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1、 如果如果 a( (a0, a 1) )的的 b 次幂等于次幂等于 N, 即即 ab=N, 那么数那么数 b 叫做叫做以以 a 为底为底 N 的的对数对数, 记作记作 logaN=b, 其中其中 a 叫做对数的叫做对数的底数底数, N叫做叫做真数真数, 式子式子 logaN 叫做叫做对数式对数式.三、对数恒等式三、对数恒等式1. 负数和零没有对数负数和零没有对数; 2. 1 的对数是零的对数是零, 即即 loga1=0; 3. 底的对数等于底的对数等于 1, 即即logaa=1. 二、对数的性质二、对数的性质一、对数一、对数自然对数自然对数: ( (lnN) ). 常用对数常用对数: ( (l
2、gN) ), alogaN=N(a0 且且 a 1, N0). 函数函数 y=logax( (a0, 且且 a 1) )叫做叫做对数函数对数函数, 对数函数的定对数函数的定义域为义域为(0, +), 值域为值域为(- -, +).如果如果 a0, a 1, M0, N0, 那么那么: 四、对数的运算性质四、对数的运算性质五、对数函数五、对数函数(1) loga(MN)=logaM+logaN; (2) loga =logaM- -logaN; MN(3) logaMn=nlogaM. 六、对数函数的图象和性质六、对数函数的图象和性质图图象象性性质质(1)定义域定义域: (0, +)(2)值值
3、域域: R(3)过点过点 (1, 0), 即即 x=1 时时, y=0.(4)在在 (0, +) 上是增函数上是增函数.(4)在在 (0, +) 上是减函数上是减函数. yox(1, 0)x=1y=logax (a1)a1yox(1, 0)x=1y=logax (0a1)0a1七、换底公式七、换底公式 换底公式在对数运算中的作用换底公式在对数运算中的作用:课堂练习课堂练习BAlogbN= logaN logab log bn= logab; am n m logab= . logba 1 1.已知函数已知函数 f(x)=lg , 若若 f(a)=b, 则则 f(- -a) 等于等于( ) 1-
4、 -x 1+x b1A. b B. - -b C. D. - -b1 2.若函数若函数 f(x)=logax (0a1) 在区间在区间 a, 2a 上的最大值是最小上的最大值是最小值的值的 3 倍倍, 则则 a 等于等于( ) A. B. C. D.12142422D 3.对于对于 0a1, 给出下列不等式给出下列不等式, 能成立的是能成立的是( ) loga(1+a)loga(1+ ); a1+aa1+ . 1a1aa1a1A. B. C. D. A 4.若若 0alogb30, 则则( ) A. 0ab1 B. 1ab C. 0ba1 D. 1ba B 6.函数函数 f(x)=ax+log
5、a(x+1) 在在 0, 1 上的最大值与最小值之和上的最大值与最小值之和为为a, 则则 a 的值为的值为( ) A. B. C. 2 D. 41214D 7.若若 1 logba B. |logab+logba|2 C. (logba)2|logab+logba| 10.方程方程 lg(4x+2)=lg2x+lg3 的解是的解是 .x=0 或或 1 8.设设 a, b, c 都是正数都是正数, 且且 3a=4b=6c, 那么那么( ) A. = + B. = + C. = + D. = + b1a1c1b2a2c2b1c1a2b2c2a1B9.若若 (log23)x - -(log53)x
6、(log23)- -y- -(log53)- -y, 则则( ) A. x - -y0 B. x+y0 C. x - -y0 D. x+y0B1.化简下列各式化简下列各式:(1) (lg5)2+lg2lg50; =1. 解解: (1)原式原式=(lg5)2+lg2(lg2+2lg5) =(lg5)2+(lg2)2+2lg2lg5 =(lg5+lg2)2 =1. 典型例题典型例题(3) lg5(lg8+lg1000)+(lg2 )2+lg +lg0.06. 16(3)原式原式=lg5(3lg2+3)+3lg22- -lg6+lg6- -2 =3lg5lg2+3lg5+3lg22- -2 =3lg
7、2(lg5+lg2)+3lg5- -2 =3(lg2+lg5)- -2 =1. (2) 2(lg 2 )2+lg 2 lg5+ (lg 2 )2- -lg2+1 ;=lg 2 +1- -lg 2 =lg 2 (lg2+lg5)+(1- -lg 2 ) (2)原式原式=lg 2 (2lg 2 +lg5)+ (lg 2 - -1)2 解解: 由由 1ab1, 0n0, logn4logn4, 可分情况讨论如下可分情况讨论如下: m1n0; log4mm1; 2.已知已知 1ablogn4, 比较比较 m, n 的大小的大小. loga 0, logb 1. baba 0log alog b,bab
