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1、4. 6 基本积分法 : 分项积分法 ;换元积分法 ; 分部积分法 初等函数求导初等函数积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 6. 1 有理函数的积分有理函数的积分4. 6. 2 可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分有理函数的积分 第4章 4. 6. 1 有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式；时,为真分式。有理函数相除多项式 + 真分式分解其中部分分式的形式为：若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理（定理（部分分式分解定理）第三节 目录 上页 下页 返回 结束 设（其中：）其中：都是常数。则例例1. 将下列真分式分解为部分分式 :解解:(1) 拼凑法
2、：机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 赋值法：故机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 混合法：机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 =(4) 待定系数法：机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 =比较同次顶系数得：四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 变分子为 再分项积分 例例2. 求解解: 已知例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解解: 原式思考思考: 如何求机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示: 变形方法同例3, 并利用 前面所讲的递推公式计算。 例例4. 计算计算解解:机动 目录 上页 下页 返回
3、 结束 说明说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但并不因此，要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法。一定简便， 例例5. 求求解解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 常规 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求求解解: 原式注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁4. 6. 2 可化为有理函数的积分可化为有理函数的积分形如：称为三角函数有理式的积分。则可分别作变量替换：（万能代换）机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分）若）若）其它任何形式，都可作变量替换：则可作变量替换：上述各变换都可将三角函数有理式的积分转化为
4、变量 t 的有理函数的积分；或或例例7. 计算解解: 说明说明: 属于）,故作变量替换：的偶函数，的积分，机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然被积函数是关于例例8. 求解法解法 1 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求求解法解法 2 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求求解解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 则令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 求求解解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化
5、为有理函数的积分. 例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 令例例11. 求解解: 令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 求解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,则有原式令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 求解解: 令则原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便 , 思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便 ?解解: 1.2. 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21第五节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.求不定积分解：解： 令则, 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.2.求不定积分解：解：原式 =前式令; 后式配元机动 目录 上页 下页 返回 结束
