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1、Quantum MechanicsQuantum Mechanics量子力学总结量子力学总结一、量子力学的基本思想和基本原理一、量子力学的基本思想和基本原理（1 1）物质的运动伴随物质波，物质波波长可由下式求出：）物质的运动伴随物质波，物质波波长可由下式求出：1、量子力学基本思想、量子力学基本思想对于非相对论粒子：对于非相对论粒子：如自由粒子：如自由粒子：Quantum MechanicsQuantum Mechanics对于相对论粒子：对于相对论粒子：如光子：如光子：Quantum MechanicsQuantum Mechanics（2 2）物体的运动具有不确定度，任何两个共轭物理量均有）
2、物体的运动具有不确定度，任何两个共轭物理量均有不确定度存在，即不可能不确定度存在，即不可能同时同时精确测量两个精确测量两个共轭物理量共轭物理量。对于任一物理量：对于任一物理量：对于对于 ：Quantum MechanicsQuantum Mechanics2、量子力学基本原理：、量子力学基本原理：（1 1）状态）状态数学上用波函数描述，波函数是数学上用波函数描述，波函数是 的函数，的函数，是希尔伯特空间中的矢量。是希尔伯特空间中的矢量。波函数满足标准化条件：波函数满足标准化条件：单值单值、连续连续、有限有限（或（或平方可积平方可积）。）。波函数波函数|(x,t)|2才有物理意义，解释为才有物理
3、意义，解释为概率密度概率密度。在在t时刻，在时刻，在x-x+dx区域发现粒子的概率：区域发现粒子的概率：dp=|(x,t)|2 dx波函数满足的两个条件：波函数满足的两个条件： / 连续连续归一化条件：归一化条件：|2 d=1Quantum MechanicsQuantum Mechanics（2 2）物理量用厄米算符表示）物理量用厄米算符表示，对体系物理量的测量，体现在，对体系物理量的测量，体现在厄米算符对波函数的作用，说明了量子力学理论厄米算符对波函数的作用，说明了量子力学理论包括了测量包括了测量对体系的影响对体系的影响。一般经典力学量是坐标和动量的函数，这类力学量对应的一般经典力学量是坐
4、标和动量的函数，这类力学量对应的算符可直接将函数中的坐标和动量换为相应的算符即可得到。算符可直接将函数中的坐标和动量换为相应的算符即可得到。对于不是的经典力学量，如自旋、宇称等，量子力学中重对于不是的经典力学量，如自旋、宇称等，量子力学中重新给出定义。新给出定义。一般算符可以展开为动量和坐标的级数形式：一般算符可以展开为动量和坐标的级数形式：Quantum MechanicsQuantum Mechanics常见力学量算符：常见力学量算符：在直角坐标系中：在直角坐标系中：在球坐标系中：在球坐标系中：Quantum MechanicsQuantum Mechanics厄米算符及性质厄米算符及性质
5、定义定义因为因为性质性质算符时指：算符时指：含义：含义：矩阵时指：矩阵时指：Quantum MechanicsQuantum Mechanics本征值为一些实数，本征值为一些实数，也是体系中测量这些力学量得也是体系中测量这些力学量得到的测量值到的测量值计算的常用基本公式计算的常用基本公式Quantum MechanicsQuantum Mechanics 如果一体系有一组算符完备组，则任何一个算符如果一体系有一组算符完备组，则任何一个算符都可以该组算符展开。都可以该组算符展开。（3 3）力学量的测量）力学量的测量测力学量测力学量A A时，将状态函数以时，将状态函数以A A本征函数展开本征函数展
