上行走？【分析与解答】解：甲追上乙一条边（400米）需400（50-46）=100（分），此时甲走了50100=5000（米），位于某条边的中点，再走200米到达前面的顶点还需4分，所以出发后100+4=104（分）
