第30讲圆的有关概念及性质

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1、宇轩图书宇轩图书目目 录录第30讲圆的有关概念及性质考点知识精讲中考典例精析第八章圆考点训练举一反三考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点一考点一 圆的定义及其性质圆的定义及其性质1 1圆的定义有两种方式圆的定义有两种方式(1)(1)在一个平面内在一个平面内, ,线段线段OAOA绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O O旋转一周旋转一周, ,另一个端点另一个端点A A随之旋转所形成的图形叫做圆随之旋转所形成的图形叫做圆. .固定的端点叫固定的端点叫 , ,线段线段OAOA叫做叫做 . .(2)(2)圆是到定点的距离等于定长的点的圆是到定点的距离等于定长的点的_._.

2、2 2圆的对称性圆的对称性(1)(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴(2)(2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形圆是以圆心为对称中心的中心对称图形(3)(3)圆是旋转对称图形圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形圆是旋转对称图形圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合，这就是圆的重合，这就是圆的 圆心圆心半径半径集合集合旋转不变性旋转不变性考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点二考点二 垂径定理及推论垂径定理及推论1 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条垂径定理：垂直于弦

3、的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧弧2 2推论推论1 1：平分弦：平分弦( (不是直径不是直径) )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧温馨提示：温馨提示：1.1.注意平分弦的直径不一定垂直于弦注意平分弦的直径不一定垂直于弦. .2.2.等弧指能完全重合的弧，其度数一定相同，但度数相同的弧不一定等弧指能完全重合的弧，其度数一定相

4、同，但度数相同的弧不一定是等弧是等弧. .考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页3.3.过圆心；过圆心；平分弦；平分弦；垂直于弦；垂直于弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的优弧；平分平分弦所对的劣弧弦所对的劣弧. .若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项，若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项，其中由其中由、得得、时，被平分的弦不是直径时，被平分的弦不是直径. .考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点三考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1 1定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等

5、，所对的弦定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等相等，所对弦的弦心距相等2 2推论：同圆或等圆中：推论：同圆或等圆中：(1)(1)两个圆心角相等；两个圆心角相等；(2)(2)两条弧相等；两条弧相等；(3)(3)两条弦相等；两条弦相等；(4)(4)两条弦的弦心距相等四项中有一项成立，则其余对应两条弦的弦心距相等四项中有一项成立，则其余对应的三项都成立的三项都成立考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点四考点四 圆心角与圆周角圆心角与圆周角1 1定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆定义：顶点在圆心上的角叫圆心角

6、；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角都相交的角叫圆周角2 2性质性质(1)(1)圆心角的度数等于它所对弧的度数；圆心角的度数等于它所对弧的度数；(2)(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的 ；(3)(3)同弧或等弧所对的圆周角同弧或等弧所对的圆周角 同圆或等圆中相等的圆周角所同圆或等圆中相等的圆周角所对的对的_相等；相等；(4)(4)半圆半圆( (或直径或直径) )所对的圆周角是所对的圆周角是 ，9090的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是直径直径度数的一半度数的一半相等相等直角直角弧弧考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下

7、一页首首 页页温馨提示：温馨提示：1.1.圆周角定理是把圆周角和圆心角这两类不同的角联系在一起圆周角定理是把圆周角和圆心角这两类不同的角联系在一起. .2.2.同一条弧所对的圆周角相等；同一条弦所对的圆周角相等或互补同一条弧所对的圆周角相等；同一条弦所对的圆周角相等或互补. .3.3.半圆所对的圆周角是半圆所对的圆周角是9090,90,90的圆周角所对的弧是半圆的圆周角所对的弧是半圆. .4.4.已知条件中如果有直径时，常常作直径所对的圆周角，这是圆中常已知条件中如果有直径时，常常作直径所对的圆周角，这是圆中常添加的辅助线添加的辅助线. .考点知识精讲宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首

8、首 页页考点五考点五 圆的性质的应用圆的性质的应用1 1垂径定理的应用垂径定理的应用2 2圆心角、圆周角性质的应用圆心角、圆周角性质的应用3 3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的应用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的应用温馨提示：温馨提示：借助同弧、等弧所对圆周角相等，所对圆心角相等，进行角的等量代借助同弧、等弧所对圆周角相等，所对圆心角相等，进行角的等量代换；也可在同圆或等圆中，由相等的圆周角所对的弧相等，进行弧（或弦）换；也可在同圆或等圆中，由相等的圆周角所对的弧相等，进行弧（或弦）的等量代换的等量代换. .中考典例精析宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页 (1)(2

