《2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：29 第五章 微专题5 导数法研究恒(能)成立问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：29 第五章 微专题5 导数法研究恒(能)成立问题（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微专题,5,导数法研究恒,(,能,),成立问题,微专题,5,导数法研究恒,(,能,),成立问题,第五章,一元函数,的导数及其应用,用导数研究恒,(,能,),成立问题时，一般我们既要对函数和方程的形式进行观察，又要时刻注意数形结合帮助我们理解题意，需要灵活的选择合适的方法解决问题，常见的用导数解决恒,(,能,),成立的方法有分离变量法、分类讨论法、等价转化法等，下面进行举例说明,类型,1,分离变量法解决恒,(,能,),成立问题,【例,1,】,已知函数,f,(,x,),x,ln,x,，,g,(,x,),x,2,ax,3(,a,R,),若对于任意的,x,，都有,2,f,(,x,),g,(,x,),成
2、立，求,a,的取值范围,解,若,2,f,(,x,),g,(,x,),对任意的,x,恒成立，,则,2,x,ln,x,x,2,ax,3,对任意的,x,恒成立，,即,a,2ln,x,x,对任意的,x,恒成立，,令,h,(,x,),2ln,x,x,，,x,，只需满足,a,h,(,x,),min,，,x,，,又,h,(,x,),1,，,因为,x,，所以由,h,(,x,),0,得,x,1,，,当,x,1,时，,h,(,x,),0,，,h,(,x,),单调递减，,当,1,x,e,时，,h,(,x,),0,，,h,(,x,),单调递增，,所以当,x,1,时函数,h,(,x,),取得极小值即为最小值，,即,h,
3、(,x,),min,h,(1),4,，所以,a,4,，,即实数,a,的取值范围为,(,，,4.,反思领悟,(1),一般情况下，对于分参后的求解范围问题常有以下结论：,a,f,(,x,),恒成立,a,f,(,x,),max,；,a,f,(,x,),恒成立,a,f,(,x,),min,.,a,f,(,x,),能成立,a,f,(,x,),min,；,a,f,(,x,),能成立,a,f,(,x,),max,.,(2),分离变量时注意不等号的方向是否发生改变,学以致用,1,设,f,(,x,),x,3,x,2,bx,c,，曲线,y,f,(,x,),在点,(0,，,f,(0),处的切线方程为,y,1.,设,
4、g,(,x,),f,(,x,),x,ln,x,x,，且,g,(,x,),在区间,内存在单调递减区间，求实数,a,的取值范围,解,f,(,x,),x,2,ax,b,，,f,(0),b,0,，,又,f,(0),c,1,，,b,0,，,c,1,，,f,(,x,),x,3,x,2,1,，,g,(,x,),x,3,x,2,x,ln,x,x,1,，,x,e,，,g,(,x,),x,2,ax,ln,x,，,g,(,x,),在,内存在单调递减区间，,即,g,(,x,),x,2,ax,ln,x,0,在,内有解，,a,x,在,内能成立,，,令,h,(,x,),x,，,则,h,(,x,),1,.,令,m,(,x,)
5、,x,2,1,ln,x,，,则,m,(,x,),2,x,0,，,m,(,x,),在,上单调递增，又,m,(1),0,，,当,x,时，,m,(,x,),0,，即,h,(,x,),0,；,当,x,(1,，,e,时，,m,(,x,),0,，即,h,(,x,),0,；,h,(,x,),在,上单调递减，在,(1,，,e,上单调递增，,h,(,x,),min,h,(1),1,，,a,1,，,即实数,a,的取值范围为,(1,，,),类型,2,分类讨论法解决恒,(,能,),成立问题,【例,2,】,已知函数,f,(,x,),ln,x,x,1,，若非零实数,a,使得,f,(,x,),ax,ax,2,对任意,x,1
6、,，,),恒成立，求实数,a,的取值范围,解,令,g,(,x,),f,(,x,),ln,x,x,1,ax,ax,2,，,x,1,，,则,g,(,x,),1,a,ax,，,x,1,，,若,a,0,，则,ax,1,0,，则,g,(,x,),0,，函数,g,(,x,),在,1,，,),上单调递减，显然不满足题意；,若,a,0,，则当,1,，即,a,1,时，,g,(,x,),0,，函数,g,(,x,),在,1,，,),上单调递增，当,x,1,时，,g,(,x,),取得最小值，,令,g,(1),0,，解得,1,a,1,，从而可得,a,1,；,当,1,，即,0,a,1,时，由,g,(,x,),0,，得,1
7、,x,，,由,g,(,x,),0,，得,x,，所以函数,g,(,x,),在,上单调递减，在,上单调递增,，,当,x,时，,g,(,x,),取得极小值也是最小值，,令,g,ln,a,0,，解得,0,a,1,，故,0,a,1.,综上可得，实数,a,的取值范围是,(0,，,1.,反思领悟,分类讨论法解决恒成立、能成立问题时需要确定分类标准，做到不重不漏一般情况下，分类时常考虑以下情况：,(1),最高次项系数的正负情况,(,注意,0),；,(2),导数的零点存在与否,(,二次的一般用,),；,(3),极值点的大小关系,(,分三种情况，包括相等,),；,(4),极值点与定义域的关系,学以致用,2,已知函
