《2025人教版五年级下册强基奥数讲义第5讲：用等量代换求面积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2025人教版五年级下册强基奥数讲义第5讲：用等量代换求面积（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用等量代换求面积（五年级第5讲）【内容简介】一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。【例1】两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。【分析与解答】阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差
2、应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）22=17（cm）。所以，阴影部分的面积是17平方厘米。【小结】有时候直接求阴影图形面积会缺少一些必要条件，这时候就可以寻找是否用相等的量去代替，这种数学思想就叫做等量代换。除以以外，还需要留意图形与图形之间的重叠部分。重叠的部分可以同时减去，达到图形转化的目的。在这题里面，我们就把SABCSDEF转化为S阴SCOEF。【例2】在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积
3、比三角形EFG的面积大10cm，求平行四边形ABCD的面积。【分析与解答】因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米。所以平行四边形ABCD的面积等于1082+10=50（cm2）。【小结】这道题用到了差不变的性质，把阴影部分的面积转化为了平行四边形的面积，EFG的面积转化为EBC的面积。把原本是阴影部分和EFG之间的关系转化为了平行四边形与EBC的关系。有时候单看一个图形缺少条件时，可以和其他图形组合起来看，像这题就把阴影部分和梯形BCGF组合起来转化为平行四边
4、形。【例3】在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。求ED的长。【分析与解答】求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18平方厘米。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。梯形ABCD面积=（8+4）62=36（cm），三角形ECB面积=36-18=18（cm），EC=1862=6（cm），ED=6-4=2（cm）
5、。【小结】这道题也是用到了差不变的性质，AFB和EFD很明显是求不出来的，这时候我们就需要和旁边的四边形BCDF组合起来看，利用差不变的性质把AFBEFD转化为梯形ABCDBCE。【例4】下图中，ABCD是74的长方形，DEFG是102的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。【分析与解答】直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的
6、面积之差。所求为4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法二：连结C，F（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法三：延长BC交GF于H（见下方左上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为（4+2）（10-7）2-2（10-7）=3。解法四：延长AB，FE交于H（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4（1
7、0-7）-（10-7）（4+2）2=3。【小结】这道题也是用到了差不变的性质，但是BCO和EFO除了求不出来以外，而且不做辅助线的情况下也用不了差不变的性质。这时候就需要做辅助线构建一个这两个图形都能转化的区域，不管是哪种辅助线的画法，都应该要保证构建的图形能帮助解题。【例5】左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。【分析与解答】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形AB
8、D与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于442=8（厘米）。【小结】等量代换和差不变的性质是在求几何图形面积的问题中是经常用到的思想方法。在解几何图形的面积中，不能拘泥于用公式求面积，而可以把要求的图形转化为另一个相等面积的图形去求或是利用差不变的性质，把求不出来的图形转化为容易求的图形。【例6】下图中，三角形ABC的面积是30平方厘米，AEED，BD2DC，求阴影部分面积的和。【分析与解答】连DF，因为AEED，所以AEF的面积和DEF的面积相等
9、（等底等高）。所以阴影部分面积之和相当于BDF的面积。因为BD2DC，所以SBDF2SCDF（等高）。因为E是中点，所以SABESBED，所以SABFSBDF。SBDF305212（cm）【小结】等量代换和差不变的性质是在求几何图形面积的问题中是经常用到的思想方法。在解几何图形的面积中，不能拘泥于用公式求面积，而可以把要求的图形转化为另一个相等面积的图形去求或是利用差不变的性质，把求不出来的图形转化为容易求的图形。不管是等量代换还是利用差不变的性质解题，都是把一个图形转化为另一个图形去解题的方法。【练习】1.左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇
10、形CEF。如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？2.左下图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。3.左下图中，扇形ABD的半径是4厘米，甲比乙的面积大3.44平方厘米。求直角梯形ABCD的面积。（=3.14）4.在右上图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。5.左下图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9平方厘米，求ED的长。6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2平方厘米，求CD的长。用等量代换求面积（五年级第5讲）【内容简介】一个量可以用它的
11、等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。【例1】两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。【分析与解答】阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分
12、的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）22=17（cm）。所以，阴影部分的面积是17平方厘米。【小结】有时候直接求阴影图形面积会缺少一些必要条件，这时候就可以寻找是否用相等的量去代替，这种数学思想就叫做等量代换。除以以外，还需要留意图形与图形之间的重叠部分。重叠的部分可以同时减去，达到图形转化的目的。在这题里面，我们就把SABCSDEF转化为S阴SCOEF。【例2】在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10cm，求平行四边形ABCD的面积。
13、【分析与解答】因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米。所以平行四边形ABCD的面积等于1082+10=50（cm2）。【小结】这道题用到了差不变的性质，把阴影部分的面积转化为了平行四边形的面积，EFG的面积转化为EBC的面积。把原本是阴影部分和EFG之间的关系转化为了平行四边形与EBC的关系。有时候单看一个图形缺少条件时，可以和其他图形组合起来看，像这题就把阴影部分和梯形BCGF组合起来转化为平行四边形。【例3】在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘
14、米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。求ED的长。【分析与解答】求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18平方厘米。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。梯形ABCD面积=（8+4）62=36（cm），三角形ECB面积=36-18=18（cm），EC=1862=6（cm），ED=6-4=2（cm）。【小结】这道题也是用到了差不变的性质，AFB和EFD很明显
15、是求不出来的，这时候我们就需要和旁边的四边形BCDF组合起来看，利用差不变的性质把AFBEFD转化为梯形ABCDBCE。【例4】下图中，ABCD是74的长方形，DEFG是102的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。【分析与解答】直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。解法一：连结B，E（见左下图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法二：连结C，F（见右上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4（10-7）2-2（10-7）2=3。解法三：延长BC交GF于H（见下方左上图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为（4+2
