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1、,#,微专题,4,反比例函数的综合应用,角度,1,与一次函数结合,求两个函数表达式及交点,【思维切入】,1,.,将已知点代入反比例函数表达式,先得反比例函数,;,再求另一点,将两个点代入一次函数表达式,得一次函数表达式,.,2,.,将反比例函数和一次函数表达式联立得方程组,解得两个交点的坐标,进一步求解,.,【针对训练】,1.,(2024,达州中考,),如图,一次函数,y,=,kx,+,b,(,k,b,为常数,k,0),的图象与反比例函数,y,=,(,m,为常数,m,0),的图象交于点,A,(2,3),B,(,a,-2),.,(1),求反比例函数和一次函数的表达式,;,(2),若点,C,是,x
2、,轴正半轴上的一点,且,BCA,=90,求点,C,的坐标,.,【解析】,(1),将点,A,B,的坐标代入反比例函数表达式得,:,m,=23=-2,a,解得,:,a,=-3,m,=6,即反比例函数的表达式为,y,=,点,B,(-3,-2),将点,A,B,的坐标代入一次函数表达式得,:,解得,则一次函数的表达式为,y,=,x,+1,.,(2),设点,C,(,x,0),由点,A,B,C,的坐标得,AB,2,=50,AC,2,=(,x,-2),2,+9,BC,2,=(,x,+3),2,+4,BCA,=90,则,AB,2,=,AC,2,+,BC,2,即,50=(,x,-2),2,+9+(,x,+3),2
3、,+4,解得,:,x,=3,或,-4(,舍去,),即点,C,(3,0),.,2.,(2024,淄博中考,),如图,一次函数,y,=,k,1,x,+2,的图象与反比例函数,y,=,的图象相交于,A,(,m,4),B,两点,与,x,y,轴分别相交于点,C,D,且,tan,ACO,=2,.,(1),分别求这两个函数的表达式,;,(2),以点,D,为圆心,线段,DB,的长为半径作弧与,x,轴正半轴相交于点,E,连接,AE,BE,求,ABE,的面积,;,(3),根据函数的图象直接写出关于,x,的不等式,k,1,x,+2,的解集,.,【解析】,(1),y,=,k,1,x,+2,当,x,=0,时,y,=2,
4、点,D,的坐标为,(0,2),OD,=2,tan,ACO,=2,=2,OC,=1,点,C,的坐标为,(-1,0),-,k,1,+2=0,k,1,=2,y,=2,x,+2,点,A,(,m,4),在,y,=2,x,+2,上,2,m,+2=4,m,=1,点,A,的坐标为,(1,4),点,A,(1,4),在,y,=,上,4=,k,2,=4,y,=,.,(2),如图,连接,DE,过点,B,作,BF,垂直于,y,轴,垂足为,F,联立,解得,点,B,的坐标为,(-2,-2),BF,=2,点,F,的坐标为,(0,-2),.,在,Rt,DFB,和,Rt,EOD,中,Rt,DFB,Rt,EOD,(HL),OE,=
5、,DF,点,D,的坐标为,(0,2,),点,F,的坐标为,(0,-2),DF,=4,OE,=4,CE,=,OC,+,OE,=5,S,ABE,=,S,ACE,+,S,BCE,=,54+,52=15,.,(3),由题中图象可知,当,-2,x,1,时,y,=,k,1,x,+2,的图象在,y,=,的图象上方,所以,k,1,x,+2,的解集为,-2,x,1,.,角度,2,与几何图形结合,类型,1,求三角形的面积,【思维切入】,1,.,补全求差,:,将三角形补成矩形或梯形或易求的三角形,然后用面积差求解,.,2,.,分割求和,:,利用坐标轴进行分割求和或利用纵底横高求解,.,【针对训练】,3.,(2024
6、,凉山州中考,),如图,正比例函数,y,1,=,x,与反比例函数,y,2,=,(,x,0),的图象交于点,A,(,m,2),.,(1),求反比例函数的表达式,;,(2),把直线,y,1,=,x,向上平移,3,个单位长度与,y,2,=,(,x,0),的图象交于点,B,连接,AB,OB,求,AOB,的面积,.,【解析】,(1),点,A,(,m,2),在正比例函数图象上,2=,m,解得,m,=4,A,(4,2),A,(4,2),在反比例函数图象上,k,=8,反比例函数表达式为,y,2,=,.,(2),把直线,y,1,=,x,向上平移,3,个单位长度得到表达式为,y,=,x,+3,直线与,y,轴交点坐
7、标为,D,(0,3),连接,AD,联立方程组,解得,(,舍去,),B,(2,4),S,AOB,=,S,ADO,=,34=6,.,4.,(2024,遂宁中考,),如图,一次函数,y,1,=,kx,+,b,(,k,0),的图象与反比例函数,y,2,=,(,m,0),的图象相交于,A,(1,3),B,(,n,-1),两点,.,(1),求一次函数和反比例函数的表达式,;,(2),根据图象,直接写出,y,1,y,2,时,x,的取值范围,;,(3),过点,B,作直线,OB,交反比例函数图象于点,C,连接,AC,求,ABC,的面积,.,【解析】,(1),将点,A,坐标代入反比例函数表达式得,m,=13=3,
