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1、2024-2025学年黑龙江省龙东地区高二上学期阶段测试（期中）数学试卷（三）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线y2=x的准线方程是()A. x=12B. x=14C. y=12D. y=142.若椭圆焦点在x轴上且经过点4,0，焦距为6，则该椭圆的标准方程为()A. x216+y28=1B. x216+y27=1C. x29+y216=1D. x27+y216=13.在空间直角坐标系Oxyz中，点P(2,3,1)到x轴的距离为()A. 2B. 3C. 5D. 104.若直线l:kxy+4+2k=0与曲线y= 4x2有两个
2、交点，则实数k的取值范围是()A. kk=1B. k|k34C. k|1k34D. k|1k0,b0)的左、右焦点为F1，F2，直线l过点F2且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若PF1PF2=0，则C的离心率为()A. 3B. 2C. 5D. 3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆O1的方程为xa2+yb2=4，圆O2的方程为x2+yb+12=1，其中a，bR.那么这两个圆的位置关系可能为()A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切10.已知曲线C的方程为x2m+y22m=1，则()A. 当m=1时，曲线C表示一个圆B. 当0m2时，曲线
3、C表示焦点在x轴上的双曲线D. 当m0左、右焦点，且的离心率为 5，若点M在的右支上，直线F1M与的左支相交于点N，且MF2=MN，则F1N= 14.已知F1,F2分别为椭圆C:x29+y2b2=1(b0)的左右焦点，P(2,53)为C上一点，则C的离心率为，PF1F2内切圆的半径为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知圆E经过点A0,0,B1,1，且被直线mxym=0mR平分(1)求圆E的一般方程；(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程16.(本小题15分)已知动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离与动点P到定
4、直线x=2的距离相等，若动点P的轨迹记为曲线C(1)求C的方程；(2)不过点F的直线与C交于横坐标不相等的A，B两点，且AF+BF=6，若AB的垂直平分线交x轴于点N，证明：N为定点17.(本小题15分)如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点(1)求直线FC1到直线AE的距离；(2)求直线FC1到平面AB1E的距离18.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1F2，短轴长为2 3，点M( 3, 32)在C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A(0,3)，点G为椭圆C上一点，求AGF2周长的最大
5、值；(3)过C的左焦点F1，且斜率不为零的直线l交C于PQ两点，求F2PQ面积的最大值19.(本小题17分)过双曲线y=kx(常数k0)上任意一点A作AE/x轴，交y轴于点E，作AF/y轴，交x轴于点F，得到矩形AEOF，则它的面积S=k，k是与点A位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线x2a2y2b2=1a0,b0，并证明你的推广参考答案1.B2.B3.D4.C5.D6.D7.A8.C9.ABD10.ACD11.BD12.2 357或27 3513.314.23；2315.(1)直线mxym=0恒过点1,0因为圆E恒被直线mxym=0mR平分，所以mxym=0恒过圆心，所以圆心坐标为1
6、,0，又圆E经过点A0,0，所以圆的半径r=1，所以圆E的方程为(x1)2+y2=1，即x2+y22x=0(2)设Mx,y.因为M为线段AP的中点，所以P2x,2y，因为点P是圆E上的动点，所以(2x)2+(2y)222x=0，即x2+y2x=0，所以M的轨迹方程为x2+y2x=016.(1)因为动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离与动点P到定直线x=2的距离相等，所以动点P的轨迹为焦点在x轴，开口朝右的抛物线，此时p=4，则曲线C的方程为y2=8x；(2)证明：设直线AB的方程为x=ty+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立y2=8xx=ty+m，消去y并整理得y28ty8m=0
7、，此时=64t2+32m0，解得2t2+m0，由韦达定理得y1+y2=8t，y1y2=8m，因为|AF|+|BF|=x1+x2+4=6，所以x1+x2=2，因为x1+x2=t(y1+y2)+2m=2，所以8t2+2m=2，解得4t2+m=1，设点M为AB的中点，此时M(1,4t)，所以直线MN的方程为y4t=t(x1)，令y=0，解得xN=5故点N为定点，坐标为(5,0)17.解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(1,1,1)，E0,0,12，F1,1,12，C1(0,1,1)，A(1,0,0)因为AE=1,0,12，FC1=1,0,12，所以AE/FC1，即AE/FC1，所以点F到
8、直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离u=AE|AE|=2 55,0, 55，AF=0,1,12.AF2=54，AFu= 510，所以直线FC1到直线AE的距离为 54 5102= 305(2)因为AE/FC1，AE平面AB1E，FC1平面AB1E，所以FC1/平面AB1E，所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离C1B1=(1,0,0)，AB1=(0,1,1)，设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,z)，则nAB1=0,nAE=0, 即y+z=0,x+12z=0,取z=2，可得n=(1,2,2)，所以C1到平面AB1E的距离为|C1B1n|n|=13，所以直线
9、FC1到平面AB1E的距离为1318.解：(1)依题意，b= 3，且3a2+34b2=1，解得a=2，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(2)由(1)知，F1(1,0),F2(1,0)，而A(0,3)，则|AF1|=|AF2|= 10，AGF2周长|AF2|+|AG|+|GF2|=|AF2|+|AG|+4GF1|AF2|+|AF1|+4=2 10+4，当且仅当点G是线段AF1的延长线与椭圆C的交点时取等号，所以AGF2周长的最大值为2 10+4；(3)设直线l的方程为x=ty1，P(x1,y1),Q(x2,y2)，由x=ty13x2+4y2=12，消去x得：(3t2+4)y26ty9=
10、0，显然0，y1+y2=6t3t2+4,y1y2=93t2+4，|y1y2|= (y1+y2)24y1y2= (6t3t2+4)2+363t2+4=12 t2+13t2+4，因此F2PQ面积S=12|y1y2|F1F2|=12 t2+13t2+4=123 t2+1+1 t2+1，令u= t2+11，3 t2+1+1 t2+1=3u+1u，显然函数y=3u+1u在1,+)上单调递增，则当u=1，即t=0时，3 t2+1+1 t2+1取得最小值4，则Smax=3，所以当t=0时，F2PQ面积取得最大值319.推广结论：设A是双曲线x2a2y2b2=1a0,b0上任意一点，过点A分别作渐近线bxay
11、=0的平行线AE、AF，并分别交渐近线于E、F，得到平行四边形AEOF，则平行四边形AEOF的面积S是与点A位置无关的常数证明：设Ax0,y0，直线AE的方程为yy0=ba(xx0)，联立方程组yy0=ba(xx0)y=bax，解得交点E(ay0+bx02b,ay0+bx02a)，则OE= (ay0+bx02b)2+(ay0+bx02a)2=cay0+bx02ab，点A到OE的距离d=bx0ay0 b2+a2=bx0ay0c，平行四边形AEOF的面积S=OEd=cay0+bx02abbx0ay0c=b2x02a2y022ab，又因为点Ax0,y0在双曲线x2a2y2b2=1上，所以x02a2y02b2=1，即b2x02a2y02=a2b2，所以S=a2b22ab=12ab，是与点A位置无关的常数第8页，共8页
