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1、上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页1.3 高阶导数与高阶偏导数 一、高阶偏导数的定义 二、求高阶导数与高阶偏导数 三、四、小结1高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页回顾：高阶导数的定义定义记作二阶导数的导数称为三阶导数, ,2高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页三阶导数的导数称为四阶导数, , 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. .3高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页由于函数展开后的最高次幂项为所以例1 已知函数解4高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导
2、数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页纯偏导混合偏导定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .一、高阶偏导数的定义5高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解6高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页原函数图形偏导函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：7高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解问题：混合偏导数都相等吗？8高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解例
3、 49高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页按定义可知：10高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？解11高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页因此所以12高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页例6解1.直接法: :根据定义逐步求高阶( (偏) )导数. .二、求高阶导数与高阶偏导数13高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页莱布尼兹公式2. 高阶导
4、数的运算法则:14高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解例715高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解 例8 16高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页常用高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, , 通过四则运算, ,变量代换等方法, ,求出n阶导数. .3.间接法:17高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解例918高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页解例1019高阶导数与高阶偏导
5、数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页已知函数y=f(x)，则它的微分为 三、高阶微分亦可称为一阶微分； 类似地，二阶微分定义为 记作 20高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页一般的，已知函数y=f(x)，则它的n- -1阶微分为 则n阶微分定义为 记作 由此可得 21高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页注 (1)(2) 求 n 阶微分实质上就是求 n 阶导数.解 22高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页(3) 求高阶微分时：若 x 是自变
6、量，则由于 dx 是不依赖于x 的任意的数，故关于 x 微分时，必须视 dx为常数因子.若 x 不是自变量，而是某一变量的函数，如23高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页而 x 是自变量时，有结论：高阶微分不具有形式不变性. 24高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页再求二阶微分, 可得 由此可见，上述两种结果并不相等. 25高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页一般来说，求复合函数的高阶微分，以逐阶求之为宜.解 故 26高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页
7、上一页下一页下一页返回首页返回首页注 上例的分析过程表明，求复合函数的高阶微分，也可先把中间变量消去后，再求高阶导数可得 27高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页1、高阶偏导数的定义; ;2、高阶导数的运算法则( (莱布尼兹公式););3、 n阶导数的求法; ;(1) 直接法; ;(2) 间接法. .4、高阶微分不具有形式不变性.四、小结28高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页思考题： 证明函数满足拉普拉斯方程证 29高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页利用对称性 ,有所以30高阶导数与高阶偏导数高阶导数与高阶偏导数
