《2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.1.2 垂直于弦的直径》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.1.2 垂直于弦的直径（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）
2、导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一 圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在O中，CD是直径，
3、AB是弦，CDAB，垂足为E教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OAOB又CDAB，直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二 垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是O的一条弦, 直径CDAB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:=,= 学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两
4、侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，重合教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：CD是直径，CDAB， AE=BE, =,= 教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是
5、真命题吗？过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，CD是直径；CDAB，垂足为E；AE=BE；=;=.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CDAB吗？为什么？与相等吗？与相等吗？为什么？证明：连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OEAOEBOE（SSS），AEO=BEO=90，CDAB.（2）由垂径定理可得=,= 教师归纳总结：（出示课件1
6、5）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，OEAB，cm.巩固练习：（出示课件17）如图，O的弦AB8cm，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，CEAB于D， ，设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2
7、已知：O中弦ABCD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证: 四边形ADOE是正方形学生独立解答，一生板演.证明：OEAC，ODAB，ABAC，OEA=EAD=ODA=90.四边形ADOE为矩形，AE=AC,AD=AB.又AC=AB,AE=AD
8、. 四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.AB=37m，CD=7.23m.AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2， 解得R27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为
9、cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： d+h=r；.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .3.O的直径AB=20cm, BAC=30则弦AC= . 4.（分类讨论题）已知
10、O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE.AECEBEDE.即ACBD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.，根据勾股定理，得解
11、得R=545.这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.
