《2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.2.2 直线和圆的位置关系 (第3课时)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.2.2 直线和圆的位置关系 (第3课时)(15页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系(第3课时)一、教学目标【知识与技能】理解掌握切线长的概念和切线长定理,了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.【过程与方法】利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题,掌握三角形内切圆和内心的概念.【情感态度与价值观】经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力.二、课型新授课三、课时第3课时,共3课时。四、教学重难点【教学重点】切线长定理及其应用.【教学难点】内切圆、内心的概念及运用.五、课前准备课件、图片、圆规、直尺等.六、教学过程(一)导入新课同学们玩过空竹和悠悠球吗?在空竹
2、和悠悠球的旋转的那一瞬间,你能从中抽象出什么样数学图形?(出示课件2)(二)探索新知探究一 切线长定理及应用教师问:上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示),如果点P是圆外一点,又怎么作该圆的切线呢?过圆外的一点作圆的切线,可以作几条?(出示课件4)学生思考,尝试作图并解答出示课件5:出示定义:切线长的定义:切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长教师问:切线长与切线的区别在哪里?学生思考后师生共同总结:切线是直线,不能度量.切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量教师问:PA为O的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为BOB是O的
3、一条半径吗?PB是O的切线吗?PA、PB有何关系?APO和BPO有何关系?(出示课件6)学生思考后,尝试利用图形轴对称性解释.教师归纳:(出示课件7)切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.几何语言:PA、PB分别切O于A、B,PA=PB,OPA=OPB.出示课件8:已知,如图PA、PB是O的两条切线,A、B为切点.求证:PA=PB,APO=BPO.学生观察分析,合作交流后师生共同解答.证明:PA切O于点A,OAPA.同理可得OBPB. OA=OB,OP=OP,RtOAPRtOBP(HL),PA=PB,APO=BPO.教师问:若连接两切点A、
4、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.(出示课件9)学生操作后观察得:OP垂直平分AB.师生共同证明如下.证明:PA,PB是O的切线,点A,B是切点,PA=PB,OPA=OPB.PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线OP垂直平分AB.教师问:若延长PO交O于点C,连接CA、CB,你又能得出什么新的结论?并给出证明.(出示课件10)学生操作后观察得:CA=CB.师生共同证明如下.证明:PA,PB是O的切线,点A,B是切点,PA=PB,OPA=OPB.PC=PC.PCAPCB,AC=BC.出示课件11:例1 已知:如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与O分别相切于点E
5、、F、G、H.求证:AB+CD=AD+BC.学生独立思考后师生共同解决如下.证明:AB、BC、CD、DA与O分别相切于点E、F、G、H,AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH.AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.AB+CD=AD+BC.巩固练习:(出示课件12)PA、PB是O的两条切线,A,B是切点,OA=3.(1)若AP=4,则OP= ;(2)若BPA=60,则OP= .学生自主思考后口答:5;6.出示课件13:例2 为了测量一个圆形铁环的半径,某同学采用了如下办法:将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺,按如图所示的方法得到相关数据,进而可求得铁环
6、的半径,若三角板与圆相切且测得PA=5cm,求铁环的半径教师分析:欲求半径OP,取圆的圆心为O,连OA、OP,由切线性质知OPA为直角三角形,从而在RtOPA中由勾股定理易求得半径师生共同解答.(出示课件14)解:过O作OQAB于Q,设铁环的圆心为O,连接OP、OA.AP、AQ为O的切线,AO为PAQ的平分线,即PAOQAO.又BAC60,PAOQAOBAC180,PAOQAO60.在RtOPA中,PA5,POA30,即铁环的半径为巩固练习:(出示课件15)如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点,经测量
7、发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为 cm(ADBE). 学生思考后独立解决.解析:设圆心为O,连接OD、OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,解得x1=10,x2=15,ADBE,AD=10,BE=15,设半径为r,又AB=AD+BE=25,(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5.探究二 三角形的内切圆及作法出示课件16:小明在一家木料厂上班,工作之余想对厂里的三角形废料进行加工:裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢?教师问:如果最大圆存在,它与