9、011 (1)(2011重庆重庆) )如图，如图，O O是是ABCABC的外接圆，的外接圆，OCBOCB4040，则，则A A的度数等于的度数等于( () ) A A6060B B5050C C4040D D3030(2)(2)（20112011哈尔滨）如图，哈尔滨）如图，BCBC是是O O的弦，圆周角的弦，圆周角BACBAC5050，则，则OCBOCB的度数是的度数是_度度(3) (3) （20112011青岛）如图所示，已知青岛）如图所示，已知ABAB是是O O的弦，的弦，半径半径OAOA6 cm6 cm，AOBAOB120120，则，则ABAB_cm._cm.中考典例精析宇轩图书宇轩图书

10、上一页上一页下一页下一页首首 页页【点拨点拨】本组题主要考查圆的有关基本知识，掌握有关性质和定理是本组题主要考查圆的有关基本知识，掌握有关性质和定理是做好此类题的关键做好此类题的关键中考典例精析宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页中考典例精析宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页 (2011 (2011温州温州) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，弦的直径，弦CDABCDAB于点于点E E，过点，过点B B作作O O的切线，交的切线，交ACAC的延长线于点的延长线于点F.F.已知已知OAOA3 3，AEAE2.2.(1)(1)求求CDCD的长；的长；(2)(2)

11、求求BFBF的长的长【点拨点拨】(1)(1)连半径构造直角三角形是应用垂径定理求线段长常用的连半径构造直角三角形是应用垂径定理求线段长常用的方法方法;(2);(2)利用相似三角形对应边成比例列出比例式利用相似三角形对应边成比例列出比例式, ,利用比例可求出线段利用比例可求出线段的长的长. .举一反三宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1 1已知：已知：O O的半径为的半径为13 cm13 cm，弦，弦ABCDABCD，ABAB24 cm24 cm，CDCD10 cm10 cm，则则ABAB、CDCD之间的距离为之间的距离为( () )A A17 cm B17 cm B7 cm7

12、cmC C12 cm D12 cm D17 cm17 cm或或7 cm7 cm答案：答案：D D2 2如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，ACAC是弦，若是弦，若ACOACO3232，则则COBCOB的度数等于的度数等于 . .答案：答案：B B6464举一反三宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页答案：答案：(1) BAC60(2)O的周的周长为4 cm考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页圆的有关概念及性质圆的有关概念及性质训练时间：训练时间：6060分钟分钟 分值：分值：100100分分考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页一

13、、选择题一、选择题( (每小题每小题4 4分，共分，共4848分分) )1 1(2010(2010中考变式题中考变式题) )如图，如图，O O中，弦中，弦ABAB、CDCD相交于点相交于点P P，若，若A A3030，APDAPD7070，则，则B B等于等于( () )A A3030 B B3535C C4040 D D5050【解析解析】APDAPDA AC C，C CAPDAPDA A707030304040，B BC C4040. .【答案答案】C C考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页2 2(2010(2010中考变式题中考变式题) )将量角器按如图所示的方式放

14、置在三角形纸板将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点上，使点C C在半圆上点在半圆上点A A、B B的读数分别为的读数分别为8686、3030，则，则ACBACB的大小为的大小为( ( ) )A A1515 B B2828 C C2929 D D3434【答案答案】B B考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页3 3(2012(2012中考预测题中考预测题) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，CDCD是是O O的切线，的切线，C C为切为切点，点，B B2525，则，则D D等于等于( () )A A2525 B B4040 C C3030 D D50

15、50【解析解析】连接连接OCOC，D D9090CODCOD90902 2B B90902 225254040. .【答案答案】B B考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页4 4(2011(2011兰州兰州) )如图，如图，O O过点过点B B、C C，圆心，圆心O O在等腰在等腰RtRtABCABC的内部，的内部，BACBAC9090，OAOA1 1，BCBC6 6，则，则O O的半径为的半径为( () )考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【答案答案】C考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下

16、一页下一页首首 页页【答案答案】A考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页6 6(2012(2012中考预测题中考预测题) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，CDCD为弦，为弦，CDCDABAB于于E E，则下列结论中不成立的是，则下列结论中不成立的是( () )A ACOECOEDOBDOBB BCECEDEDEC COEOEBEBE【解析解析】由垂径定理易知由垂径定理易知OEOEBEBE不成立不成立【答案答案】C C考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页7 7(2012(2012中考预测题中考预测题) )如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形如

17、图，某公园的一座石拱桥是圆弧形( (劣弧劣弧) )，其跨度其跨度ABAB为为2424米，拱的半径为米，拱的半径为1313米，则拱高米，则拱高CDCD为为( () )【答案答案】B B考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页8 8(2010(2010中考变式题中考变式题) )如图所示，在如图所示，在O O内有折线内有折线OABCOABC，其中，其中OAOA8 8，ABAB1212，A AB B6060，则，则BCBC的长为的长为( () )A A19 19 B B16 16 C C18 18 D D2020考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【答案答案】D

