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1、概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计冯 群 强Email: Tel: 0551-63600846概率论与数理统计概率论与数理统计 1.1 节节 概率论发展简史概率论发展简史第一章 事件与概率概率论与数理统计概率论与数理统计概率论的起源 1650年前后的法国, 赌博在贵族中风靡一时, 且无法律限制.Pascal与他的另一名好友数学家Pierre Fermat通信讨论该问题, 形成了概率论中一个重要的基本概念数学期望.贵族De Mere在与一名宫廷卫士一次赌博时关于如何分赌本的问题发生了争执, 于是请教他的好友著名的数学家Blaise Pascal.概率论是一门研究随机现象规律的数学分
2、支, 起源于17世纪中叶.概率论与数理统计概率论与数理统计 Pascal Fermat概率论与数理统计概率论与数理统计古典概率论的奠基人 Huygens Christiaan Huygens在1657年写了世界上第一本关于概率论的著作De ratiociniis in ludo aleae (“On Reasoning in Games of Chance”), 中文译名 “论赌博中的计算”.概率论与数理统计概率论与数理统计 Bernoulli1713年, Jacob Bernoulli在著作Ars Conjectandi 中对频率和概率接近这一事实给予了理论上的阐述, 建立了概率论中的第一个
3、大数定律Bernoulli大数律.概率论与数理统计概率论与数理统计 De Moivre1718年, Abraham De Moivre在他的著作The Doctrine of Chances中提出很多计算古典概率的方法, 包括乘法定理等.概率论与数理统计概率论与数理统计 Laplace1812年, Pierre-Simon Laplace在著作Theorie Analytique des Probabilities (“分析概率论”)中最早叙述了概率论的几个基本定理,给出了古典概率的明确定义.概率论与数理统计概率论与数理统计概率论公理体系的建立概率论从此得到了迅速的发展, 被广泛地应用到了不同
4、的范畴和不同的学科. 今天, 概率论已经成为一个非常庞大的数学分支, 在此基础上, 数理统计也得到了迅速的发展.1933年, Andrey Kolmogorov在著作Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnun (“Foundations of the Theory of Probability”) 中正式提出了概率论的公理体系, 从而使得概率论成为一门严谨的数学分支.概率论与数理统计概率论与数理统计Andrey Kolmogorov前苏联人Andrey Kolmogorov(1903-1987)是20世纪最伟大的数学家之一.概率论与数理统计概率论与
5、数理统计11 1.2节节概率论的几个基本概念概率论的几个基本概念第一章 事件与概率概率论与数理统计概率论与数理统计 事件的独立性 全概率公式和Bayes公式 条件概率 概率的定义及性质 事件的运算 随机试验和随机事件概率论与数理统计概率论与数理统计随机现象和随机试验举例说明随机现象和随机试验.随机试验的要求: 结果至少有两个;每次只得到其中一种结果且之前不能预知;在相同条件下能重复试验.随机试验: 随机现象的实现和对它某特征的观测.随机现象:自然界中的客观现象, 当人们预测它时, 所得结果不能预先确定, 而仅仅是多种可能结果之一.概率论与数理统计概率论与数理统计随机事件随机事件常用大写英文字母
6、A, B,C等表示.如果用语言表达,则要用花括号括起来.随机事件: 简称事件, 在随机试验中我们所关心的可能出现的各种结果, 它由一个或若干个基本事件组成.抛硬币3次有8种可能结果, 每种结果都是基本事件.基本事件: 随机试验中的每个单一结果, 它就像原子, 在化学反应中不能再分.概率论与数理统计概率论与数理统计样本空间不可能事件(): 在试验中不可能发生的事件.必然事件(): 在试验中一定会发生的事件.例 考察某一地区的年降雨量,则=x|0x50% 50 97.3% 10099.99996%一些特殊的r例 (生日问题)一个班有r个人,不计2月29日出生的(即假定一年为365天),问至少有两人
7、同一天生日的概率是多少?概率论与数理统计概率论与数理统计 总 结 古典概率的计算要点: 1. 选择合适的样本空间; 2. 运用排列组合的知识.例 盒中有32只红球和4只白球, 现从中任摸2球, 求两球中至少有一个白球的概率. 概率论与数理统计概率论与数理统计什么是条件概率例如两个工厂A和B生产同一品牌的电视机, 商场中该品牌有个统一的次品率, 比如0.5%, 如果你从某个途径知道该商场的这批电视机是A厂生产的, 则你买到的电视机的次品率不再是0.5%, 而应该比0.5%要小, 这个概率就是条件概率, 即你在知道了这批电视机是A厂生 产的附加条件下的概率就是条件概率.一般讲, 条件概率就是在知道
