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1、第二章电阻电路分析线性电路linearcircuit：由非时变线性无源元件、线性受控源和独立电源组成的电路称为非时变线性电路，简称线性电路。电阻电路(resistivecircuit)：电路中没有电容、电感元件的线性电路。简单电路部分变量：等效变换法改动电路构造复杂电路多个变量：独立变量法不改动电路的构造，选择完备的独立变量，利用KL列写方程组求解二端一端口网络：N1端口的VAR与另一个二端网络N2端口的VAR一样，那么N1与N2等效。N2+-uiN1+-ui多端网络：等效是指端钮VAR方程组不变。端口对外呈现一致的VAR(因此不会影响求解外电路各部分的u、i、p)。但是等效前后N1、N2内部
2、的情况很可以不等效。第一节电阻的联接电阻的串并联：电阻的Y变换：第二节电源的等效变换无伴电源的等效变换：有伴电源的等效变换：第三节含受控源的一端口网络的等效等效变换法独立变量法第四节支路法第五节回路法、网孔法第六节节点法串联并联电阻电导分压公或分流公式电阻的串联、并联功率形式YY其中其中一般形式电阻的Y变换例题1求图A电路的Rab；Raca4b38266c图Aa4b38266c图Ba4b3-c(2/8)62图C解解：求求Rab时可可画画成成右右边的的图B此此时左左下下角角的的2和和8电阻被短路阻被短路，6与与6的的电阻并阻并联，再与，再与3电阻串阻串联故：Rab=43+(66)=43+(62)
3、=(46)(4+6)=2.4求Rac时由于2与8电阻一端接b，另一端接c，它们为并联关系，故可画成图C于是Rac=43(62)+(28)=2.41.6=4判别电阻的联接关系普通从端口开场，从最远处向端口看起。例题2对图A示桥形电路，试求I、I1I11.4532+-10VI1图AI11.41+-10VI11.50.6图BI1.4+-10VI13178.53.4图C解1将上方的Y,得图B2节点所接Y电阻,得图C317=2.55,1.43.4=0.99167,(0.99167+2.55)8.5=2.5，I=102.5=4A，衔接情况 等效结果或计算公式说明n个电压源的串联us为等效电压源，当usk与
4、us的参考方向一样时，usk取“，反之取“n个电流源的并联is为等效电流源当isk与is的参考方向一样时，isk取“，反之取“电压源与非电压源支路并联对外电路可以等效为该电压源us与电压源并联的可以是电阻、电流源，也可以是较复杂的支路。仅是对外电路等效。电流源与非电流源支路串联对外电路可以等效为该电流源is与电流源串联的可以是电阻、电压源，也可以是较复杂的支路。仅是对外电路等效。无伴电源的等效变换例题1求图示电路的I1、I2、I3+-11VI122A2I3I+-5V+-11VI122I+-5V1I122I+-4V解解：对原原图作作如如右右等等效效得得：I1=-4/2=-2A,I2=I1-(4/
5、1)=-6A;回到原回到原图，有，有I3=I2+2=-4A由此例可见等效“对外的含义，即对于求2A电流源以及5V电压源以外的I1与I2来说，题中三个电路是等效的，但原图中5V电压源中的电流已不再等于新图中5V电压源中的电流。例题2将上例图中的1V电压源换为6A的电流源方向向上，再求I1、I2、I3此时电路可等效为右图， I2 = 6A ,I1=16/(1+2)=2A;回到新原图，有I3=I2+2=8A1I122I6A有伴电源的等效变换有伴电压源：有电阻与之串联理想电压源实际电源的电压源模型有伴电流源：有电阻与之并联理想电流源实际电源的电流源模型IS+U-IRS+-USRS+U-I对外等效条件为
