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1、第五节第五节 函数的微分与函数的微分与函数的线性逼近函数的线性逼近一、微分的定义一、微分的定义本节要点本节要点二、微分的计算二、微分的计算三、微分的意义与应用三、微分的意义与应用温度变化的影响温度变化的影响, 其边长从其边长从 一、微分的定义一、微分的定义 1.引例引例 首先我们来看一个具体的例首先我们来看一个具体的例变化到变化到 问此薄片的面问此薄片的面 分析分析: 当边长为当边长为 时时, 相应的相应的积改变了多少？积改变了多少？子子: 一块正方形的金属薄片受一块正方形的金属薄片受而当边长增加到而当边长增加到 时时, 薄片面积的改变量为薄片面积的改变量为从中可以看出从中可以看出 由两部分构
2、成由两部分构成: 第一部分第一部分 是是变量可以近似地用第一部分来代替变量可以近似地用第一部分来代替. 由于第一部分是由于第一部分是线性函数线性函数, 而且当而且当 越小时越小时, 近似程度也越好近似程度也越好. 这给这给的线性函数的线性函数: 第二部分第二部分 当当 是是 的高阶无的高阶无穷小穷小. 由此可见由此可见: 如果边长的改变很微小如果边长的改变很微小, 则面积的则面积的改改近似计算带来了很大的方便近似计算带来了很大的方便.面积为面积为 还有其它许多具体问题中的出现的函数还有其它许多具体问题中的出现的函数 都都具有这样的特征具有这样的特征: 与自变量的增量与自变量的增量 相对应的函数
3、的相对应的函数的增量增量 可以表达为可以表达为 的线性函的线性函数数 与与 的高阶无穷小的高阶无穷小 的两部分和的两部分和. 由此由此, 我我们引入以下概念们引入以下概念. 2.微分的定义微分的定义定义定义 设函数设函数 在在 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义, 当当自变量在自变量在 处取得增量处取得增量 （点（点 仍在该邻域仍在该邻域 ）时）时,高阶无穷小（当高阶无穷小（当 ）, 那么称函数那么称函数 在点在点是是可微可微的的, 称为函数称为函数 在点在点 相应于自变量相应于自变量其中其中 是与是与 有关的而与有关的而与 无关的常数无关的常数, 是是 的的如果相应的函数增量如果相应的函数
4、增量 可以表可以表示为示为的增量的增量 微分微分, 记为记为 即即 3.可微的条件可微的条件定理定理 函数函数 在点在点 处可微的充要条件是函数处可微的充要条件是函数证证 必要性必要性: 设函数设函数 在点在点 处可微分处可微分, 则则由由定义定义, 对给定的自变量的增量对给定的自变量的增量 相应函数的增量为相应函数的增量为即即 在点在点 处可导且有处可导且有注意到注意到 即有即有 充分性充分性: 设函数设函数 在在 处可导，即有处可导，即有由极限与无穷小的关系由极限与无穷小的关系: 得得其中其中 为无穷小为无穷小. 从而从而即即: 函数函数 在在 处可微分处可微分, 且有且有 如果函数如果函
5、数 在区间在区间 内每一点可微内每一点可微, 则称则称分就称为分就称为函数的微分函数的微分, 也记为也记为 由前公式得由前公式得:通常把自变量通常把自变量 的的增量称为的的增量称为自变量的微分自变量的微分, 记为记为 上式两端除以自变量的微分上式两端除以自变量的微分, 得得:为区间内的为区间内的可微函数可微函数: 函数函数 在在 内的任意一点微内的任意一点微于是函数的微分可记为于是函数的微分可记为因此因此, 导数又称为导数又称为微商微商.二、微分公式与运算法则二、微分公式与运算法则 由前面的可微的充分必要条件由前面的可微的充分必要条件, 可得下面的基本公式可得下面的基本公式: 1.基本公式基本
6、公式 导数公式导数公式微分公式微分公式 2.运算法则（表中运算法则（表中 、 ） 函数的和、积、商的求导法则函数的和、积、商的求导法则 函数的和、积、商的微分法则函数的和、积、商的微分法则 3.复合函数的微分法则复合函数的微分法则 设设 , 则复合函数则复合函数 的的所以复合函数的微分为所以复合函数的微分为由于由于 故上式又可写成故上式又可写成:导数为导数为:总是正确的总是正确的, 这一性质称为这一性质称为微分形式不变性微分形式不变性.比较两式比较两式, 可以看到无论可以看到无论 是中间变量或是直接变量是中间变量或是直接变量, 表表达式达式例例1 求函数求函数 在在 处的微分处的微分.解解 因
