《2025年高考数学复习题型突破训练：数列求和（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2025年高考数学复习题型突破训练：数列求和（解析版）（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第04讲数列求和目录题型一：倒序相加法.2题型二：分组求和法.5题型三：裂项相消法.9角度1：等差型.9角度2：无理型.1 1角度3：指数型.1 3角度4：通项裂项为“+”型.1 5题型四：错位相减法.24角度1：乘型.24角度2：除型.26角度3：混合求和.28题型五：奇偶项讨论求和.3 4Q 为奇数角度1：通项公式为分段式 为偶数.3 4角度2：通项公式为g=(-1)%型.3 8题型六：插入新数列.4 6角度1：插入新数列构成等差.4 6角度2：插入新数列构成等比.4 9角度3：插入新数混合.50题型七：其他类型求和.55角度1：通项含绝对值.55角度2：通项含取整函数.56题型一：倒序相
2、加法典型例题例 题 1.(2023 全 国 高 三 对 口 高 考)已 知 函 数 贝!/(x)+/(l-x)=_；数列%4+2满 足%=d三 ，则这个数列的前2015项的和等于.2015 1【答案】1-/1007.54X【详解】由/(x)=八 4、+2得了(I%)=41-x=二7，所以)+1 7)=1，4+2 4+2设数列 0 前 项 之和为，人 2 015-，/1 2011 61/2021 61卜，/2031 61卜 一，/210201146、卜/r(12200115652015=/f+/f .+/f +/f 105(2016)U016J U016J(2016)12016)两式相加得2sM
3、5 =2 0 1 5,所以其。1 5=芈，即这个数列的前2。15项的和等 于 等辽 心生 2015故答案为：1;一-例题2.(2023春辽宁沈阳高二沈阳二中校考阶段练习)已知函数/卜+；为奇函数，且 g(x)=x)+l,若.”=gn2023，则数列%的前2022项和为【答案】20 22=0,所以/(x)+/(l-/=0,【详解】由于函数/卜+:所以 g(x)+g(l-X)=/(%)+1+/(1)+1=2,所以 2(4+出+。20 22)=2 g2023+g22023+g20222023 1 (2022、(2 (2021Y1/1 2023 J K 2023+2023 尸 刈 2023 j+202
4、2 A2023 J=2x2022,因此数列%,的前2022项和为 +电-h a2 0 2 2 =2022,故答案为：2022例题3.（2023 全国高二专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就 是 正十七边形尺规作图之理论与方法.在其年幼时，对1 +2+3+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数）=3 号，设数列%满足%,=/（0）+/用+/喘+/*e N*）,若b =2 ,则 也 的前项和/=.【答案】n-2+,【详解】由=一2X得，
5、2X+V2T 21r 2、2 2、也/(x)+/(1-%)=-产=-产+j=-产+-2、+收 21-x+V2 2X+V2 2+-2、2、+/6+2由%=+EN),得 Kl)+/(汩+/g+d+/(。)，,.,+1故 2an=+1,。“=-,故 6“=2%=(力+1).2,所以5“=2 2+3 +4 2+.+(+1).2,则25“=2.22+3.23+4.24+小2+(+1).2”,两式相减得：Sn=2x2+2?+23+.+21-(+1)/,2(1-2 ),，用 巾=2-1 j -(n+1)-2=n-2故S.=-2用，故答案为：w-2+i精练核心考点 1 2n1.（2023 全国高三专题练习）已