6、：大小关系：Us=Rs Is方向关系：IS由US的“指向“ 有源二端网络最终可以化简为有伴电压源或有伴电流源。例题2求图A电路中的i1与i2i1i2ab2A8+6V-2276A2i2ab2A273A2i16A2解：解：图A图B图C图D对已是单回路的D图列写KVL得：(1+2+7)i2=9-4i2=0.5A；为了求i1，先求uab：uab=1i29=8.5Vi1=uab2=4.25A(B图)i2+4V217+ 9V-ab图Di2+4V9A217ab图C例化例化简右右图所示有源二端网所示有源二端网络ab+5V2A94410A3Aab21.5V+ab+5V2A44ab445-8Vab23/4A第三节
7、含受控源一端口网络的等效电阻有关独立电源等效变换的结论对受控源也是成立的，但在变换过程中，要留意：控制量或者控制支路必需坚持完好而不被改动，否那么，控制量变没了或被改动了，受控源也就不成立了。等效变换后：1)当二端网络N内部只含电阻和线性受控源时，其端口可等效为电阻(u、i成正比)，在少数情形下，可以为一个负的电阻；2)当N内部还含有独立电源时，那么其端口可等效为有伴电压源或有伴电流源在少数情形下，有伴电阻可以为负值。1外施外施电源法：在端口人源法：在端口人为作用独立作用独立电源或源或标出端口出端口变量量u、i，对电路列写路列写KCL、KVL方程同方程同时代入各元件的代入各元件的VAR，然后消
8、去非端口，然后消去非端口变量，可得端口量，可得端口VAR。2控制量控制量为“1法：令控制量法：令控制量为“1，那么得到受控源的，那么得到受控源的值，进一步求解端口的一步求解端口的VAR对于第一种电路不含独立源常用以下方法求解对于第二种电路含独立源待戴维南定理或诺顿定理引见以后再讨论例求例求图A电路的路的电流流i.+ 9V-10.5ii412图A解解：利利用用有有伴伴受受控控电源源等等效效变换，可可得得图B、图C与与图D即化成关于所求即化成关于所求i的的单回路：回路：当电路中含有受控源时，由于受控源一方面与电阻不同，不能作串联等效，另一方面又与独立源不同，不是鼓励。所以仅经过等效变换还得不到最后
9、结果，还必需列写KCL、KVL方程以及元件的VAR关系式，才干最终处置问题。+ 9V-20.5ii 24图B+9V-i/3i 10/3图D+ 9V-4/3i/4i 2图C例题2求图示一端口网络的入端电阻Raba+u-bii1iR1i2R2 Ro a+u-biR1 +R2 RO-R1ia+u-biRO(R1 +R2 ) R1 i R1 +R2 a+u-bi RO R1 iRO +R1+R2RO (R1+R2) RO +R1+R2解：先用等效变换法化简，再据KVL写出端口的VAR或者设控制量i=1那么有得出Rab有一样的结果上题假设不化简写端口的VAR那么有以下过程a+u-bii1iR1i2R2
10、Ro KCL：i1=i-i-(uRo)i2=i1+i=i-(uRo)(其它变量尽量用端口变量表示)KVL：u=R1i1+R2i2(消去非端口变量，从而解出端口VAR。)由此可见先等效化简再求解要简一方便些，化简时需求留意的地方不能忘记。例题3求ab以左的最简等效电路；求RL=2.5k及3.5k时的I1a+U1-b0.5I110mA1kI1RL1ka+U1-b+ 10V-1000I11000500I1a+U1-b+ 10V-RL1.5kI1先化简再由KVL得U1=101500I1当 RL =2.5k时，由此例不难看出，假设待求量集中在某一支路，尤其是该支路有几种变化情况，那么先求出该支路以外二端
11、网络的最简等效电路，就会防止反复的与计算。当RL=3.5k时，即有RLI1=101500I1第四节支路法我们曾经处置了本章的第一个内容电阻电路的等效变换，这种方法可用于：分析简单电路；使复杂电路的部分得到简化。而对于普通的复杂电路，要用“系统化的“普遍性的方法：系统化便于编制计算机程序；普遍性适用于任何线性电路。与等效变换法不同，系统化的普遍性方法不改动电路的构造，其步骤大致为：选择一组完备的独立变量电压或电流；由KCL、KVL及VAR建立独立变量的方程(必为线性方程组)；由方程解出独立变量，进而解出其它待求量。这类方法亦称为独立变量法，包括支路(电流)法、回路(电流)法、网孔(电流)法、节点