6、开状态状态函数函数本征本征函数函数出现塌缩出现塌缩出现力学量出现力学量可能测量值可能测量值每个值以一定每个值以一定的概率出现的概率出现c cn n 的平方是出现第的平方是出现第n n个本征值的概率个本征值的概率Quantum MechanicsQuantum Mechanics矩阵表示力学量平均值力学量平均值对于归一的波函数此项为一。对于归一的波函数此项为一。Quantum MechanicsQuantum Mechanics矩阵表示Quantum MechanicsQuantum Mechanics解存在的条件解存在的条件久期方程久期方程给出给出 ，一般是多值。，一般是多值。对应不同本征值
7、代入本征方程中，在考虑归一化条件，就可得到本征函数 属于不同本征值的本征函数彼此正交。 可计算的类型题：可计算的类型题：Quantum MechanicsQuantum Mechanics、计算平均值和不确定度、计算平均值和不确定度、计算本征值和本征函数、计算本征值和本征函数、计算本征值出现的概率，或塌缩到本征态的概率、计算本征值出现的概率，或塌缩到本征态的概率(4) (4) 状态的演化状态的演化SchrSchrdingerdinger方程方程 当哈密顿量不显含时间时，即势能不是时间函数时，当哈密顿量不显含时间时，即势能不是时间函数时，体系的状态为定态体系的状态为定态Quantum Mecha
8、nicsQuantum Mechanics定态方程定态方程对所有表象对所有表象都成立。都成立。a、空间概率密度和概率流密度不随时间改变。、空间概率密度和概率流密度不随时间改变。b、测量系统能量总是有确定值。、测量系统能量总是有确定值。 在定态状态时在定态状态时 方程中常带有本征值问题，通过边界条件，可以确定出本方程中常带有本征值问题，通过边界条件，可以确定出本征值征值 能计算的问题能计算的问题Quantum MechanicsQuantum Mechanics、无限深势阱问题。、无限深势阱问题。、已知初始时刻波函数，求任意时刻波函数问题。、已知初始时刻波函数，求任意时刻波函数问题。、中心力场问
9、题。、中心力场问题。、谐振子问题。、谐振子问题。（5 5）全同粒子状态的描述）全同粒子状态的描述全同粒子波函数为对称化函数全同粒子波函数为对称化函数.费米子：为反对称波函数，粒子交换一次位置，改变符号。费米子：为反对称波函数，粒子交换一次位置，改变符号。玻色子：为对称波函数，粒子交换一次位置，不改变符号。玻色子：为对称波函数，粒子交换一次位置，不改变符号。Quantum MechanicsQuantum Mechanics费米子：费米子：玻色子：玻色子：2 2个费米子个费米子Quantum MechanicsQuantum Mechanics2 2个玻色子个玻色子位形和自旋直积空间位形和自旋直
10、积空间波函数波函数=位形空间波函数位形空间波函数自旋空间波函数自旋空间波函数它们各自单独归一它们各自单独归一Quantum MechanicsQuantum Mechanics、计算平均值和不确定度、计算平均值和不确定度3.14 3.14 证明在证明在 的本征态下的本征态下，证明证明证明：证明：假设假设 是是 的本征态，相应的本征值的本征态，相应的本征值是是 ，因为因为则：则：Quantum MechanicsQuantum Mechanics类似可以利用类似可以利用 可得可得 是是 及及 的本征函数，即的本征函数，即3.153.15设粒子处于设粒子处于 状态下，求状态下，求 和和按3.14题