7、函数为初等函数因函数为初等函数, 故为可微函数故为可微函数. 由计算公式得由计算公式得:例例2 求函数求函数 当当 时的微分时的微分.解解 例例3 求函数求函数 的微分的微分.解解 由微分公式由微分公式三、微分的几何意义三、微分的几何意义 由微分的定义由微分的定义, 当函数当函数 在在 处可微时处可微时, 有有当当 时时, 并且误差仅是并且误差仅是 的高阶无穷小的高阶无穷小. 注意到当注意到当 时时, 故故此即说明此即说明 是是 的主要部分的主要部分, 故称微分故称微分 是是 的的线线性主部性主部.当当 很小时，很小时，因此因此, 曲线曲线 从图中可以看到从图中可以看到, 对取定的对取定的 值
8、值, 当自变量当自变量 有微小有微小的增量的增量 时时, 得到曲线得到曲线 上的相应点上的相应点 是曲线是曲线T）在在 处的切线处的切线, 由此得由此得:在点在点 附近的局部范围可由它在这点处的切线近似代附近的局部范围可由它在这点处的切线近似代替替.四、近似计算四、近似计算 由微分公式由微分公式得到如下的近似计算公式得到如下的近似计算公式:或或注意到注意到, 若记若记 则有则有(5(5 ) )因此因此(5 )式的右端就是曲线式的右端就是曲线 在点在点处的切线表达式处的切线表达式因此因此(5)或或(5 )通常称为函数通常称为函数 的一次近似或的一次近似或线性线性近似近似, 其近似误差其近似误差
9、是是 的的高阶无穷小高阶无穷小. 越小越小, 则近似程度就越高则近似程度就越高.例例4 在在 的邻近的邻近, 求求解解 在在(5 )中中, 取取 即有即有因因 由此得由此得的一次近似的一次近似.下面的图形表明了上述问题下面的图形表明了上述问题.下面的图形表明了上述问题下面的图形表明了上述问题.当当 很小时很小时, 还可得到其它函数的一次近似式还可得到其它函数的一次近似式. 我们我们把常用的几个函数的一次近似式列于下表把常用的几个函数的一次近似式列于下表:例例5 近似计算近似计算 解解 由上面的一次近似式由上面的一次近似式, 此时此时 因而有因而有解解 镀层的体积等于两个同心球体的体积之差镀层的
10、体积等于两个同心球体的体积之差. 故故故要用的铜大约为故要用的铜大约为例例6 在半径为在半径为 的金属球表面上镀一层厚度为的的金属球表面上镀一层厚度为的 铜铜, 估计要用铜多少克估计要用铜多少克(铜的密度为铜的密度为 )? 在生产实践中在生产实践中, 需要测量各种数据需要测量各种数据. 但是有的数据不但是有的数据不易直接测量易直接测量, 此时就需要通过测量其它数据后再经过计此时就需要通过测量其它数据后再经过计算得出所需要的数据算得出所需要的数据. 由于测量仪器的精度由于测量仪器的精度, 测量的条测量的条件与方法等诸因素的限制件与方法等诸因素的限制, 测得的数据往往都带有一定测得的数据往往都带有
11、一定的误差的误差, 相应的计算结果也会产生一定的误差相应的计算结果也会产生一定的误差. 这种误这种误差称为差称为间接测量误差间接测量误差. 下面讨论如何利用函数的微分来下面讨论如何利用函数的微分来估计间接测量误差估计间接测量误差. 绝对误差和相对误差绝对误差和相对误差 设某个量的精确值为设某个量的精确值为 其近似值为其近似值为 称称 为为 设某个量的精确值为设某个量的精确值为 测量值为测量值为 若能确定数值若能确定数值使使 则则 称为称为绝对误差限绝对误差限, 而而 叫做叫做 的的相对误差限相对误差限.的的绝对误差绝对误差, 而绝对误差与而绝对误差与 之比称为之比称为 的的相对误差相对误差. 由直接测量值由直接测量值 按公式按公式 计算间接误差值计算间接误差值若已知测量值的相对误差限若已知测量值的相对误差限 则当则当 时时, 相对误差限为相对误差限为的绝对误差限为的绝对误差限为