12、(电压)法。其中：独立性各变量不能相互表示；完备性其它电压、电流可由它们所表示。下面先研讨支路法：一、支路法的根本思绪aI2I3+US2-R3R2b I1+ US1- R1支路(电流)法以支路电流为电路变量电路如以下图，支路数b=3；节点数n=2；回路数L=3.，图中I1，I2，I3为各支路电流，参考方向如图。它们彼此不同，求解之再由各支路VAR求出支路或元件的电压，因此支路电流可作为一组完备的独立变量。列写KCL：节点a：-I1-I2+I3=0节点b：I1+I2-I3=0显然，对一切n个节点列写KCL，每一支路电流将一次正、一次负地出现两次，一切KCL方程相加必等于0，故n个节点的电路至多只
13、需(n-1)个独立的KCL方程；而且独立方程数恰好是(n-1)个，这是由于去掉一个方程后，至少有一个支路电流在留下的(n-1)个方程中只出现一次，方程系数行列式必不等于0。故对上面的电路只需列写(2-1)=1个KCL方程(无妨取式)。列写KVL：回路的绕行方向如图，左回路：R1I1-R2I2=US1-US2右回路：R2I2+R3I3=US2外回路：R1I1+R3I3=US1接第四节易见，、中的任一式可由另二式导出，同样可以证明，对于b条支路、n个节点的电路，独立KVL方程的个数为(b-n+1)个，对平面电路，即等于网孔数m 。 独立方程总数=(n-1)+(b-n+1)=b,正好等于独立变量数(
14、支路数)，因此所得的线性方程组是可解的。任选n-1个节点列写KCL可保证其独立性。因每个网孔不可以由别的网孔来合成得到，所以(b-n+1)个网孔可以作为一组独立的回路。选择(b-n+1)个独立回路的另一方法是每选一个回路，至少添加一条新的支路。本例中可以取、两式选定各支路电流的参考方向；至此可见支路法的根本步骤为列出n-1个独立节点的KCL方程；选取(b-n+1)个独立回路及其绕行方向，列写KVL方程；联立求解这b个独立方程,得各支路电流，进而解出其它待求量；对所得的结果进展验算。可选一个未用过的回路，代入数据校验KVL，或用功率平衡进展验算。例：按以上步骤求电路中的Uab、PUS2产aI2I
15、3+US2-R3R2b I1+ US1- R1见右图；KCL取节点a：I1I2+I3=0取两网孔：R1 I1 -R2 I2 =US1 -US2R1I1+R3I3=US2联立求解。可用消元法或克莱姆法那么解之，结果为再由支路VAR可求出其它待求量验算：由于此题非数值题，故从略。二、支路法的特例情况特例：含特例：含电流源流源isi1+4V-1010200.1A2Vabi2i3处置方法一：含is的支路电流不再作变量(是知量)；选取独立回路时绕过is即选择不包含is支路的回路，从而可少列与is关联的回路的KVL方程。处置方法二：增设is上电压uIs为变量，代入相应回路的KVL方程；该支路电流变量写为知
16、量is.处置方法三为有伴电流源时：先将有伴电流源等效成有伴电压源，再按根本步骤列写支路法方程。例：求图示电路各支路电流，并校验功率平衡。解方法一：按解方法一：按图示示选择的回路少一的回路少一变量、少一方程量、少一方程(巧巧选回路回路)就无需就无需再列写中再列写中间网孔回路的网孔回路的KVL方程，方程，从而支路法方程从而支路法方程为：i1+4V-1010200.1A2Vabi2i3例题方方法法二二：少少一一电流流变量量，多多一一电压变量量图中中的的u，方方程程数数仍等于仍等于总变量数：量数：i1+4V-1010200.1A2Vabi2i3u方方法法三三：将将20电阻阻看看成成is的的有有伴伴电阻
