《高三数学导数全章课件函数的极值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学导数全章课件函数的极值（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数的极值函数的极值一、复习与引入一、复习与引入: : 上节课上节课,我们讲了利用函数的导数来研究我们讲了利用函数的导数来研究函数的单函数的单调性这个问题调性这个问题.其基本的步骤为其基本的步骤为:求函数的定义域求函数的定义域;求函数的导数求函数的导数 ;解不等式解不等式 0得得f(x)的单调递增区间的单调递增区间; 解不等式解不等式 f(x1).o oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bax xy y (4)函数的极值点一定出现在区间的内部函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端区间的端点不能成为极值点点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点而使函数取得最大
2、值、最小值的点可能在区间的内部可能在区间的内部,也可能在区间的端点也可能在区间的端点. 在上节课中在上节课中,我们是利用函数的导数来研究我们是利用函数的导数来研究函数的函数的单调性的单调性的.下面下面我们利用函数的导数来研究我们利用函数的导数来研究函数的函数的极值极值问题问题. 由上图可以看出由上图可以看出,在函数取得极值处在函数取得极值处,如果曲线有如果曲线有切线的话切线的话,则切线是水平的则切线是水平的,从而有从而有 .但反过来但反过来不一定不一定.如函数如函数y=x3,在在x=0处处,曲线的切线是水平的曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大但这点的函数值既不比它附近
3、的点的函数值大,也不比也不比它附近的点的函数值小它附近的点的函数值小.假设假设x0使使 .那么在什么那么在什么情况下情况下x0是是f(x)的极值点呢？的极值点呢？o oa aX X0 00b bx xy yo oa aX X0 0b bx xy y 如上左图所示如上左图所示,若若x0是是f(x)的极大值点的极大值点,则则x0两侧附两侧附近点的函数值必须小于近点的函数值必须小于f(x0) .因此因此, x0的左侧附近的左侧附近f(x)只能是增函数只能是增函数,即即 ; x0的右侧附近的右侧附近f(x)只能是减函只能是减函数数,即即 同理同理,如上右图所示如上右图所示,若若x0是是f(x)极小值点
4、极小值点,则在则在x0的左侧附近的左侧附近f(x)只能是减函数只能是减函数,即即 ;在在x0的右侧的右侧附近只能是增函数附近只能是增函数,即即 . 从而我们得出结论从而我们得出结论:若若x0满足满足 ,且在且在x0的两侧的两侧的导数异号的导数异号,则则x0是是f(x)的极值点的极值点,f(x0)是极值是极值,并且如并且如果果 在在x0两侧满足两侧满足“左正右负左正右负”,则则x0是是f(x)的极大值的极大值点点,f(x0)是极大值是极大值;如果如果 在在x0两侧满足两侧满足“左负右正左负右正”,则则x0是是f(x)的极小值点的极小值点,f(x0)是极小值是极小值. 从曲线的切线角度看从曲线的切
5、线角度看,曲线在极值点处切线的斜率曲线在极值点处切线的斜率为为0,并且并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧右侧为为负负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正右侧为正. 一般地一般地,当当函数函数f(x)在在x0处连续处连续时时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方法是值的方法是: (1):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极大值是极大值; (2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极小值是极小值.要注意以下两点要注意以下两点: (1)不可
6、导函数也可能有极值点不可导函数也可能有极值点.例如函数例如函数y=|x|,它在它在点点x=0处不可导处不可导,但但x=0是函数的极小值点是函数的极小值点.故函数故函数f(x)在在极值点处不一定存在导数极值点处不一定存在导数. (2)可导函数的极值点一定是它导数为零的点可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之反之函数的导数为零的点函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点不一定是该函数的极值点.例如例如,函数函数y=x3,在点在点x=0处的导数为零处的导数为零,但它不是极值点但它不是极值点,原原因是函数在点因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零处左右两侧的导数都大于零.因此导因此导数为零的
7、点仅是该点为极值点的必要条件数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件其充分条件是在这点两侧的导数异号是在这点两侧的导数异号. 因此因此,利用求导的方法利用求导的方法,求函数的极值时求函数的极值时,在函数的在函数的定义域内寻求可能取到极值的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点可疑点”,除了确定其除了确定其导数为零的点外导数为零的点外,还必须确定函数定义域内所有不可导还必须确定函数定义域内所有不可导的的点点,这两类点构成了函数定义域内所有的可能取到极值这两类点构成了函数定义域内所有的可能取到极值的的“可疑点可疑点”.三、例题选讲三、例题选讲: :例例1:求求y=x3/3-4x+4的极值的极值
8、.解解:令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表: x(-,-2) -2(-2,2) 2 (2,+) y + 0 - 0 + y 极大值极大值28/3 极小值极小值-4/3 因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=28/3;而而,当当x=2时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=- 4/3.总结总结:求求可导函数可导函数f(x)的极值的步骤如下的极值的步骤如下:(1).求导求导数数(2).求方程求方程 的根的根.(3)检查检查 在方程根左右的值的符号在方程根左右的值的符号,如果左正右负如果左正右负,
9、那么那么f(x)在这个根处取得极大值在这个根处取得极大值;如果左正右负如果左正右负,那那 么么f(x)在这个根处取得极大值在这个根处取得极大值.例例2:求函数求函数 的极值的极值.解解:函数的定义域为函数的定义域为令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表: x(-,-a) -a(-a,0)(0,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(x) 极大值极大值-2a 极小值极小值2a 故当故当x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(-a)=-2a;当当x=a时时,f(x)有极小值有极小值f(a)=2a.说明说明:
10、本题中的极大值是小于极小值的本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极这充分表明极值值 与最值是完全不同的两个概念与最值是完全不同的两个概念.练习练习1:求函数求函数 的极值的极值.解解:令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下的变化情况如下表表: x(-,-1) -1(-1,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 极大值极大值-3 极小值极小值3 因此因此,当当x=-1时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=3;而而,当当x=1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=- 3.例例3:已知函数已知函数f(x)=-x3+ax2+
11、b. (1)若函数若函数f(x)在在x=0,x=4处取得极值处取得极值,且极小值为且极小值为-1, 求求a、b的值的值. (2)若若 ,函数函数f(x)图象上的任意一点的切线斜图象上的任意一点的切线斜 率为率为k,试讨论试讨论k-1成立的充要条件成立的充要条件 . 解解:(1)由由 得得x=0或或x=4a/3.故故4a/3=4, a=6.由于当由于当x0时时, 故当故当x=0时时,f(x)达到极小值达到极小值f(0)=b,所以所以b=-1.(2)等价于当等价于当 时时,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)= 3x2-2ax-10对一切对一切 恒成立恒成立.由于由于g(0)=-10,故
12、只需故只需g(1)=2-2a0,即即a1.反之反之,当当a1时时,g(x)0对一切对一切 恒成立恒成立.所以所以,a1是是k-1成立的充要条件成立的充要条件. 第二课时第二课时一、复习一、复习: :1.设函数设函数y=f(x)在在x0及其附近有定义及其附近有定义,如果如果f(x0)的值比的值比x0 附近所有各点的函数值都大附近所有各点的函数值都大,我们说我们说f(x0)是函数是函数y=f(x) 的一个极大值的一个极大值;如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各点的函附近所有各点的函 数值都小数值都小,我们说我们说f(x0)是函数是函数y=f(x)的一个极小值的一个极小值.极极 大值与极小值
13、统称极值大值与极小值统称极值.2.当函数当函数f(x)在在x0处连续时处连续时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的值的方方 法是法是: (1):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极大值是极大值; (2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极小值是极小值.3.理解函数极值的定义时应注意以下几点理解函数极值的定义时应注意以下几点:(1)函数的极值是一个局部性的概念函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间极值点是区间内内 部的点而不会是端点部的点而不会是端点.(2)若若f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值,那么那么
14、f(x)在某区间内一在某区间内一定定 不是单调函数不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值即在区间上单调的函数没有极值.(3)极大值与极小值没有必然的大小关系极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不即极大值不 一定比极小值大一定比极小值大,极小值不一定比极大值小极小值不一定比极大值小.(4)函数函数f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值,它的极值点的分布是它的极值点的分布是 有规律的有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 一般地一般地,当函数当函数f(x)在
15、某区间上连续且有有限极值在某区间上连续且有有限极值 点时点时,函数函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的是交替出现的.(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不而不是是 充分条件充分条件.(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.4.确定函数的极值应从几何直观入手确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数理解可导函数在在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握掌握利利 用导数判断函数极值的基本方法用导数判断函数
16、极值的基本方法.例例1:已知函数已知函数 f(x)满足条件满足条件:当当x2时时, ;当当 x2,由条件由条件可知可知 ,即即:当当 时时,x20,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 0 + f(x) 极大极大值值 极小极小值值 由表可得由表可得 ,即即 .又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.(2)设设a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 极小值极小值 极大值极大值 由表可得由表可得 ,即即 .又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2.练习练习1:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x
17、=1处有极值为处有极值为 10,求求a、b的值的值.解解: =3x2+2ax+b=0有一个根有一个根x=1,故故3+2a+b=0.又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得 或或当当a=-3,b=3时时, ,此时此时f(x)在在x=1处处无无极值极值,不合题意不合题意.当当a=4,b=-11时时,-3/11x1时时, ,此时此时x=1是是极极值点值点.从而所求的解为从而所求的解为a=4,b=-11.例例3:已知已知: (1)证明证明:f(x)恰有一个极大值点和一个极小值点恰有一个极大值点和一个极小值点; (2)当当f(x)的极大值为的极大值为1、极小值为、极小值为-1时时,
18、求求a、b的的值值.解解:(1)令令 ,得得-ax2-2bx+a=0,=4b2+4a20,故故 有不相等的两实根有不相等的两实根、, ,设.又设又设g(x)=-ax2-2bx+a, 由于由于-a0,g(x)的图象开的图象开口口向下向下,g(x)的值在的值在的右正左负的右正左负,在在的左正右负的左正右负.注意到注意到 与与g(x)的符号相同的符号相同,可知可知为极小值点为极小值点,为极大值点为极大值点.(2)由由f()=-1和和f()=1可得可得:两式相加两式相加,并注意到并注意到+=-2b/a,于是有于是有:从而方程从而方程 可化为可化为x2=1,它的两根为它的两根为+1和和-1,即即=-1,=1.由由故所求的值为故所求的值为a=2,b=0.