11、 ，则有： 其次证明其次证明 ，利用，利用解解Quantum MechanicsQuantum Mechanics所以所以再利用再利用 ，可得，可得所以所以Quantum MechanicsQuantum Mechanics8.3 8.3 在在 本征态本征态 下，求下，求解解 因为因为而而所以所以类似有类似有所以所以Quantum MechanicsQuantum Mechanics、计算本征值和本征函数、计算本征值和本征函数a、函数形式的本征方程、函数形式的本征方程-连续表象中的表示连续表象中的表示b、矩阵形式的本征方程、矩阵形式的本征方程-分离表象中的表示分离表象中的表示如如 x, p x
12、, p表象表象如如 其它算符表象其它算符表象c、常见表象的本征方程、常见表象的本征方程如如 能量、动量、角动量、坐标表象能量、动量、角动量、坐标表象（1）（张）（张p82 3-18） 质量为质量为m的粒子处于谐振子势的粒子处于谐振子势 的基态。的基态。（1）如弹性系数增大一倍，及势场突然变为）如弹性系数增大一倍，及势场突然变为 ， 随即测量粒子的能量，求粒子处于势场基态的概率随即测量粒子的能量，求粒子处于势场基态的概率（2）势场由）势场由 突变为突变为 后不进行测量，经过一段时间后不进行测量，经过一段时间 后，后，让势场重新恢复成让势场重新恢复成 ，问，问 取什么值时，粒子正好恢复到原取什么值
13、时，粒子正好恢复到原来势场来势场 的基态（概率的基态（概率100%）？）？解（解（1）初始时，谐振子的基态波函数）初始时，谐振子的基态波函数势场改变后粒子的基态波函数为势场改变后粒子的基态波函数为、计算本征值和本征函数、计算本征值和本征函数这里这里势场改变后，谐振子的波函数不变，仍为势场改变后，谐振子的波函数不变，仍为 ，所以在此波函，所以在此波函数中找到数中找到 的概率幅为的概率幅为所以概率为所以概率为（2）设）设t=0的时刻，的时刻，Hamilton量为量为H，势突变后的，势突变后的Hamilton量为量为 分别是分别是 的本征态，相应的本征值为的本征态，相应的本征值为将将 用用 的本征函
14、数族的本征函数族 展开，展开，随时间演化随时间演化经过时间经过时间 后，粒子又变成后，粒子又变成 ，则要求，则要求t=0时，谐振子的基态为偶宇称态，势场始终保持宇称态，所时，谐振子的基态为偶宇称态，势场始终保持宇称态，所以，以，n只能取偶数，取只能取偶数，取n=2k，于是有，于是有为了使此式每一个为了使此式每一个k都满足，都满足， 必须是必须是 的整数倍，的整数倍， 即即 所以所以（2）（张）（张p108 4-13）设设 ，求粒子的能量本征值，求粒子的能量本征值取守恒量完全集为取守恒量完全集为 其共同本征函数为其共同本征函数为 满足径向方程满足径向方程令令方程化为方程化为相当于氢原子的径向方程
15、相当于氢原子的径向方程 换成换成 ， 换成换成 ，上式只有，上式只有在在 为正整数，且为正整数，且 取正根时有解，有氢原取正根时有解，有氢原 子的能级子的能级得到本题的解得到本题的解（3）（张）（张p44 2-5）证明对于一组波包，有证明对于一组波包，有由题设由题设 考虑到考虑到 有有（4）（曾）（曾p95 4-2）设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态设体系有两个粒子，每个粒子可处于三个单粒子态 中的任何一个态。试求体系可能态的数目，分三种情况讨中的任何一个态。试求体系可能态的数目，分三种情况讨论论（a）两个全同）两个全同Bose子；（子；（b）两个全同）两个全同Fermi子；子；（c
