《2025人教版五年级下册强基奥数讲义第2讲：位值原则》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2025人教版五年级下册强基奥数讲义第2讲：位值原则（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、位值原则（五年级第2讲）【内容简介】同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。用阿拉伯数字和位值原则，
2、可以表示出一切整数。例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9100+210+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：abc表示𝑎个百，𝑏个十，𝑐个一。其中𝑎可以是19中的数码，但不能是0，𝑏和𝑐是09中的数码。abc上面的横线表示这是用位值原则表示的一个数，用以区别𝑎𝑏𝑐=𝑎𝑏𝑐。下面，我们利用位值原则解决一些整数问题。【例1】证明：当𝑎𝑐
3、时，abccba必是9的倍数。【分析与解答】证明：abc=100𝑎+10𝑏+𝑐cba=100𝑐+10𝑏+𝑎abccba=100𝑎+𝑐100𝑐𝑎=99(𝑎𝑐)因为99能被9整除，所以abccba能被9整除。在例1中，因为abc和cba的数字顺序恰好相反，所以称cba为abc的反序数，当然abc也是cba的反序数。用同样的方法可以证明，互为反序数的两个数之差必然能被9整除。例如，（97531-13579）必是
4、9的倍数。【小结】熟练掌握运用位值原则拆分表示整数的方法，是解决此类问题的基本思路。本题运用位值原则对用字母表示的两个数拆分后再整理计算，最后得到abccba是9的倍数。【例2】有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。【分析与解答】由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘10后再加1。解：设这个两位数为𝑥。由题意得到：(10𝑥+1)(100+𝑥)=66610𝑥+1100ү
5、09;=66610𝑥𝑥=6661+1009𝑥=765𝑥=85答：原来的两位数是85。【小结】根据位值原则找到这个两位数两次变化后值之间的关系，得到对应的等量关系是解本题的关键。本题将这个两位数看成一个整体设为未知数𝑥，使得解答过程更加简洁方便。【例3】𝑎,𝑏,𝑐是19中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(𝑎+𝑏+𝑐)的多少倍？【分析与解答】用𝑎,𝑏,⻔
6、8;组成的六个不同数字是:abc，acb，bac，bca，cab，cba。这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到abc+acb+bac+bca+cab+cba=100(𝑎+𝑎+𝑏+𝑏+𝑐+𝑐)+10(𝑏+𝑐+𝑎+𝑐+𝑎+𝑏)+(𝑐+𝑏+𝑐+𝑎+𝑏+𝑎)=200(𝑎+Ү
7、87;+𝑐)+20(𝑎+𝑏+𝑐)+2(𝑎+𝑏+𝑐)=222(𝑎+𝑏+𝑐)所以，六个数的和是(𝑎+𝑏+𝑐)的222倍。【小结】本题需要熟练掌握位值原则，首先需要先将用𝑎,𝑏,𝑐组成的不重复的六位数先写出来，再根据位值原则将这六个数的百位、十位、个位分别相加，对算式进行整理计算后，得到这六个数的和是(𝑎+𝑏+
8、19888;)的222倍。【例4】用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？【分析与解答】由例3知，可以组成的六个三位数之和是（2+8+7）222，所以平均值是（2+8+7）2226=629。【小结】本题是例3结论的应用，首先运用例3结论得到用2，8，7三张数字卡片组成的不同的三位数的总和，再除以6得到所有这些三位数的平均值。【例5】一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。【分析与解答】设这个两位数为ab，则有(𝑎+𝑏)5(10𝑎+𝑏)=65𝑎+5Ү
9、87;10𝑎𝑏=64𝑏5𝑎=6当𝑏=4,𝑎=2或𝑏=9,𝑎=6时，4𝑏5𝑎=6成立，所以这个两位数是24或69。【小结】本题运用位值原则设这个两位数为ab，使得解题过程更加清晰。根据题意得到对应的等量关系，运用位值原则拆分整理后得到等式4𝑏5𝑎=6，进一步计算尝试可以得到当𝑏=4,𝑎=2或𝑏=9,𝑎=6时，4𝑏5⻔
10、6;=6成立，从而得到答案。【例6】将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。【分析与解答】设原来的三位数的三个数字分别是𝑎,𝑏,𝑐。若abc最大，则cba最小。原来的三位数等于abc-cba=(100𝑎+10𝑏+𝑐)(100𝑐+10𝑏+𝑎)=99(𝑎𝑐)由上式知，所求三位数是99的倍数，可能值为198，297，396，495，594，693，792，891