8、所以反比例函数表达式为,y,=,.,将点,B,坐标代入反比例函数解析式得,n,=-3,所以点,B,的坐标为,(-3,-1),.,将,A,B,两点坐标代入一次函数表达式得,解得,所以一次函数表达式为,y,=,x,+2,.,(2),由函数图象可知,当,-3,x,1,时,一次函数的图象在反比例函数图象的上方,即,y,1,y,2,所以当,y,1,y,2,x,的取值范围是,-3,x,1,.,(3),连接,AO,令直线,AB,与,x,轴的交点为,M,将,y,=0,代入,y,=,x,+2,得,x,=-2,所,以点,M,的坐标为,(-2,0),所以,S,AOB,=,S,AOM,+,S,BOM,=,23+,21
9、=4,.,因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形,且坐标原点是对称中心,所以点,B,和点,C,关于点,O,成中心对称,所,以,BO,=,CO,所,以,S,ABC,=2,S,AOB,=8,.,类型,2,求特殊三角形或特殊四边形,【思维切入】,1,.,动点三角形的形状问题,:,(1),等腰三角形,:,方法,1:,求已知边,按腰或底分类讨论求解,;,方法,2:,设动点坐标,表示三边平方,分类讨论得方程求解,;,(2),直角三角形,:,方法,1:,按直角分类讨论,构造一线三直角求解,;,方法,2:,设动点坐标,表示三边的平方,根据勾股定理的逆定理分类讨论列方程求解,.,2,.,动点平行四边
10、形问题,:,按对角线两端点的横坐标,(,纵坐标,),之和相等,分类讨论求解,.,3,.,动点四边形的问题转化为动点三角形问题,:,动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题,;,动点矩形问题转化为动点直角三角形问题,.,【针对训练】,5.,(2024,宜宾中考,),如图,一次函数,y,=,ax,+,b,(,a,0),的图象与反比例函数,y,=,(,k,0),的图象交于点,A,(1,4),B,(,n,-1,),.,(1),求反比例函数和一次函数的表达式,;,(2),利用图象,直接写出不等式,ax,+,b,的解集,;,(3),已知点,D,在,x,轴上,点,C,在反比例函数图象上,.,若以,A,B,C,D
11、,为顶点的四边形是平行四边形,求点,C,的坐标,.,【解析】,(1),将点,A,B,的坐标代入反比例函数表达式得,:,k,=41=-,n,解得,:,k,=4,n,=-4,即反比例函数的表达式为,y,=,点,B,(-4,-1);,将点,A,B,的坐标代入一次函数表达式得,:,解得,则一次函数表达式为,y,=,x,+3,.,(2),观察题中函数图象知,当,0,x,1,或,x,-4,时,ax,+,b,成立,.,(3),设点,C,的坐标为,(,m,),点,D,(,x,0),当,AB,为对角线时,由中点坐标公式得,:4-1=,解得,:,m,=,则点,C,(,3);,当,AC,或,AD,为对角线时,同理可
12、得,:4+,=-1,或,4=,-1,解得,:,m,=,则点,C,(-,-5),或,(,5),综上,点,C,的坐标为,(,3),或,(-,-5),或,(,5),.,6.,(2024,成都中考,),如图,在平面直角坐标系,xOy,中,直线,y,=-,x,+,m,与直线,y,=2,x,相交于点,A,(2,a,),与,x,轴交于点,B,(,b,0),点,C,在反比例函数,y,=,(,k,0,这种情况不符合题意,;,综上所述,C,的坐标为,(4,-4),或,(-4,4),k,的值为,-16,.,(3),如图,:,设直线,AC,的表达式为,y,=,px,+,q,把,A,(2,4),代入得,:4=2,p,+
13、,q,q,=4-2,p,直线,AC,的表达式为,y,=,px,+4-2,p,在,y,=,px,+4-2,p,中,令,y,=0,得,x,=,D,(,0,),E,与点,D,关于,y,轴对称,E,(,0),B,(6,0),BE,=6-,=,BD,=6-,=,ABD,与,ABE,相似,E,只能在,B,左侧,ABE,=,DBA,故,ABD,与,ABE,相似,只需,=,即可,即,BE,BD,=,AB,2,A,(2,4),B,(6,0),AB,2,=32,=32,解得,p,=1,经检验,p,=1,满足题意,直线,AC,的表达式为,y,=,x,+2,有且只有一点,C,使得,ABD,与,ABE,相似,直线,AC,与反比例函数,y,=,(,k,0),图象只有一个交点,x,+2=,只有一个解,即,x,2,+2,x,-,k,=0,有两个相等实数根,=0,即,2,2,+4,k,=0,解得,k,=-1,k,的值为,-1,.,本课结束,