18、考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页9 9(2010(2010中考变式题中考变式题) )如图，正三角形的内切圆半径为如图，正三角形的内切圆半径为1 1，那么这个正，那么这个正三角形的边长为三角形的边长为( () )【答案答案】D D考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1010(2011(2011海南海南) )如图，在以如图，在以ABAB为直径的半圆为直径的半圆O O中，中，C C是它的中点，若是它的中点，若ACAC2 2，则，则ABCABC的面积是的面积是( () )A A1.51.5B B2 2C C3 3 D D4 4【答案答案】B B考点训练宇

19、轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1111(2012(2012中考预测题中考预测题) )如图，在如图，在5 55 5的正方形网格中，一条圆弧经过的正方形网格中，一条圆弧经过A A、B B、C C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( () )A A点点P P B B点点Q QC C点点R R D D点点M M【答案答案】B B考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1212(2010(2010中考变式题中考变式题) )用一把带有刻度的直角尺，用一把带有刻度的直角尺，(1)(1)可以画出两可以画出两条平行的直线条平行的直线a a与与b

20、b，如图，如图；(2)(2)可以画出可以画出AOBAOB的平分线的平分线OPOP，如图，如图；(3)(3)可以检验工作的凹面是否为半圆，如图可以检验工作的凹面是否为半圆，如图；(4)(4)可以量出一个圆的半可以量出一个圆的半径，如图径，如图. .上述四种说法中，正确的个数是上述四种说法中，正确的个数是( () )考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页A A1 1个个 B B2 2个个C C3 3个个 D D4 4个个【解析解析】这四种说法都是正确的这四种说法都是正确的【答案答案】D D考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页二、填空题二、填空题( (每小题

21、每小题4 4分，共分，共1616分分) )1313(2011(2011扬州扬州) )如图，如图，O O的弦的弦CDCD与直径与直径ABAB相交，若相交，若BADBAD5050，则则C C_._.【解析解析】由由ABAB是是O O的直径得的直径得ADBADB9090，B B909050504040，C CB B4040. .【答案答案】4040考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1414(2010(2010中考变式题中考变式题) )如图，在如图，在ABCABC中，中，ABAB是是O O的直径，的直径，B B6060，C C7070，则，则BODBOD的度数是的度数是_【解析

22、解析】B B6060，C C7070，A A5050，DOBDOB2 2A A2 25050100100. .【答案答案】100100考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1515(2011(2011兰州兰州) )如图，如图，OBOB是是O O的半径，点的半径，点C C、D D在在O O上，上，DCBDCB2727，则，则OBDOBD_度度【答案答案】6363考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1616(2011(2011天津天津) )如图，如图，ADAD、ACAC分别是分别是O O的直径和弦，且的直径和弦，且CADCAD3030，OBOBADAD，交

23、，交ACAC于点于点B B，若，若OBOB5 5，则，则BCBC的长等于的长等于_考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页【答案答案】5考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页三、解答题三、解答题( (共共3636分分) )17. (1217. (12分分)(2011)(2011佛山佛山) )如图，已知如图，已知ABAB是是O O的弦，半径的弦，半径OAOA20 cm20 cm，AOBAOB120120，求，求AOBAOB的面积的面积考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页18. (

24、1218. (12分分)(2012)(2012中考预测题中考预测题) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，CDCDABAB于点于点E E，交交O O于点于点D D，OFOFACAC于点于点F F. .(1)(1)请写出三条与请写出三条与BCBC有关的正确结论；有关的正确结论；(2)(2)当当D D3030，BCBC1 1时，求圆中阴影部分的面积时，求圆中阴影部分的面积考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页1919(12(12分分)(2011)(2011上海上海) )如图，点如图，点C C、D D分别在扇形

25、分别在扇形AOBAOB的半径的半径OAOA、OBOB的延长线上，且的延长线上，且OAOA3 3，ACAC2 2，CDCD平行于平行于ABAB，并与弧，并与弧ABAB相交于点相交于点M M、N N. .(1)(1)求线段求线段ODOD的长；的长；【答案答案】解：解：(1)(1)ABABCDCD，OABOABC C，OBAOBAD D. .又又OAOAOBOB，OABOABOBAOBA，C CD D. .ODODOCOCOAOAACAC3 32 25.5.考点训练宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首 页页(2)(2)过点过点O O作作OEOEMNMN，垂足为，垂足为E E，并连接，并连接OMOM. .