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1、傅里叶变换傅里叶变换-经典经典pptppt1 Fourier积分公式积分公式1.1 Recall: 在工程计算中在工程计算中, , 无论是电学还是力学无论是电学还是力学, , 经常要和随时间经常要和随时间变化的周期函数变化的周期函数fT(t)打交道打交道. . 例如例如: :具有性质具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中其中T T称作周期称作周期, , 而而1/T代表代表单位时间振动的次数单位时间振动的次数, , 单位时间通常取秒单位时间通常取秒, , 即每秒重复即每秒重复多少次多少次, , 单位是赫兹单位是赫兹( (Herz, , 或或Hz).).t2 最常用的一种周期函数是三角函数。人
2、们发现最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, , 所有所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近线性组合来逼近. . Fourier级数级数方波方波4个正弦波的逼近个正弦波的逼近100个正弦波的逼近个正弦波的逼近3 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可情况即可, , 通常研究在闭区间通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化的内函数变化的情况情况. .是以是以T为周期的函数，在为周期的函数，在上满足上满足Dirichlet条件：条件：连续或只有有限个第一类间断
3、点；连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点；只有有限个极值点；可展开成可展开成Fourier级数，且在连续点级数，且在连续点t处成立：处成立：4引进复数形式：引进复数形式：5级数化为：级数化为：6合并为：合并为：级数化为：级数化为：若以若以 描述某种信号，描述某种信号， 则则 可以刻画可以刻画 的特征频率。的特征频率。7 对任何一个非周期函数对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期都可以看成是由某个周期函数函数fT(t)当当T时转化而来的时转化而来的. . 作周期为作周期为T的函数的函数fT(t), 使其在使其在-T/2,T/2之内等于之内等于f (t), 在在-T/2,T
4、/2之外按周期之外按周期T延拓到整个数轴上延拓到整个数轴上, , 则则T越大越大, , fT(t)与与f (t)相等的范围也越大相等的范围也越大, , 这就说明当这就说明当T时时, ,周期函数周期函数fT(t)便可转化为便可转化为f (t), 即有即有8例例 矩形脉冲函数为矩形脉冲函数为如图所示如图所示: :1-1Otf (t)191-13T=4f4(t)t 现以现以f (t)为基础构造一周期为为基础构造一周期为T的周期函数的周期函数fT(t), 令令T=4, , 则则10则则11sinc(x)xsinc函数介绍函数介绍12前面计算出前面计算出w可将可将 以竖线标在频率图上以竖线标在频率图上1
5、31-17T=8f8(t)t 现在将周期扩大一倍现在将周期扩大一倍, 令令T=8, 以以f (t)为基础构造为基础构造一周期为一周期为8的周期函数的周期函数f8(t)14则则15则在则在T=8时时, , 再将再将 以竖线标在频率图上以竖线标在频率图上16如果再将周期增加一倍如果再将周期增加一倍, , 令令T=16, , 可计算出可计算出w再将再将 以竖线标在频率图上以竖线标在频率图上17一般地一般地, , 对于周期对于周期T18 当周期当周期T越来越大时越来越大时, , 各个频率的正弦波的频率间各个频率的正弦波的频率间隔越来越小隔越来越小, , 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是而它们的强度在
6、各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状函数的形状, , 因此因此, , 如果将方波函数如果将方波函数f (t)看作是周看作是周期无穷大的周期函数期无穷大的周期函数, , 则它也可以看作是由无穷多个无则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成穷小的正弦波构成, , 将那个频率上的轮廓即将那个频率上的轮廓即sinc函数的函数的形状看作是方波函数形状看作是方波函数f (t)的各个频率成份上的分布的各个频率成份上的分布, , 称称作方波函数作方波函数f (t)的傅里叶变换的傅里叶变换. .191.21.2Fourier积分公式与积分公式与Fourier积分存在定理积分存在定理20O w1 w2 w3
7、 wn-1wnw212223付氏积分公式也可以转化为三角形式付氏积分公式也可以转化为三角形式24又考虑到积分又考虑到积分252 Fourier变换变换2.1 Fourier变换的定义变换的定义26 Fourier积分存在定理的条件是积分存在定理的条件是Fourier变换存在的变换存在的一种充分条件一种充分条件. .27 在频谱分析中在频谱分析中, , 傅氏变换傅氏变换F( )又称为又称为f(t)的频谱函的频谱函数数, , 而它的模而它的模|F( )|称为称为f (t)的振幅频谱的振幅频谱( (亦简称为频谱亦简称为频谱).).由于由于 是连续变化的是连续变化的, , 我们称之为连续频谱我们称之为
8、连续频谱, , 对一个时间对一个时间函数函数f (t)作傅氏变换作傅氏变换, , 就是求这个时间函数就是求这个时间函数f (t)的频谱的频谱. .28例例 1 1 求矩形脉冲函数求矩形脉冲函数 的付氏变换及其的付氏变换及其 积分表达式。积分表达式。2930tf (t)312.2 单位脉冲函数及其傅氏变换单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中在物理和工程技术中, , 常常会碰到单位脉冲函数常常会碰到单位脉冲函数. .因为有许多物理现象具有脉冲性质因为有许多物理现象具有脉冲性质, , 如在电学中如在电学中, , 要要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电研究线性电路受具有脉冲性质的电