16、）两个不同粒子）两个不同粒子Bose子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的，子体系的量子态对于两个粒子的交换必须是对称的，Fermi体系则是反对称的，经典粒子被认为是可区分的，没有对体系则是反对称的，经典粒子被认为是可区分的，没有对称性的限制称性的限制当两个粒子处于相同的单粒子态时体系的状态当然必是交换对当两个粒子处于相同的单粒子态时体系的状态当然必是交换对称的，这种状态只能出现在称的，这种状态只能出现在Bose子体系和经典粒子体系，体系子体系和经典粒子体系，体系的波函数的方式为的波函数的方式为当两个粒子处于不同的粒子态（当两个粒子处于不同的粒子态（ 和和 ）是，如果是）是，如果是经典粒
17、子，有两种体系态经典粒子，有两种体系态由单粒子态由单粒子态 和和 可以构成对称和反对称的体系态各一种，可以构成对称和反对称的体系态各一种，即即对称适合对称适合Bose子体系，反对称适合子体系，反对称适合Fermi体系。体系。对于两粒子体系来说，对于两粒子体系来说，Bose子体系的可能态总数与子体系的可能态总数与Fermi子体子体系的可能态之和，显然，正好等于经典粒子体系的可能态总数，系的可能态之和，显然，正好等于经典粒子体系的可能态总数，如可能的单粒子态为如可能的单粒子态为k个，这三种两粒子体系的可能态函数目个，这三种两粒子体系的可能态函数目如下如下经典粒子经典粒子Fermi子子Bose子子本
18、题本题k=3 ，Fermi子、子、Bose子、经典粒子的可能态数目分子、经典粒子的可能态数目分别为别为3、6、9Bose子体系态有子体系态有Fermi子体系有三种子体系有三种当全同粒子的体系粒子数目超过两个时，一般说来，对于粒子当全同粒子的体系粒子数目超过两个时，一般说来，对于粒子的交换完全对称的状态与完全反对称的状态数目之和总是小于的交换完全对称的状态与完全反对称的状态数目之和总是小于没有对称性限制的体系状态总数，亦即后者除了完全对称与反没有对称性限制的体系状态总数，亦即后者除了完全对称与反对称态，还有一些没有对称性或只有混杂对称性的状态。对称态，还有一些没有对称性或只有混杂对称性的状态。（
19、5）（曾）（曾p193 10-1）10.1 设非简谐振子的设非简谐振子的Hamilton量表示为量表示为 为实数为实数用微扰论求其能量本征值（准确到二级近似）和本征函数用微扰论求其能量本征值（准确到二级近似）和本征函数（准确到二级近似）（准确到二级近似）能量的本征值和归一化的本征态（无简并）为能量的本征值和归一化的本征态（无简并）为利用利用Hermite多项式多项式 的递推关系的递推关系得得对于非简并态的微扰论，能量的一级修正为对于非简并态的微扰论，能量的一级修正为0，因为，因为能量的二级修正为能量的二级修正为由式（由式（6）可知，只当）可知，只当m取（取（n-3），（），（n-1），（），（
20、n+1），），（n+3）才有贡献，即）才有贡献，即由此可得由此可得在准确到二级近似下体系能量值为在准确到二级近似下体系能量值为在准确到一级近似下，能量本征函数为在准确到一级近似下，能量本征函数为（6）（曾）（曾p162 8-8）8.8 由两个非全同粒子（自旋均为由两个非全同粒子（自旋均为 ）组成的体系，设粒子间的相互作用为）组成的体系，设粒子间的相互作用为 （不考虑轨道运动）。设初始时刻（不考虑轨道运动）。设初始时刻（t=0）粒子）粒子1自旋自旋”向上向上“粒子粒子2自旋自旋”向下向下“ 求时刻求时刻t(0)时，（时，（a）粒子）粒子1自旋向上的概率；自旋向上的概率；（b）粒子）粒子1和和2自
21、旋均向上的概率；（自旋均向上的概率；（c）总自旋）总自旋S=0和和1的概率；（的概率；（d）求）求 和和 的平均值。的平均值。从求体系的自旋波函数入手，由于从求体系的自旋波函数入手，由于得到总自旋得到总自旋 是守恒量，所以定态波函数可以选择为是守恒量，所以定态波函数可以选择为 的的共同本征函数，按照总自旋量子数共同本征函数，按照总自旋量子数S的不同取值，本征函数和的不同取值，本征函数和能级为能级为t=0时，体系的自旋为时，体系的自旋为因此，因此，t0时，体系的波函数为时，体系的波函数为即即（a）由（）由（5）式知道，在时刻）式知道，在时刻t，粒子，粒子1自旋向上，同时粒子自自旋向上，同时粒子自