17、阻，并并等等效效成成有有伴伴电压源源，如如以以以以下下图(留留意意iK=i3is)，此此时支支路路法法方方程程为：i1+ 4V-10102V202V再回到原电路，有：特例：含受控特例：含受控电源的源的处置方法：置方法：i1 25110100+5V-i2 50u1u1i3先将控制量用独立变量(支路电流)表示；将受控源看作独立电源，按上述方法列写支路法方程；将的表示式代入的方程，移项整理后即得独立变量(支路电流)的方程组。将式代入，消去控制量u1并整理得解：例题：求图示电路的各支路电流进一步求解方程组得到所需求的结果网络的线图和独立变量一、图的根本概念：将电路中的每个元件支路用一线段表示，那么这些
18、线段经过节点衔接成一个几何构造图，称之为网络的线图或拓扑图，简称图，对图中的每一支路规定一个方向，那么称为有向图。1.连通通图：恣恣意意两两节点点间至至少少存存在在一一条条通通路路(途途径径)，如如GA即即为连通通图；而；而GB为非非连通通图。网络A*M*网络BGAGB2.子子图：是：是图G的一个子集。的一个子集。3.途径：由途径：由G的某点出的某点出发，沿某些支路延沿某些支路延续挪挪动，到达，到达另一指定另一指定节点点(或原来的或原来的节点点)所构成的通路。所构成的通路。二树、树支、连支、割集树T：是：是衔接一切接一切节点但是不构成回路的点但是不构成回路的支路的集合。即支路的集合。即连通通图
19、G的一个子的一个子图，该子子图满足足是连通的；包含G的全部节点；不包含回路。13245树支支(Treebranches)：构构成成某某个个树的的支支路路。恒恒有有：树支支数数t=n-1. 连支支(Linkbranches)：某某个个树树支支之之外外的的支支路路为连支支，对某某一一确定的确定的树每添加一个每添加一个连支，就和支，就和树支构成一个回路。支构成一个回路。l=bn+1.割割集集Q：是是连通通图G的的某某个个支支路路的的集集合合，它它满足足：i)假假设将将这些些支支路路全全部部移移去去，G就就分分别为两两个个连通通子子图其其中中一一个个子子图可可以以为孤孤立立节点点；ii)假假设少少移移
20、去去一一条条这样的的支支路路，G就就依依然然连通通。即某一即某一闭合面切割到的支路的集合合面切割到的支路的集合(留意每条支路只能切割一次留意每条支路只能切割一次)T1=1,2,3,T2=1,2,4,T3=1,2,5,T4=1,3,5,T5=1,4,5Q1=1,3,Q2=1,4,5,Q3=1,4,2,Q4=2,5T1123T21 24T31 25T4135T5154第五节回路法、网孔法+US1-+US2- R1 R2 R3 I1I2I3一、回路一、回路电流网孔流网孔电流流 Il1 Il2 在右图中假定有Il1、Il2两个电流沿各个独立回路的边境流动，那么一切的支路电流均可用此电流线性表示，一切电
21、压亦能由此电流线性表示。此电流称之为回路电流。式中隐含了KCL，沿回路绕行方向列写KVL得将回路电流代入得：解方程组求得回路电流，进一步求得支路电流，各元件电压。此例可知以回路电流为变量求解比支路法解的方程数要少二、回路法、网孔法回路电流可以表示出电路一切支路的电流和电压，所以具有完备性，所取的回路是相互独立的，回路电流不可以相互表示，因此又具有独立性。选择(bn+1)个独立回路每选一个回路，至少添加一条新的支路电流为变量列写方程求解的方法称为回路法，。选(bn+1)个网孔电流为变量列写方程求解的方法称为网孔法。+US1-+US2- R1 R2 R3 I1I2I3 Il1 Il2 式中方程1I