9、势作用后产生的电流流; ; 在力学中在力学中, , 要研究机械系统受冲击力作用后的运要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等动情况等. . 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数脉冲函数. .32 在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路中, 某一瞬时某一瞬时(设为设为t=0)进入进入一单位电量的脉冲一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流现在要确定电路上的电流i(t). 以以q(t)表示上述电路中的电荷函数表示上述电路中的电荷函数, 则则 当当t 0时时, i(t)=0, 由于由于q(t)是不连续的是不连续的, 从而在普通从而在普通导数意义下导数
10、意义下, q(t)在这一点是不能求导数的在这一点是不能求导数的.33如果我们形式地计算这个导数如果我们形式地计算这个导数, , 则得则得 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度为了确定这样的电流强度, 引进引进一个称为狄拉克一个称为狄拉克(Dirac)函数函数, 简单记成简单记成d d-函数函数:有了这种函数有了这种函数, , 对于许多集中于一点或一瞬时的量对于许多集中于一点或一瞬时的量, , 例例如点电荷如点电荷, , 点热源点热源, , 集中于一点的质量及脉冲技术中的集中于一
11、点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等非常窄的脉冲等, , 就能够象处理连续分布的量那样就能够象处理连续分布的量那样, , 以以统一的方式加以解决统一的方式加以解决. .34d de e(t)1/e ee eO（在极限与积分可交换意义下）（在极限与积分可交换意义下）工程上将工程上将d d- -函数称为函数称为单位脉冲函数单位脉冲函数。35 可将可将d d- -函数用一个长度等于函数用一个长度等于1 1的有向线段表示的有向线段表示, , 这个这个线段的长度表示线段的长度表示d d- -函数的积分值函数的积分值, , 称为称为d d- -函数的强度函数的强度. .tOd d (t)1d d-函数有性
12、质函数有性质：可见可见d d- -函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。都有明确意义。36d d-函数的傅氏变换为函数的傅氏变换为: :于是于是d d ( (t) )与常数与常数1构成了一傅氏变换对构成了一傅氏变换对. .证法证法2：若若F( ) )=2pdpd ( ( ) ), 由傅氏逆变换可得由傅氏逆变换可得例例1 1 证明：证明：1和和2pd pd ( )构成傅氏变换对构成傅氏变换对. .证法证法1：37由上面两个函数的变换可得由上面两个函数的变换可得38例如常数例如常数, , 符号函数符号函数, , 单位阶跃函数以及正单位阶跃函数以及
13、正, , 余弦函数余弦函数等等, , 然而它们的广义傅氏变换也是存在的然而它们的广义傅氏变换也是存在的, , 利用单位脉利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换. . 所谓所谓广义是相对于古典意义而言的广义是相对于古典意义而言的, , 在广义意义下在广义意义下, , 同样可同样可以说以说, ,象原函数象原函数f(t)和象函数和象函数F( )构成一个傅氏变换对构成一个傅氏变换对. . 在物理学和工程技术中在物理学和工程技术中, , 有许多重要函数不满足傅有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件氏积分定理中的绝对可积条件, , 即不满足
14、条件即不满足条件39例例4 求正弦函数求正弦函数f (t)=sin 0t的傅氏变换的傅氏变换。pp-w0w0Ow|F(w)|t40例例 5 证明证明：证：证：41423 Fourier变换与逆变换的性质变换与逆变换的性质 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, , 为了叙述方为了叙述方便起见便起见, , 假定在这些性质中假定在这些性质中, , 凡是需要求傅氏变换的函凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件数都满足傅氏积分定理中的条件, , 在证明这些性质时在证明这些性质时, , 不再重述这些条件不再重述这些条件. .1.1.线性性质线性性质: :432.
15、位移性质位移性质: :证明：证明： 为实常数，则为实常数，则443. 相似性质：相似性质：证明：证明：45例例1 1 计算计算 。 方法方法1 1：（先用相似性质，再用平移性质）：（先用相似性质，再用平移性质）46方法方法2：（先用平移性质，再用相似性质）：（先用平移性质，再用相似性质）474.微分性质：微分性质： 像原函数的微分性质：像原函数的微分性质：则则485.积分性质：积分性质： 6 6. 帕塞瓦尔帕塞瓦尔( (Parserval) )等式等式49 实际上实际上, , 只要记住下面五个傅里叶变换只要记住下面五个傅里叶变换, , 则所有的则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出性质导出. .50例例2 2 利用傅氏变换的性质求利用傅氏变换的性质求d d (t-t0),性质性质性质51例例3 3 若若 f (t)=cos 0t u(t), 求其求其傅氏变换傅氏变换。527.7.卷积与卷积定理卷积与卷积定理卷积定义卷积定义：卷积的简单性质：卷积的简单性质：53例例1 1 求下列函数的卷积：求下列函数的卷积：由卷积的定义有由卷积的定义有54卷积定理：卷积定理：55例例2 2 求求 的傅氏变换。的傅氏变换。性质56利用卷积公式来证明积分公式：利用卷积公式来证明积分公式：证明：证明：设设则则57