6、知数列%的前项和为E,J3.+-1-+=,设函数f(X)=C O S 7ix+,贝U 4 =，矗+/急+建 -+4-【答案】亍/1 0 1 0.5【详解】解：由于J+J+J=Wf，,Aj r T I I当=i时!=1,所以i=i,当 2 2时,11 1 _ 2(-1)-1-r .H-E 邑 S“T n，-得:1 _ 2ns +12(1)n2n(n+1)所以邑=若 义(之2),显然 =1时邑=3罗也成立,当 心2时，=5”/丁一丁=，当 =1时=也成立，所 以%=;根据函数/(x)=c o s x r +；,所以 f(I -X)=CO S 乃(1 一 X)+；=CO S (%-7TX)+g =-
7、CO S 7r x (H 7 1 1 1uj 2 2 2所以/(x)+/(I -X)=CO S 71 X -CO S +1 =1；所以/()+/()+/(二)+.+/(咏)+/(咏)20 22 20 22 20 22 20 22 20 221 、“2、”3、20 20、20 21、=f (-)+f (-)+f (-)+.+f (-)+f (-)20 22 20 22 20 22 20 22 20 221 、/20 21、乙 2、/20 20、“10 10、J 0 12J “10 11、:)+)+)+)+/(10 10 +-=220 212故答案为：20 21222.(20 23高 三课时练 习
8、)设 函 数/(幻=鼻，利用课本中推导等差数列前项和的方法，求得2+1/(5)+/(4)+/(0)+/(4)+/(5)的值为.【答案】11【详解】因/+/(_%)=-1-2+1 2-”+1=2，2、+2 1 222设 S =/(-5)+-4)+/(0)+-+/(4)+/(5),则2S =/(-5)+/(5)+/(-4)+/(4)+.+2/(0)+.+/(4)+/(-4)+/(5)+/(-5)=22,故 5=11.故答案为：111 丫3.(2023全国高三专题练习)设函数/口)=1 +111丁 1设q=l,+/1 V(eN*,).求数列%的通项公式.【答案】an=1,72=1n-l,n 2【详
9、角 星】/(%)+/(I%)=1 +In-F1 +In -=2；x 1-x所以对一切正整数，有%=2、几包+/+f271-2,1,77=1n-l,n 2 题型二：分组求和法典型例题例 题 1.(2023 安徽安庆安庆一中校考三模)设数列 4 的前项和S“满足S“=2%,-%,且 外,%-1,%-3成等比数列.(1)求数列%的通项公式；(2)设是首项为1,公差为2 的等差数列，求数列 2 的通项公式与前项和 答案 a*=2T(2也=2(2-1)一 2,7；,=22-2+1+2【详解】(1)由已知S“=2 a 0-4，有a“=S 一 九=2a“-2A“T”2),即 an=2an_x(2),从而 a
10、2=2%,a3=2a2=4%,又因为,a2-l,%-3 成等比数列，即(为-1)2=%(%-3),所以(2%1)=%(4%3),解得%=1,所以，数列 6 是首项为1,公比为2 的等比数列，故。=27（2）因为 6+。，是首项为1,公差为2 的等差数列，所以口 +%=1+2（”-1）,所以数列出 的通项公式为a=2（2-1）-2 ,7；,=2l+3+-+（2 n-l）-（21+22+-+2）1+-1）2（1-2）=L-2 1-2=2/21+2.例题2.（2023春 四川广安 高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知等比数列 的各项均为正数，且。2+。3 +。4=39,。5=2。4+3。3.求
11、同 的通项公式；数 列 也 满足a =+。“，求 也 的前项和人【答案】（1）%=3T.3,!+n2+H-（2）7；,=-a.+a.+a.=39【详解】（1）V 2；,1%=2a4 +3a3.产（：+，+f）=3：,q ,解得”二=3?axq=2axq+3axq 区一3（2）由题可知”=+3 T,7；=l+2+-+l+3 i+-+3T,.T（l+）1 3 _ 3 +/+及一1n 2 1-3 2例题3.（2023春 河 南 高二校联考阶段练习）数列%的前项和E,满足S“=.用-1,e N*,且=1.求 小 设”=（-1）,求数列也 的前2 项和52.【答案】（1）%=2T【详解】（1）因为5=4