22、l1前的系数为回路l1的一切电阻之和，Il2前的系数为两回路的公有电阻，方程2Il2前的系数为回路l2的一切电阻之和，Il1前的系数为两回路的公有电阻，右边为各回路沿绕行方向上的电压源电位升的代数和。12三、回路法方程的普通方式其系数其系数规律律为：有了这些规律，就可以由电路直接列写出回路方程，而不用象上面那样分好几步2R12、R21回路1、2的公有电阻之“代数和，称为互电阻；仅当Il1、Il2在此互电阻上同方向时取正号；反之取负号。无受控源时有R12=R21，R13=R31，；3 US11 回路l1沿Il1方向上的电压源电位升的代数和(US22、USmm同理)。1R11回路l1的一切电阻之和
23、，称为该回路的自电阻(恒正)(R22、Rmm同理)；四、回路法(网孔法)的根本步骤1、选定一组(m=bn+1个)独立回路，假定其绕行方向(经常选网孔)；2、运用“自电阻,互电阻及回路电压源的电位升代数和等概念直接列写回路电流方程；3、联立求解这m个独立方程，得各回路电流，进而解出其它待求量；Il1Il3Il26624+50V-+12V-+12V+36VI1I2I3I4I5I6124例：用回路法求各支路例：用回路法求各支路电流。流。解：方法一网孔法：解：方法一网孔法：选择网孔列写方程网孔列写方程 Il3 Il1 Il2方法二：回路法选所示独立回路：五、回路法的特例情况1A2AIl特例：含特例：含
24、电流源流源iS处置方法一，先选择一个树，将电压源支路放在树支上，将电流源放连支上，选择树支和连支构成回路，从而iS仅与其中的一个回路关联，可少列写该回路的KVL方程(少1变量少1方程)。处置方法二：增设iS上电压uIS为变量，代入相应回路的KVL方程；补充该iS与有关回路电流的关系式(多一变量、多一方程)。处置方法三：为有伴电流源时，先将有伴电流源等效成有伴电压源，再按根本步骤列写回路法方程。例：用回路法求例：用回路法求U1解：方法一：解：方法一：“巧巧选回路法，如回路法，如图，1A回路不列写方程，2A回路不列写方程，l回路：1142+(5+3+1)Il =20得：Il =3A U1=3(2I
25、l)=3(23)=3V；5+ 20V -131A2AU1UaUb方法二：增方法二：增设变量法，量法，选择网孔如右网孔如右图5+ 20V -131A2AU1UaUbIl1Il2Il3补充可得：即电路中无伴电源等效要留意对外等效，对内不等效的问题。此例中假设有电阻等元件与电压源并联，处置方法与上述过程完全一样，但要留意此时所求的Il1不是电压源上的电流。假设有电阻等元件与电流源串联，要留意相类似的问题。特例：含受控特例：含受控电源的源的处置方法：置方法：先将控制量用独立变量(回路电流)表示先将控制量用独立变量(回路电流)表示控制量最好放连支上将受控源看着独立电源，按上述方法列写回路法方程；将中的表
26、示式代入中的方程，移项整理后即得独立变量(回路电流)的方程组。 Il1 Il2例例1：试列写列写图示示电路的回路方程路的回路方程u1 =25Il1 将式代入，消去控制量u1并整理得：这里由于有受控源，100=R12R21=0！所以有受控源的电路不可以用互电阻概念直接写回路方程2510010+ 5V -50u1+i3i1+ u1 -100例例2求求uA、iB3462+20V-6A6iB2uAiB+uA-abcdoabcdo解：选择树与连支，回路取为lbodb(2uA)、 labdoa(iB)、 lbcd(uA 6)， lacdoa(6A)、对不是电流源的回路写方程：labdoa 7iB +366
27、iB -20Lbcd 8(uA6)+26 = 20iB = -38AuA = 6V 解得：第六节节点法一、节点电压的独立性与完备性节点电压节点与零电位参考点间的电压。数目为(n-1)个。如图：un1，un2，数目为(3-1)个。各支路电压分别为：u1=un1，Au2=un1-un2，u3=un2支路电压与节点电压之间的关系隐含了KVL，故上写方程时只需列写KCL。一切电流亦能由节点电压线性表示i1 =G1 un1，i2 =G2 (un1 - un2 )，i3 =G3 (un2 uS3 ) *从某一节点到参考节点的途径不同于其它节点到参考节点的途径，其又具有独立性。节点电压可线性表示一切支路电压