8、数,f,(,x,),3,x,sin,x,cos,x,a,cos,x,在,R,上单调递增，则实数,a,的取值范围是,(,),A,2,，,2,B,(,，,2,2,，,),C,4,，,4,D,(,，,4,4,，,),A,f,(,x,),3,cos 2,x,a,sin,x,3,1,2sin,2,x,a,sin,x,4,2sin,2,x,a,sin,x,，,函数,f,(,x,),3,x,sin,x,cos,x,a,cos,x,在,R,上单调递增，所以,f,(,x,),0,在,R,上恒成立，令,t,sin,x,，则,1,t,1,，即,4,2,t,2,at,0,在,1,，,1,上恒成立，即,2,t,2,at
9、,4,0,在,1,，,1,上恒成立,当,t,0,时，不等式显然成立当,0,t,1,时，,a,2,t,，由,y,2,t,在,(0,，,1,上单调递增，得,t,1,时，,y,max,2,，所以,a,2,.,当,1,t,0,时，,a,2,t,，由,y,2,t,在,1,，,0),上单调递增，得,t,1,时，,y,min,2,，,所以,a,2.,综上，,a,的取值范围是,2,，,2.,故选,A.,类型,3,等价转化法解决恒,(,能,),成立问题,【例,3,】,已知,f,(,x,),x,e,x,e,x,，,g,(,x,),mx,m,(,m,0),，若对任意的,x,1,2,，,2,，总存在,x,2,2,，,
10、2,使得,f,(,x,1,),g,(,x,2,),，求实数,m,的取值范围,解,f,(,x,),x,e,x,e,x,e,x,(,x,1),，,f,(,x,),e,x,(,x,1),e,x,x,e,x,，,由,f,(,x,),0,，得,x,0,，,故,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增，,由,f,(,x,),0,，得,x,0,，,故,f,(,x,),在,(,，,0),上单调递减，,当,x,0,时，,f,(,x,),min,f,(0),1,，,又,f,(,2),3e,-2,，,f,(2),e,2,，,f,(,x,),在,2,，,2,上的值域为,1,，,e,2,，,又,g,(,x,),mx
11、,m,(,m,0),在,2,，,2,上是增函数，,g,(,x,),在,2,，,2,上的值域为,3,m,，,m,.,若对任意的,x,1,2,，,2,，总存在,x,2,2,，,2,，使得,f,(,x,1,),g,(,x,2,),，,则,1,，,e,2,3,m,，,m,，,3,m,1,e,2,m,，,解得,m,e,2,，,即实数,m,的取值范围是,e,2,，,),反思领悟,(1),对条件进行变形，使变量相同,(,如都是,x,1,),的在同一侧，观察是否可以构造一个函数，使左、右侧式子用该函数表示，进而转化为最值问题,(2),双变量的恒,(,能,),成立问题,x,1,D,，,x,2,E,，,f,(,x
12、,1,),g,(,x,2,),恒成立,g,(,x,),max,；,x,1,D,，,x,2,E,，,f,(,x,1,),g,(,x,2,),能成立,g,(,x,),min,；,x,1,D,，,x,2,E,，,f,(,x,1,),g,(,x,2,),能成立,g,(,x,),max,；,x,1,D,，,x,2,E,，,f,(,x,1,),g,(,x,2,),能成立,g,(,x,),min,；,x,1,D,，,x,2,E,，使,f,(,x,1,),g,(,x,2,),f,(,x,),的值域是,g,(,x,),的值域的子集,学以致用,3,已知函数,f,(,x,),e,x,k,k,ln,x,，,g,(,x
13、,),e,x,kx,，,x,(1,，,),，,f,(,x,),g,(,x,),恒成立，则实数,k,的取值范围是,(,),A,(,，,1),B,(,，,1,C,(,，,e)D,(,，,e,D,由题意得,e,x,k,k,ln,x,e,x,kx,，,x,(1,，,),恒成立，,即,e,ln,x,+1,k,(ln,x,1)e,x,kx,，,x,(1,，,),恒成立，,令,h,(,x,),e,x,kx,，则,h,(ln,x,1),h,(,x,),恒成立，,令,m,(,x,),ln,x,x,1,，,x,(1,，,),，,则,m,(,x,),10,恒成立，,所以,m,(,x,),在,(1,，,),上为减函数，即,m,(,x,),ln,x,x,1,m,(1),0,，即,ln,x,1,x,，,所以,h,(,x,),为增函数，即,h,(,x,),e,x,k,0,，,x,(1,，,),恒成立，所以,k,e.,故选,D.,微专题强化练,(,五,),点击页面进入,导数法研究恒,(,能,),成立问题,（,WORD,版）,巩固课堂所学,激发学习思维,夯实基础知识,熟悉命题方式,自我检测提能,及时矫正不足,本节课掌握了哪些考点？,本节课还有什么疑问点？,课后训练,学习反思,课时小结,THANKS,
