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1、第十七讲第十七讲 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质1 1;一一. .课标链接接二次函数的图象与性质二次函数是中学数学中的第三类根本函数，是数形结合的典型之一，是中学数学的知识重点，它与一元二次方程和一元二次不等式联络严密，掌握二次函数的根本概念和图象性质，可以处置相关问题是中考的测试要点之一.题型有填空、选择与解答题，其中以计算型综合解答题居多. ;二二. .复复习目的目的1了解二次函数的概念，会用描点法画出二次函数的图象，了解二次函数与抛物线的有关概念. 2.经过二次函数的图象，了解并掌握二次函数的性质，会判别二次函数的开口方向；会求顶点坐标， 3. 会把二次函数的普通式化为顶点式，
2、确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向、对称轴方程；会判别并求出最大值或最小值；会判别增减性等等.;三三. .知知识要点要点1.二次函数的定义：假设 y=ax2+bx+c (a0 a、b、c是常数)，那么y叫做x的二次函数。2二次函数的解析式：普通式：y=ax2+bx+c (a0 a、b、c是常数)；顶点式： (a0、 、 )；交点式： (a0，x1、x2为对应的一元二次方程的解)； 这三种方式可相互转换，即普通式经过配方可得顶点式，顶点式展开后可得普通式，普通式令y=0，解对应的一元二次方程得出交点式，交点式展开后可得普通式等.;三三. .知知识要点要点3二次函数图象是抛物线，可用五点画图象，
3、顶点、对称轴两边各取对称的两点，常先求出顶点坐标、与x轴交点坐标和与y轴交点坐标，再用描点法画出。4.二次函数图象的性质：1开口方向：a0，开口向上；a0，开口向下；a决议抛物线的大小和外形，| a |越大，开口越小；2顶点坐标为 或(h， k) ，其中 ；3抛物线是轴对称图形，对称轴是直线 或x=h；;三三. .知知识要点要点4增减性：假设a0，在对称轴左侧，y随x的增大而减小减函数；在对称轴右侧，y随x的增大而增大增函数；假设a0，在对称轴左侧，y随x的增大而增大增函数；在对称轴右侧，y随x的增大而减小减函数；5最值： 假设a0，y有最小值，当 或x=h时，y最小值= ；假设a0，y有最大
4、值，当 或x=h时，y最大值= .6与x轴的交点个数由决议，当0，抛物线与x轴有两个交点；当=0，抛物线与x轴有一个交点；当0，抛物线与x轴没有交点.顶点式中，假设a，k异号，抛物线与x轴有两个交点；a，k同号，抛物线与x轴没有交点；k=0，抛物线与x轴有一个交点.7 抛物线在y轴上的截距是c,即抛物线与y轴的交点坐标为(0，c). ;四四. .典型例典型例题例1二次函数y=0.25x2+x+2 指出1函数图象的对称轴和顶点坐标；2把这个函数的图象向左、向下平移2个单位，得到哪一个函数的图象？3 当x为何值时，y0？y0？ 思绪分析：这是二次函数的图象及性质的综合运用.掌握配方法和图象的平移规
5、律，以及二次函数与一元二次方程的关系即可处置问题.知识调查：调查二次函数的图象及性质的综合运用.;四四. .典型例典型例题解：(1)配方，y=0.25(x24x+44)+2 =0.25(x2)2+3图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为2，3.(2)把这个函数的图象向左、向下平移2个单位，顶点成为(0，1)，外形不变，得到函数y=0.25x2+1的图象.=124()2=30， 图象与x轴交于两点，解方程0.25x2+x+2=0得 ， .0.250，函数图象开口向下，表示图如下图，右图可知，当 x 时，y0；当x 或x 时，y0.;四四. .典型例典型例题例2 2006年青海抛物线y=-2x2-4
6、x+1的顶点关于x轴对称的点的坐标是 .思绪分析：a=-2，b=-4，c1，由抛物线的顶点坐标公式 得，顶点坐标为 (-1，3)， 根据坐标中点的对称性质，(-1，3) 关于x轴对称的点的坐标是(-1，-3). 此题还可以经过配方法求出顶点坐标，y=-2x2-4x+1-2(x+1)2+3，得顶点坐标为 (-1，3)，根据坐标中点的对称性质，(-1，3) 关于x轴对称的点的坐标是(-1，-3).知识调查：调查二次函数的意义、性质及配方法和顶点公式.解：(-1，-3).;四四. .典型例典型例题例3知二次函数当x4时有最小值-3且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式思绪分析：由于二次
