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1、13.4 课题学习课题学习最短路径问题最短路径问题 前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线两点的所有连线中，线段最短段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为等的问题，我们称它们为最短路径问最短路径问题题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题。引入新知引入新知 如图，在小河如图，在小河l的两侧有的两侧有A村和村和B村，要在小河村，要在小河l上修一上修一个水泵站个水泵站M,请你确定水泵站请你确定水泵站M的位置，使它到两个村庄的位置，使它到
2、两个村庄的距离和最小的距离和最小.ABl作法：连结作法：连结AB，交直线，交直线l于于点点M，则点，则点M为水泵站的位为水泵站的位置。置。问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？最短？探索新知探索新知BAlC你能
3、将这个问题抽象为你能将这个问题抽象为数学问题吗？数学问题吗？探索新知探索新知将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线抽象为一条直线 BAl 设设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时， AC 与与CB 的和最小的和最小 C探索新知探索新知BAl 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的的同侧，点同侧，点C 是直线上的一个是直线上的一个动点，当点动点，当点C 在在l 的什么位置的什么位置时，时，AC 与与CB的和最小？的和最小？思考：思考： 1 1、这个问题与前面、这个
4、问题与前面“确定水泵位置确定水泵位置”的问题有联的问题有联系吗？系吗？2 2、如何将点如何将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度相等？的长度相等？ 3 3、你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的、你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点点B吗？吗？ 探索新知探索新知BAlC 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的的同侧，点同侧，点C 是直线上的一个是直线上的一个动点，当点动点，当点C 在在l 的什么位置的什么位置时，时，AC 与与CB的和最小？的和最小？作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关
5、于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C则点则点C 即为所求即为所求 BlABC你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ 问题：问题：如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直线上的一个动点，是直线上的一个动点，当点当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称点的对称点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交于点相交于点C则点则点C 即为所求即为所求 BlABC证明：证明：如图，在直线如
6、图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不重合），连接不重合），连接AC，BC，BC 点点B B与与B B关于直线关于直线l对称对称 直线直线l垂直平分垂直平分BBBB BC = =BC，BC=BC AC + +BC= = AC + +BC = = AB， AC+ +BC= = AC+ +BC在在ABC中中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即即AC +BC 最短最短C若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + BC 最小最小 探索新知探索新知追问：证明追问
7、：证明AC + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC AC+ +BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ BlABCC运用新知运用新知1 1、如图，一个旅游船从、如图，一个旅游船从P 处前往山脚下接游客，然后将处前往山脚下接游客，然后将游客送往河岸上，再返回游客送往河岸上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路处，请画出旅游船的最短路径径P山脚山脚河岸河岸2、八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了一些球，则小八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了一些球，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地的地A处。处。如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球，还要跑到另一侧如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球，还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，小去取木棍，则小明又应按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木棍，才能最快跑到目的地木棍，才能最快跑到目的地A处。处。