22、旋向下的概率为旋向下的概率为（b）粒子）粒子1和和2自旋均向上的的概率为自旋均向上的的概率为0，因为，因为 为守恒量，为守恒量，而体系的初态而体系的初态 ，所以任何时刻，所以任何时刻 必为必为0，不可能均向上，不可能均向上（c）由式（）由式（4）式可知，总自旋量子数取）式可知，总自旋量子数取1和和0的概率相等，各的概率相等，各为为1/2,概率不随时间改变概率不随时间改变（d）利用（）利用（5）式，容易算出）式，容易算出 和和 的平均值的平均值（7）（曾）（曾p162 8-10）8.10 两个全同粒子处于一维谐振子两个全同粒子处于一维谐振子 中，中，分别下列几种情况，求此二粒子体系的最低三条能级
23、及本征函分别下列几种情况，求此二粒子体系的最低三条能级及本征函数数（a）单粒子自旋为）单粒子自旋为0；（b）单粒子自旋为）单粒子自旋为1/2；（c）如果两个粒子之间还有相互作用）如果两个粒子之间还有相互作用 ，讨论上述（讨论上述（a）和（）和（b）两种情况下能级发生的变动，画出能级）两种情况下能级发生的变动，画出能级图。图。解（解（a）单粒子自旋为）单粒子自旋为0情况。波函数只含二粒子的空间坐标情况。波函数只含二粒子的空间坐标 和和 ，但要求对，但要求对 变换对称。设两粒子分别处于谐振子的变换对称。设两粒子分别处于谐振子的 和和 能级能级 ，二粒子能量为，二粒子能量为 。由此可知二粒子体系的最
24、低由此可知二粒子体系的最低3条能级的能级填布情况和对称波条能级的能级填布情况和对称波函数分别如下函数分别如下：210n第一激发态第一激发态210n第二激发态第二激发态210n201n基态基态(4)(5)(6)(7)任意任意t 时的态矢为时的态矢为其中其中将将ci (i=1,2,3,4)的值代入的值代入(6)式，式，任意任意t时刻，粒子时刻，粒子1的自旋处于的自旋处于z轴正方向的几率是轴正方向的几率是两个粒子的自旋同时沿两个粒子的自旋同时沿z轴正方向的几率为零，因为轴正方向的几率为零，因为 中不中不存在存在(1)(2)陈陈P256两个自旋两个自旋s=1/2的粒子在的粒子在(S1z,S2z)表象的
25、态为表象的态为 ，其，其中中|i|2代表粒子代表粒子i自旋向上的几率，自旋向上的几率，|i|2代表粒子代表粒子i自旋向下的几自旋向下的几率。率。(1)求求 的本征值与本征态矢，的本征值与本征态矢，V0是常是常数；数；(2)设设t=0时，体系的态为时，体系的态为 ，求任意，求任意t时刻发现体系处时刻发现体系处于于 态的几率。态的几率。解解(1) (S1z,S2z)表象的基矢依次记为表象的基矢依次记为(1)利用公式利用公式(2)算出算出可见，可见，|3|3与与|4|4是是 的本征态，本征值均为的本征态，本征值均为0 0， 的另外两的另外两个本征态因同个本征态因同|3|3与与|4|4正交，只能由正交，只能由|1|1与与|2|2的线性组合的线性组合构成：构成：(3)(4)(5)定态方程定态方程 具有如下形式：具有如下形式：(6)(7)利用以下算式利用以下算式(8)可以算出可以算出(9)将上述将上述Hij值代入方程值代入方程(6)，(11)解之得解之得(10)(12)加上前面的两组解加上前面的两组解(2)对任意对任意t 时刻的态矢时刻的态矢(13)(14)(15)(16)将将|(0)=(1)(2)及及|n的表示式的表示式(10)(13)代入代入(16)式，算出式，算出 。将它们代入。将它们代入(14)式，式，(17)任意任意t 时刻体系处于时刻体系处于 态的几率为态的几率为