8、三角形三边应有怎样的位置关系?(出示课件17)学生答:最大的圆与三角形三边都相切.教师问:如何求作一个圆,使它与已知三角形的三边都相切?(1)如果半径为r的I与ABC的三边都相切,那么圆心I应满足什么条件?(出示课件18)学生答:圆心I到三角形三边的距离相等,都等于r.教师问:(2)在ABC的内部,如何找到满足条件的圆心I呢?学生答:圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.教师问:为什么?学生答:三角形三条角平分线交于一点,这一点与三角形的三边距离相等.出示课件19:做一做已知:ABC.求作:和ABC的各边都相切的圆.引导学生分析作图的关键,师生共同作图如下:作法:1.作B和C的平分线BM和CN
9、,交点为O.2.过点O作ODBC.垂足为D.3.以O为圆心,OD为半径作圆O.O就是所求的圆.教师归纳总结:(出示课件20)1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.如图,I是ABC的内切圆,点I是ABC的内心,ABC是I的外切三角形.出示课件21:例 已知:ABC(如图),(1)求作ABC的内切圆I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明).(2)在题(1)已经作好的图中,若BAC=88,求BIC的度数.学生观察思考交流后,师生共同解答.(出示课件22,23)解析:(1)以A为圆心、任意长为半
10、径画圆,分别交AC、AB于点H、G;分别以H、G为圆心,以大于HG的长为半径画圆,两圆相交于K点,连接AK,则AK即为BAC的平分线;同理作出ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为ABC内切圆的圆心;过I作IMBC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则I即为所求圆.(2)BAC=88,ABC+ACB=180-88=92,IBC+ICB=(ABC+ACB)=92=46,BIC=180-46=134.巩固练习:(出示课件24)ABC的内切圆半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积.(提示:设内心为O,连接OA、OB、OC.)学生思考交流后自主解决.解:设AB=c,BC=a,AC=b.则SOBC
11、=ar,SOBA=cr,SOAC=br,SABC=SOBC+SOBA+SOAC=ar+cr+br=r(a+c+b)=lr.探究三 三角形的内心的定义和性质教师问:如图,I是ABC的内切圆,那么线段IA,IB,IC有什么特点?(出示课件25)学生答:线段IA,IB,IC分别是A,B,C的平分线.教师问:如图,分别过点作AB、AC、BC的垂线,垂足分别为E、F,G,那么线段IE、IF、IG之间有什么关系?(出示课件26)学生答:IE=IF=IG.教师归纳:三角形内心的性质(出示课件27)三角形的内心在三角形的角平分线上.三角形的内心到三角形的三边距离相等.出示课件28:例 如图,ABC中,B=43
12、,C=61,点I是ABC的内心,求BIC的度数.教师分析后学生独立解答.解:连接IB,IC.点I是ABC的内心,IB,IC分别是B,C的平分线,在IBC中,巩固练习:(出示课件29)如图,在ABC中,点P是ABC的内心,则PBC+PCA+PAB= .学生自主思考后独立解答.解析:点P是ABC的内心,PB平分ABC,PA平分BAC,PC平分ACB,PBC+PCA+PAB=90.出示课件30,师生共同总结深化认知.名称确定方法图形性质外心:三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC;2.外心不一定在三角形的内部内心:三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等;
13、2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB;3.内心在三角形内部(三)课堂练习(出示课件31-36)1.如图,一把直尺,60的直角三角板和光盘如图摆放,A为60角与直尺交点,AB=3,则光盘的直径是()A3 B C6 D2.如图,菱形ABOC的边AB、AC分别与O相切于点D、E若点D是AB的中点,则DOE= 3.如图,PA、PB是O的两条切线,切点分别是A、B,如果AP=4,APB=40,则APO= ,PB= .4.如图,已知点O是ABC的内心,且ABC=60,ACB=80,则BOC= .5.如图,在ABC中,点I是内心, (1)若ABC=50,ACB=70,BIC=_.(2)若A=80,则BIC=_度.(3)若BIC=100,则A=_度.(4)试探索:A与BIC之间存在怎样的数量关系?6.如图所示,已知在ABC中,B90,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于E,与AC相切于点D.求证:DEOC.7.如图,ABC中,I是内心,A的平分线和ABC的外接圆相交于点D.求证:DIDB.参考答案:1.D解析:设三角板与圆的切点为C,连接OA、OB,由切线长定理知AB=AC=3,OA平分BAC,OAB=60,在RtABO中,OB=ABtanOAB=,光盘的直径为2.60解析:连接OA,四边形ABOC是菱形,BA=BO,AB与O相切于点D,OD