12、+1-1,当 =1时H =2-1，又q=1可得%=2,当“22 时 作差得 W-Si u.-1 一（。“一 1）,即 2%=%+1,乂 詈=2,所以数列%是以1为首项，2 为公比的等比数列，所以 a,=2T.(2)由(1)知，=(-l)2T-(-l),所以伪“=221-1,Vi=-22-2+l)所以勾T+&=4 L所 以 耳=(4+%)+(4+)+(4 1+%)=1 +4+4一1-4 4-1-1-4-3精练核心考点1.(20 23 湖北咸宁校考模拟预测)设S,为公差不为0的等差数列%的前项和，若为,%，心成等比数歹人$6-邑=33.求数列%,的通项公式；(2)设。=20+I n-，求数列也 的
13、前n项和Tn.n【答案】(l)a=2M +l(ne N*)(2)?;=8(4lZ1)+ln23 eN.)【详解】(1)设等差数列%的公差为由%,为，%成 等 比 数 列 可 得，所以(q +3 d)2=%(%+12d),所以2a/-3/=0,因为d wO,所以2%-3d=0.又 6 0 3=33,所以。4+。5+。6 =3 3,所以 +4d=11,联 立 得 q=3 =2,所以数列。,的通项公式%=2 +1(e N*).(2)由(1)知+6 1n 2 +1所以北=4+%+4+,+”=23+ln5-ln3+25+ln7-ln5+-+22n+1+ln(2 +3)-ln(2w +l)=23+25+-
14、+22+1+ln(2/j +3)-ln3+ln2+33+1小33ne N*)-2.(2023四川南充统考三模)已知数歹!。的前项和为3,%=3,25.=3%-3.求 g 的通项公式;(2)设数列低 满足：4=。”+小 3%,记 也 的前项和为北,求却【答案】。=3(eN*)，r+1+n2+n-3【详解】(1)25“=3%-3二当 2 2 时，2S“_=3。“一 1 -3 一 得：2%=3a“一 3%即%=3%(2 2),%=3,.数列%是以3 为首项，3 为公比的等比数列.:.an=3(eN*)(2)bn=an+log3a =3+n.7；=+Z=(31+l)+(32+2)+-+(3-1+n-l
15、)+(3+)=(31+32+-+3n_1+3,)+(l+2+-+n-l+n)_ 3(1 -3)+_ 3+i+”2+_3-1-3+-2-2所以也 的前项和(=,f l3.(2023春福建莆田高二莆田一中校考期中)设等比数列%的前项和为S“，且%-%=7,其=7求数列%的通项公式；(、/甲 双 r丁”小:制 数 列 4 的前2项和为七，求“唾 2%，为奇数,【答案】%=2T(2)7；=j-22-+1+n2-n-1【详解】(1)由题 知%-%=7,$3=7,设等比数列 与 的公比为分 显然有339 o1飞也、7=7=由+得q 1=1,所以9=2,代入得=1,所以4=2T.（2）由（1）可得”二2T,
16、为偶数-1,“为奇数所以&=4+仇+&=伯+4+仇_1)+(仇+&)=(0+2+4+-+2n-2)+(2+23+-+22n-1)(2n-2n 2(l-4)2 1-41 O2n+1.2 M 2=2+n n-.3 3题型三：裂项相消法角度1：等差型典型例题i q+_ i+%例题1.（2023春辽宁沈阳高二东北育才学校校考期中）在数列风中,%+l an1 1,且一+=36a3 ai5（D求%的通项公式;设。）数列也的前项和为心 若图=/，求正整数的值.【答案】$(2)m=101 CL【详解】（1）由一n+a,an+n1+a,I 1I 1 I 1c-得1=一+1,即-=2,4+1 an*an所以数列是等差数列，且公差d=2.11 1 2 1又因为一+=36,所以一+16d=36,解得一=2,ax%所以l)d=2+(-1)x2=2，BP an=%a 2n例题2.(2023 湖南衡阳校考模拟预测)已知数列%中，a,=4,且%用=；(用-3)(%-3).(1)求证：数列 己 是等差数列；记数列bn=(a-3)(a+1-3),求数列也 的前项和.【答案】证明见解析1=芸n+2【详解】；。“一%=g(a