11、。经验证，只有495符合题意，即原来的三位数是495。【小结】本题可用字母表示这个三位数，假设abc最大，则cba最小。根据题意，运用位值原则拆分、整理计算后得到abc-cba=99(𝑎𝑐)，从而得到原来的三位数的可能值。【例7】一个三位数减去它的各位数字之和，差还是一个三位数46A，求数码𝐴。【分析与解答】设这个三位数为abc，𝑎可以是19中的数码，𝑏和𝑐是09中的数码。根据位值原则可得：(100𝑎+10𝑏+𝑐)(𝑎+𝑏
12、;+𝑐)=4100+610+𝐴99𝑎+9𝑏=460+𝐴9(11𝑎+𝑏)=460+𝐴由题意可知，𝐴是09中的数码，且(460+𝐴)是9的倍数。通过计算可知，只有当𝐴=8时，460+𝐴=468能被9整除，故𝐴=8。【小结】本题首先假设这个三位数为abc，根据题意和位值原则列出对应的等量关系式(100𝑎+10𝑏+𝑐)(𝑎+w
13、887;+𝑐)=4100+610+𝐴，整理化简后得到9(11𝑎+𝑏)=460+𝐴，由此可知(460+𝐴)是9的倍数，通过计算可知只有当𝐴=8时等式成立，所以𝐴=8。【例8】已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，你能找出这样的四位数吗？【分析与解答】假设这个四位数为abcd，由题意可得：(1000𝑎+100𝑏+10𝑐+𝑑)+(𝑎+𝑏+𝑐+w
14、889;)=20081001𝑎+101𝑏+11𝑐+2𝑑=2008由式子1001𝑎+101𝑏+11𝑐+2𝑑=2008可知，𝑎只能取1或2。此时，当𝑎=1时，𝑏、𝑐、𝑑最大可取到9，此时可得到最大值，即1001𝑎+101𝑏+11𝑐+2𝑑=10011+1019+119+29=1001909991820272008由此可知当w
15、886;=1时，可能会有符合条件的四位数，进一步分析：由于11𝑐+2𝑑119+29，即11𝑐+2𝑑117，所以101𝑏20081001117，即101𝑏890，此时𝑏只能取9。从而得到11𝑐+2𝑑=98，其中𝑐只能为偶数。又因为11𝑐9829，即11𝑐80，𝑐只能取8，得到𝑑=5，此时符合条件的四位数为1985。当𝑎=2时，则101𝑏+11&
16、#119888;+2𝑑=20082002=6，此时𝑏和𝑐只能为0，𝑑=3，符合条件的四位数为2003。综上所述，这样的四位数有两个：1985和2003。【小结】本题主要运用位值、分析推理和分类讨论得出结果。首先假设这个四位数为abcd，根据题意得到等量关系式，整理化简为1001𝑎+101𝑏+11𝑐+2𝑑=2008，由此得到𝑎只能取1或2，分类讨论这两种情况，对具体情况进一步分析和推理，从而得到符合条件的四位数为1985和2003。【例9】有一个五位数，
17、如果把它的个位数字7移到万位，其他四个数字顺序不变，得到的新五位数比原数的2倍还大8160，求原数。【分析与解答】假设这个五位数为abcd7，把个位数字7移到万位为7abcd。此时根据题意直接找到abcd四个数字的具体值有一定难度，这里可以利用整体替换进行求解。假设abcd为𝑥,由题目中所给的数量关系可得：7abcd=2abcd7+8160即70000+𝑥=2(10𝑥+7)+8160𝑥=3254故原数为32547。【小结】本题涉及的数数位较多，难以直接求出具体值，这里使用整体替换，将abcd设为𝑥，从而使得数量关系
18、简化为70000+𝑥=2(10𝑥+7)+8160，从而求出𝑥=3254，则原数为32547。【例10】有一类三位数，它的各个数位上的数字之和是12，各个数位上的数字之积是30，所有这样的三位数的和是多少？【分析与解答】假设这个三位数是abc，则根据题意可得：𝑎+𝑏+𝑐=12，𝑎𝑏𝑐=30。从𝑎𝑏𝑐=30寻找突破口，将30分解成3个因数相乘，符合𝑎+𝑏+𝑐=1
19、2的即为所求。组成三位数的三个数码只有1，5，6符合要求，结合例3的结论可得，所有这样的三位数的和为222(156)2664。【小结】本题需要从𝑎𝑏𝑐=30寻找突破口，对30分解因数得到只有当𝑎，𝑏，𝑐的值为1、5、6时才满足条件，运用例3的结论得到所有这样的三位数的和为2664。【练习】1.有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是970。求原来的两位数。2.有一个三位数，将数码1加在它的前面可以得到一个四位数，将数码3加在它的后面也
20、可以得到一个四位数，这两个四位数之差是2351，求原来的三位数。3.一个三位数减去它的各个数位的数字之和得66x,求𝑥。4.abcd+abc+ab+𝑎=4236，求abcd。5.从19中取出三个数码，用这三个数码组成的六个不同的三位数之和是3330。这六个三位数中最小的能是几？最大的能是几？6.一个两位数，各位数字的和的6倍比原数小9，求这个两位数。7.一个三位数，抹去它的首位数之后剩下的两位数的4倍比原三位数大1，求这个三位数。8.已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2031，那么你能找出这个四位数吗？9.将4个互不相等且都不为0的数字排在一起，可以组成2
21、4个不同的四位数。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在30004000之间。求这24个四位数中最大的那个数是多少。位值原则（五年级第2讲）【内容简介】同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位
