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1、 第八章 习题课习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法多元函数微分法2021/3/101一、一、 基本概念基本概念连续性 偏导数存在 方向导数存在可微性1. 多元函数的定义、极限 、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质2. 几个基本概念的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/102思考与练习思考与练习机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论二重极限解法解法1解法解法2 令解法解法3 令时, 下列算法是否
2、正确是否正确?2021/3/103分析分析:解法1解法2 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 此时极限为 1 .第二步 未考虑分母变化的所有情况, 2021/3/104解法3 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法忽略了 的任意性,极限不存在 !由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在 .2021/3/105提示提示: 利用 故f
3、在 (0,0) 连续;知在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 2. 证明证明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/106而所以 f 在点(0,0)不可微 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/107例例1. 已知求出 的表达式. 解法解法1 令即解法解法2 以下与解法1 相同.则且机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/108二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示结构隐式结构1. 分析复合结构(画变量关系图)自变量个数 = 变量总个数 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2. 正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注
4、意正确使用求导符号3. 利用一阶微分形式不变性机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/109例例2. 设其中 f 与F分别具解法解法1 方程两边对 x 求导, 得有一阶导数或偏导数, 求(99 考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1010解法解法2 方程两边求微分, 得化简消去 即可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1011例例3. .设有二阶连续偏导数, 且求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1012练习题练习题1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数2. 同济(下) P73 题12机动 目录 上页 下页
5、返回 结束 2021/3/1013解答提示解答提示:第 1 题机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1014机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1015P73 题12 设求提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用行列式解出 du, dv ：2021/3/1016机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入即得 代入即得 2021/3/1017有连续的一阶偏导数 , 及分别由下两式确定求又函数答案答案:( 2001考研 ）机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设2021/3/1018三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用1 1.在几何中的在几何中的应
6、用应用求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题3. 在微分方程变形等中的应用在微分方程变形等中的应用 最小二乘法机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1019例例4.4.在第一卦限作椭球面的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点. 解解: 设切点为则切平面的法向量为即切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1020问题归结为求在条件下的条件极值问题 .设拉格朗日函数机动 目录
7、 上页 下页 返回 结束 切平面在三坐标轴上的截距为2021/3/1021令由实际意义可知为所求切点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 唯一驻点2021/3/1022例例5. 求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：解：设为抛物面上任一点，则 P 的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 到平面2021/3/1023令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在 ,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1024上求一点 , 使该点处的法线垂直于练习题：练习题：1. 在曲面并写出该法线方程 .提示提示: 设所求点为则法线方程为利用得平面法线垂直于平面点在曲面上机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/10252. 在第一卦限内作椭球面的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.提示提示: 设切点为用拉格朗日乘数法可求出则切平面为所指四面体围体积V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大, 故取拉格朗日函数 例4 目录 上页 下页 返回 结束 (见例见例4)2021/3/1026作业作业 P73 5，6，10， 15，17 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1027