7、函数当x=4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x=4，抛物线开口向上图象与x轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点又根据对称性，图象与x轴另一个交点的坐标为(7，0)有下面的草图：此题可用以下四种方法求出解析式.知识调查：求解二次函数的解析式的的方法.;四四. .典型例典型例题解： 方法一：设抛物线的解析式为y=ax2bxc，根据题意以及对称性，可得，抛物线经过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a、b、c的三元一次方程组 ，解得 ，所以 .;四四. .典型例典型例题方法二：设抛物线的解析式为y=ax2bxc，由于二次函数当x=4时有最小值-3，又抛物
8、线经过(1，0)点，所以可得 ， 解得 ，所以 ;四四. .典型例典型例题方法三：由于抛物线的顶点坐标知，可以设二次函数式为y=a(x+h)2+k，其中h=-4，k=-3，即有y=a(x-4)2-3，又抛物线经过(1，0)，所以 0=a(1-4)2-3 ，得 ，所以 .;四四. .典型例典型例题方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=1，x2=7可设两根式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7，即有y=a(x-1)(x-7)，把点4，3代入上式得 -3=a(4-1)(4-7)-3 ，得 ，所以 . 上面四种方法的第三种最简便.;五五. .才干才干训练一、填空题1.
9、假设函数y=(k24)x2+(k+2)x+3是二次函数，那么k_.2.函数 ，当k=_时，它的图象是开口向下的抛物线；此时当x_时，y随x的增大而减小.3.二次函数 ，当x1x20时，y1与y2的大小为_.4.二次函数y=ax2+bx+c(a0)中，当b=0，c0时，函数表达式为_；当b0，c=0时，函数表达式为_；当b=c=0时，函数表达式为_.;五五. .才干才干训练5.在边长为6 cm的正方形中间剪去一个边长为x cmx0时，y随x增大而减小，这两个特征的有 y=ax2a0 ; y=a1x2a0时，y随x的增大而增大B.二次函数y=6x2中，当x=0时，y有最大值0C.a越大图象开口越小
10、，a越小图象开口越大D.不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2a0的顶点一定是坐标原点;五五. .才干才干训练9在同一坐标系中，作y=x2， ， 的图象，它们的共同特点是 A.抛物线的开口方向向上B.都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大C.都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点10假设对恣意实数x，二次函数y=(a+1)x2的值总是非负数，那么a的取值范围是 A.a1 B.a1 C.a1 D.a1;五五. .才干才干训练11如图1，函数y=a(x+a)与y=ax2(a0)在同一坐标系上的图象是 图112知a1，点(a1，y1)，(a，
11、y2),(a+1，y3)都在函数y=x2的图象上，那么 A.y1y2y3 B.y1y3y2 C.y3y2y1 D.y2y1y3;五五. .才干才干训练三、解答题13二次函数y=ax2与直线y=2x1的图象交于点P(1，m).(1)求a、m的值；(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大.14影响刹车间隔的最主要要素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研讨阐明，晴天在某段公路上行驶时，速度v(km/h)的汽车的刹车间隔s(m)可以由公式 确定；雨天行驶时，这一公式为 .(1)假设行车速度是70 km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车间隔相差多少米？(2)假
12、设行车速度分别是60 km/h与80 km/h，那么同在雨天行驶(一样的路面)相比，刹车间隔相差多少？(3)根据上述两点分析，他想对司机师傅说些什么？;五五. .才干才干训练15有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就到达警戒线CD，这时水面宽度为10米；(1)在如图2的坐标系中，求抛物线的表达式；(2)假设洪水到来时，再继续多少小时才干到拱桥顶？(水位以每小时0.2米的速度上升);五五. .才干才干训练16如图3，直线AB过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点坐标为(1，1).(1)求直线和抛物线所表示的函数表达式；(2)在抛物线上能否存在一点D，使得SOAD=SOBC，假设不存在，阐明理由；假设存在，恳求出点D的坐标，与同伴交流.;