8、aloga logbb= ,1212 logablogba logb loga . 12baba当当 m1, n1 时时, 由由 logm4logn40 得得:当当 0m1, 0nlogm4logn4 得得: log4mlog4n. 0mn1n0 或或 nm1 或或 0mn1. 0logba0, y0, x- -2y0, x2y0. lgx+lgy=2lg(x- -2y), lg(xy)=lg(x- -2y)2. xy=(x- -2y)2. x2- -5xy+4y2=0. (x- -y)(x- -4y)=0. x=y( (舍去舍去) )或或 x=4y.yx =4. yx log =log 4=
9、4. 7.已知已知 ab1, 且且 3lgab+3lgba=10, 求求 lgab- -lgba 的值的值.解解: 注意到注意到 lgablgba=1, 又已知又已知 lgab+lgba= , 310(lgab- -lgba)2=(lgab+lgba)2- -4lgablgba = - -4= . 9 100 964ab1, lgab- -lgba0, 即即 at2- -t0at(t- - )0. 1aa0, t0, t 时时, 函数有意函数有意义义. 1a又又 u(t)=at2- -t( (t ) )是以直是以直线线 t= 为对为对称称轴轴的抛物的抛物线线, 1a2a1且有且有 t , 即区
10、即区间间 ( , +) 在在对对称称轴轴的右的右侧侧, 2a11a1au(t) 在区在区间间 ( , +) 上上单调递单调递增增. 1a要使原函数在区要使原函数在区间间 2, 4 上是增函数上是增函数, 应应有有:a1 且且 1. 存在存在实实数数 a, 只只须须 a (1, +) 即可即可满满足要求足要求. 8.是否存在是否存在实实数数 a, 使得使得 f(x)=loga(ax- - x )在区在区间间 2, 4 上上是增函数是增函数? 若存在若存在, 求出求出 a 的取的取值值范范围围. 解解: 令令 t= x , 则则 t 2 , 2, 解解: (1) a1, x1, 两式相加解得两式相
11、加解得 x= (ay+a- -y). 12f(x) 的反函数的反函数 f- -1(x)= (ax+a- -x)(x0). 12 9.已知已知 a1, f(x)=loga(x+ x2- -1 ) (x1), (1)求函数求函数 f(x) 的反函的反函数数 f- -1(x); (2)试比较试比较 f- -1(x) 与与 g(x)= (2x+2- -x) 的大小的大小.12 x+ x2- -1 1. y=loga(x+ x2- -1 )0. y=loga(x+ x2- -1 ), - -y=loga(x- - x2- -1 ). x+ x2- -1 =ay, x- - x2- -1 =a- -y.
12、若若 x0, 则则当当 1a2 时时, f- -1(x)0 时时, f- -1(x)- -g(x) = (ax+a- -x)- - (2x+2- -x) 121222xax (ax- -2x)(2xax- -1) = . = (ax- -2x)+( - - ) 1212x1ax x0, a1, 2xax1. 当当 1a2 时时, ax2x, f- -1(x)- -g(x)0, f- -1(x)2 时时, ax2x, f- -1(x)- -g(x)0, f- -1(x)g(x). 综上所述综上所述, 若若 x=0, 则则 f- -1(x)=g(x); 当当 a=2 时时, f- -1(x)=g(
13、x); 当当 a2 时时, f- -1(x)g(x). 9.已知已知 a1, f(x)=loga(x+ x2- -1 ) (x1), (1)求函数求函数 f(x) 的反函的反函数数 f- -1(x); (2)试比较试比较 f- -1(x) 与与 g(x)= (2x+2- -x) 的大小的大小.12补充例题补充例题1.解方程解方程: x+log2(2x- -31)=5.2.设设a, b分别是方程分别是方程 log2x+x- -3=0和和2x+x- -3=0 的根的根, 求求a+b的值的值.x=5 a+b=3. 3.已知函数已知函数 f(x)=loga (0a0, a 1), 当当 0x11时时, “” ; 0a1时时, “1, m R, x=logst+logts, y=logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s).(1)将将 y 表示为表示为 x 的函数的函数 y=f(x), 并求出并求出 f(x) 的定义域的定义域; (2)若关若关于于 x 的方程的方程 f(x)=0 有且仅有一个实根有且仅有一个实根, 求求 m 的取值范围的取值范围. (1)f(x)=x4+(m- -4)x2+2(1- -m), 其定义域为其定义域为 2, +);(2)(- -, - -1. ( (注意注意: x24) )