8、了一定的信息下所得到的随机事件的概率.概率论与数理统计概率论与数理统计条件概率的定义概率论与数理统计概率论与数理统计条件概率的计算例 掷两个骰子,观测出现的点数,分别以x和y表示第一和第二颗般子掷出的点数,记 A=(x, y): x + y 9, B=(x, y): xy, 求P(A|B) 和P(B|A).例 有10个产品,内有3个次品,从中一个个地抽取(不放回)检验,问第一次取到次品后第二次再取到次品的概率.概率论与数理统计概率论与数理统计思考题这是著名数学家,信息论的创建者之一A. Weaver设计的,1950年他在科学美国人(Scientific American)上介绍过这个例子.有三
9、张相同的卡片和一顶帽子, 第一张卡片两面都画有圈, 第二张卡片一面画圈, 一面画星, 第三张卡片两面都画星. 现在庄家把卡片放在帽中摇晃, 然后让你任取一张, 把它放在桌上, 设你看到卡片上面的图案为圈, 然后庄家与你打赌下面的图案与上 面一样时算庄家赢, 不一样是为你赢. 请问这样的赌博是否是公平的?概率论与数理统计概率论与数理统计乘法定理概率论与数理统计概率论与数理统计乘法定理的应用例 袋中有一个白球和一个黑球,现每次从中取出一球,若取出白球,则把白球放回且再另加入一个白球,直至取出黑球为止.求取了n次都未取出黑球的概率.例 将n根短绳的2n个端头任意两两连接,求恰好连成n个圈的概率.例
10、某人忘了某饭店电话号码的最后一个数字,因而随意拨号,问他三次之内拨通电话的概率.概率论与数理统计概率论与数理统计样本空间的分割 设B1, B2, Bn是样本空间中的两两不相容的一组事件, 即BiBj =, i j, 且满足 =, 则称B1, B2, , Bn 是样本空间 的一个分割(又称为完备事件群,英文为partition). 概率论与数理统计概率论与数理统计全概率公式概率论与数理统计概率论与数理统计全概率公式的应用例 (Polya罐模型)罐中放有a个白球和b个黑球,每次从罐中随机抽取一个球,并连同c个同色球一起放回罐中,如此反复进行.试求在第n次取球时取出的是白球的概率.例 设某厂产品的一
11、个零部件是由三家上游厂商供货的.已知有一半是A厂提供的,B厂商和C分别提供25%.已知厂商A和B的次品率都是2%,C的次品率为4%,从该厂产品中任取一个产品,问该产品的这个零部件是次品的概率.概率论与数理统计概率论与数理统计Bayes公式什么情况下用Bayes公式? 由公式知,分母就是事件A的概率,而分子和等式左边的条件概率中的条件正好反过来.所以我们知道在因果关系互换时必须用Bayes公式.概率论与数理统计概率论与数理统计Bayes公式的应用想一想: 计算出的结果是否出乎你的意料之外? 这是因为什么原因造成的呢?例 一种诊断某癌症的试剂,经临床试验有如下记录: 有癌症病人阳性的概率为95%,
12、 无癌症病人阴性的概率为95%.现用这种试剂在某社区进行癌症普查,设该社区癌症发病率为0.5%, 问某人反应为阳性时该人患癌症的概率.概率论与数理统计概率论与数理统计事件的独立性 定义 设A, B是随机试验中的两个事件,若满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A和B相互独立. 为了计算两个事件同时发生的概率, 可以运用乘法定理, P(AB)=P(A|B)P(B). 什么情况下 P(AB)=P(A)P(B)? 即A和B同时发生的概率等于两个事件单独发生概率的乘积? 为此我们有如下的定义:概率论与数理统计概率论与数理统计关于独立性的补充说明例如把一个硬币掷两次, 观测正反面出现的情况.事实
13、上, 我们容易判断第一次是否出现正面与第二次是否出现正面没有任何影响, 即独立的. 从而, 由独立性的定义可以推知A与B的补事件也是独立的. 由此我们可以把独立性的概念推广到多个事件的情形.关于独立的概念, 应该是从实际出发, 如果能够判断事件B的发生与否对事件A的发生与否不产生影响, 则事件A和B即为独立.概率论与数理统计概率论与数理统计多个事件的独立性注2 上面等式等价于对A1, A2, , An中的任意k个事 件Ai1 , Ai2 , , Aik , k = 2, , n,有 P(Ai1 Ai2 Aik)=P(Ai1)P(Ai2) P(Aik).定义设A1, A2, An是随机试验中的n
14、个事件, 以B表示A或A的补之一. 若满足 P(B1B2 Bn ) = P(B1)P(B2) P(Bn),则称事件列A1, A2, , An相互独立.注1 上面有2的n次方个等式.注3 独立和不相容是不同的两个概念.概率论与数理统计概率论与数理统计独立性的应用例 在元件可靠性研究中,考虑如下两种电路:其中1-4表示4个继电器, 它们是否开通是相互独立的,设继电器导通的概率为p, (0 p 1), 求两种电路从L到R为通路的概率.概率论与数理统计概率论与数理统计例 n个人独立向同一目标射击,第i个人命中目标的概率为pi, i = 1, 2, , n, 求至少有一人命中目标的概率.例 A, B, C三人独立地破译密码,每人能破译密码的概率分别为1/3, 1/4, 1/5.问密码能被破译的概率有多大?
