《高数同济110闭区间上连续函数的性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数同济110闭区间上连续函数的性质（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一、有界性与最大值最小值定理v最大值与最小值最大值与最小值 函函数数f(x)在在区区间间I上上有有定定义义 如如果果有有x0 I 使使得得 x I都都有有f(x) f(x0) (f(x) f(x0) 则称则称f(x0)是函数是函数f(x)在区间在区间I上的最大值上的最大值(最小值最小值) 最大值与最小值举例: 函数 f(x)=1+sinx在区间0 2p上，有最大值 2 和最小值 0 下页1 函数函数y= =sgn x 在区间在区间(- - + + )内，内，下页下页最大值与最小值举例最大值与最小值举例:一、有界性与最大值最小值定理一、有界性与最大值最小值定理v最大值与最小值最大值与最小值 函函
2、数数f(x)在在区区间间I上上有有定定义义 如如果果有有x0 I 使使得得 x I都都有有f(x) f(x0) (f(x) f(x0) 则称则称f(x0)是函数是函数f(x)在区间在区间I上的最大值上的最大值(最小值最小值) 2例如例如,无最大值和最小值无最大值和最小值 也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如, 并非任何函数都有最大值和最小值并非任何函数都有最大值和最小值 应注意的问题应注意的问题:3说明说明: :v定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数在在该该区区间间上上一一定定能能取取得得它它的的最大值和最小值最大值和最小值
3、 下页下页又又至少有一点至少有一点x x2 a b 使使f(x x2)是是f(x)在在a b上的最小值上的最小值 至少有一点至少有一点x x1 a b 使使f(x x1)是是f(x)在在a b上的最大值上的最大值 定理说明定理说明 如果函数如果函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 那么那么闭区间闭区间a, b上的连续上的连续函数函数 f(x)也记作也记作4应注意的问题应注意的问题: 1. 如果函数仅在如果函数仅在开区间开区间内连续内连续 2. 或函数或函数在闭区间上有间断点在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 下页下
4、页v定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数在在该该区区间间上上一一定定能能取取得得它它的的最最大大值和最小值值和最小值 5v定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 证明证明 设设 f(x) Ca b 由定理由定理1 M和和m 使使 x a b满足满足m f(x) M 故故 f(x)在在a b上有上界上有上界M和下界和下界m 因此函数因此函数f(x)在在a b上有界上有界 首页首页v定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) 在在闭闭区区间间上上
5、连连续续的的函函数数在在该该区区间间上上一一定定能能取取得得它它的的最大值和最小值最大值和最小值 6二、零点定理与介值定理注: 1. 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点 2.下页v定理定理3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a)与与f(b)异号异号 那么在开区间那么在开区间(a b)内内至少一点至少一点x x 使使f(x x)= =0 几何解释7 例例1 1 证证明明方方程程x3- -4x2+ +1= =0在在区区间间(0 1)内内至至少少有有一一个个根根 证明证明 设设 f(x)= =x3- -4x2+ +1 则
6、则 f(x) C0 1 并且并且 f(0)= =10 f(1)=-=-20 根据根据零点定理零点定理 在在(0 1)内至少内至少 x x 使得使得 f(x x)= =0 即即 x x 3- -4x x 2+ +1= =0 这这说说明明方方程程x3- -4x2+ +1= =0在在区区间间(0 1)内内至至少少有有一一个个根根是是x x 下页二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理v定理定理3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a)与与f(b)异号异号 那么在开区间那么在开区间(a b)内内至少一点至少一点x x 使使f(x x)= =
7、0 8v定理定理4(4(介值定理介值定理) ) 设函数设函数 f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a) f(b) 那么那么 对于对于f(a)与与f(b)之间的之间的任意一个数任意一个数C 在开区间在开区间(a b)内至少有一点内至少有一点x x 使得使得f(x x)= =C 下页下页二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理v定理定理3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a)与与f(b)异号异号 那么在开区间那么在开区间(a b)内内至少一点至少一点x x 使使f(x x)= =0 几何解释几何解释: : 连连续曲线弧
8、续曲线弧y=f(x)与水平直线与水平直线y=C至少有一个交点至少有一个交点9返回 根据根据零点定理零点定理 在开区间在开区间(a b)内至少有一点内至少有一点x x 使得使得v定理定理4(4(介值定理介值定理) ) 设函数设函数 f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a) f(b) 那么那么 对于对于f(a)与与f(b)之间的之间的任意一个数任意一个数C 在开区间在开区间(a b)内至少有一点内至少有一点x x 使得使得f(x x)= =C 因此因此 f(x x)= =C j j(x x)= =0 即即f(x x)- -C= =0 因为因为f(a)f(b)， 设设j j(x)=
9、=f(x)- -C 则则j j(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 证明证明 所以所以j j(a)= =f(a)- -C与与j j(b)= =f(b)- -C异号异号 10二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理v定理定理3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a)与与f(b)异号异号 那那么在开区间么在开区间(a b)内内至少一点至少一点x x 使使f(x x)= =0 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值 v定理定理4(4(介值定理介值定理) ) 设函数设函数 f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 且且f(a) f(b) 那么那么 对于对于f(a)与与f(b)之间的之间的任意一个数任意一个数C 在开区间在开区间(a b)内至内至少有一点少有一点x x 使得使得f(x x)= =C 结束结束11例例2 2证证由零点定理由零点定理,12例2. 设 f(x) 在a, b上连续 , 且恒为正 ,证明:必必使使令令, 则则使使故由零点定理知故由零点定理知 , 存在存在即即当当时时, 取取或或, 则有则有证证13思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数14