28、和电流，其具有完备性;将*式代入+u2-iS1iS2G1G2G3+uS3-+u1-+u3-i1i2i3二、节点法方程的规律+u2-iS1iS2G1G2G3+uS3-+u1-+u3-i1i2i3G11节点的一切电导之和，称为该节点的自电导(恒正)(G22 、G33 同理)； G12 、G21 节点、的公有电导之和的负值，称为互电阻(恒负)；无受控源时有 G12 = G21，G23 = G32， iS11注入节点的电流源(含由有伴电压源等效来的电流源)的代数和(iS22、iS33同理)。系数规律：三、节点法的根本步骤选定参考节点，并标出其他(n-1)个节点的节点序号；运用“自电导,互电导及注入节点
29、电流源含由有伴电压源等效来的电流源的代数和等概念直接列写节点法方程；联立求解这(n-1)个独立方程,得各节点电压，进而解出其它待求量。(留意与电流源串联的电阻不得计入自电导,互电导)四、节点法的特例情况I1IS3US1US2R1R2R3特特例例节点点数数n=2独独立立节点点数数=1如如右右图：可可先先将将有有伴伴电压源源等等效效成成有有伴伴电流流源源熟熟练之之后后这一一步步就就不不需需求求了了,按按节点法的根本步点法的根本步骤，有：，有：即对n=2的电路有此式称为弥尔曼定理特例：含无伴电压源uS处置方法一：将uS的一个极选作参考节点，那么另一个极所在节点的电位就知了，从而少了一个节点电压变量，
30、可少列写该节点的KCL方程(少1变量少1方程)。处置方法二改良节点法：增设uS上电流iUs为变量，代入相应节点的KCL方程好比电流源iUs；补充该uS与两端节点电压的关系式(多一变量、多一方程)。2121+ 7V -+ 4V -I1.5A例：求右例：求右图的的Un2、Un3及及I解：解：显然，然，对7V电压源可用方法一，源可用方法一，而而对4V电压源那么要用方法二：源那么要用方法二：特例特例3：含受控：含受控电源的源的处置方法：置方法：先将控制量用独立变量(节点电压)表示；将中的表示式代入中的方程，移项整理后即得独立变量(节点电压)的方程组。将受控源看着独立电源，按上述方法列写节点法方程；34
31、62+20V-6A6iB2uAiB+uA-1324o例求例求uA、iB解解：节点点、的的电位位分分别为(20-6iB)和和-6iB，因因此此，只只需需对节点点、列写方程：列写方程：所得节点方程由于有受控源，同样会呵斥G12G21特例特例4具有运算放大器的具有运算放大器的电阻阻电路路一、利用运放特性及KCL、KVL分析分析时用理想运算放大器替代实际运算放大器，带来的计算误差很小，所以通常可利用理想运放的“虚断、“虚短以及KCL、KVL来分析含运放的电路例例1：倒向比例运算：倒向比例运算电路如路如图，解：由虚短解：由虚短由虚断-+R1R2i1i2iiui_uoab倒向比例运算电路+-uiuoi1i2iiR1R2非倒向比例运算电路例例2：倒向比例运算：倒向比例运算电路如路如图，解解:例例3知知试求uo的表达式式解出ub，因虚短ua=ub代入式得可见输出与两输入之差成正比，因此被称作差动运算电路。解：i2-+i1i3i4R1R3R2R4u1u2uobai i差动运算电路二、含理想运放的二、含理想运放的节点法点法1列写运放两输入端节点方程时思索到“虚断特性；2不列写其输出端节点方程；既是输入端又是输出端，按输出端处置3补充“虚短方程。例例4.P.49例例2-17试求求uoui.解：解：节点点和和的方程分的方程分别为：节点和：不列写！由虚短得于是可得：uiuo-+-R1R4R2R3R5
