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1、第八章第八章 倒易点阵简介倒易点阵简介l倒易点阵几何倒易点阵几何l衍射条件衍射条件l爱瓦尔德图解法爱瓦尔德图解法l粉末衍射法粉末衍射法2021/8/251倒易点阵简介倒易点阵简介l布拉格公式作为结构分析的数学工具,在大多数场合已经足够,但是,还有一些衍射效应是布拉格公式无法解释的,例如非布拉格散射就是如此.l倒易点阵概念的引入,为一般衍射理论奠定了基础.2021/8/252倒易点阵几何倒易点阵几何l倒易点阵的概念倒易点阵的概念l倒易点阵的定义倒易点阵的定义l倒易倒易点阵的性质点阵的性质l晶带定理晶带定理2021/8/253倒易点阵的概念倒易点阵的概念l倒易点阵是一个假想的点阵倒易点阵是一个假想
2、的点阵.l将空间点阵将空间点阵(真点阵或实点阵真点阵或实点阵)经过倒易变换经过倒易变换,就得到倒易点阵就得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵倒易点阵的外形也是点阵,但但其结点对应真点阵的晶面其结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称倒易点阵的空间称为倒易空间。为倒易空间。2021/8/254倒易点阵的定义倒易点阵的定义 设设正正点点阵阵的的原原点点为为O，基基矢矢为为a、b、c，倒倒易易点点阵阵的的原原点点为为O*，基基矢矢为为a*、b*、c*，则有：则有： a*=bc/V, b*=ca /V, c*=ab/V. 式式中中，V为为正正点阵中单胞的体积：点阵中单胞的体积： V=a ( (bc) )
3、 = =b ( (ca) ) = =c ( (ab) ) 表表明明某某一一倒倒易易基基矢矢垂垂直直于于正正点点阵阵中中和和自自己己异异名名的的二二基基矢矢所所成平面成平面 2021/8/255倒易倒易点阵的性质点阵的性质1. 正倒点阵异名基矢点乘为正倒点阵异名基矢点乘为0; a* b= a* c=b* a=b* c=c* b=0 同名基矢点乘为同名基矢点乘为1。 a* a=b* b=c* c=1. 2. 在倒易在倒易点阵中，由原点点阵中，由原点O*指向任意坐标为指向任意坐标为hkl的阵点的矢量的阵点的矢量 ghkl(倒易矢量倒易矢量)为：为：ghkl=h a*+k b*+lc* 式中式中hkl
4、为正点阵中为正点阵中 的晶面指数的晶面指数3. 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即ghkl=1/dhkl4. 对正交点阵，有对正交点阵，有 a*a，b*b，c*c， a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c， 5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行）只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行）的。即倒易矢量的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向是与相应指数的晶向hkl 平行的。平行的。 2021/8/256 ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：l1.倒易矢量ghkl垂直于正点阵中相应的 hkl
5、晶面，或平行于它的法向Nhkl l2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面2021/8/257晶带定理晶带定理l在正点阵中，同时平行于某一晶向uvw的一组晶面构成一个晶带，而这一晶向称为这一晶带的晶带轴。 l图示为正空间中晶体的uvw晶带l图中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、（h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方向相同.l晶带定理：因为各倒易矢量都和其晶带轴r=uvw垂直，固有ghklr=0 ，即 hu+kv+lw=0, 这就是晶带定理。2021/8/258衍射条件 设:入射线波长为,入射线方向为单位矢量S S0,0,
6、衍射线方向为单位矢量S S, ,那么在那么在S S方向有衍射线的条件是:在与S S方向相垂直的波阵面上,晶体中各原子散射线的位向相同。 先计算原点O和任一原子A的散射线在与S S方向的位向差。S S0(S-S0)ghkl12mnOA(HKL)2021/8/259l相应的位向差为 其中p、q、r是整数因为S S0 0是入射线方向单位矢量, , S S是衍射线方向为单位矢量，因此S- SS- S0 0是是矢量，则： 现在不明确h h、k k、l l一定是整数。由：可见，只有当=2n时，才能发生衍射，此时n应为整数。由于p、q、r是整数，因此满足衍射条件时h h、k k、l l一定是整数。于是得到结
7、论：2021/8/2510l满足衍射条件的矢量方程。lX射线衍射理论中的劳埃方程和布拉格方程均可由该矢量方程导出。2021/8/2511布拉格方程推导S-S0=Ssin+ S0sin= 2sin(S-S0)/= 2sin)/=ghkl=1/d2dsin =S S0(S-S0)ghkl12mnOA(HKL)2021/8/2512Ewald 作图法lEwald 图解是衍射条件的几何表达式。l sin =/2dl令d= /ghkl （此时比例系数用X射线的波长）l则sin = ghkl /2 l即某衍射面（ hkl）所对应的布拉格角的正弦等于其倒易矢量长度的一半。2021/8/2513Ewald 图
8、解入射线反射线反射球反射方向BAPO1g(hkl)22021/8/25141、设以单位矢量、设以单位矢量S0代表波代表波长为长为 的的X-RAY,照射在晶体照射在晶体上并对某个上并对某个hkl面网产生衍面网产生衍射，射， 衍射线方向为衍射线方向为S，二者，二者夹角为夹角为2 。2、定义、定义S=S-S0为衍射矢量，为衍射矢量，其长度为：其长度为：S=S-S0=2sin / =1/dEwald 作图法2S/S0 /OA1/P2021/8/2515l3 、S长度为长度为1/d，方向垂直，方向垂直于于hkl面网，面网， 所以所以l S=g* 即：即：l衍射矢量就是倒易矢量衍射矢量就是倒易矢量。l4
9、、可、可以以A点为球心，以点为球心，以1/ 为半径作一球面，称为为半径作一球面，称为反射球（反射球（Ewald 球）。衍球）。衍射矢量的端点必定在反射射矢量的端点必定在反射球面上球面上2S/S0 /OA1/P2021/8/25165 、以以S0端点端点O点为原点，点为原点，作作倒易空间，某倒易点（代表倒易空间，某倒易点（代表某倒易矢量与某倒易矢量与hkl面网）的面网）的端点如果在反射球面上，端点如果在反射球面上， 说说明该明该g*=S, 满足满足Braggs Law。某倒易点的端点如果不在反某倒易点的端点如果不在反射球面上，射球面上， 说明不说明不 满足满足Braggs Law，可以直观地，可
10、以直观地看出那些面网的衍射状况。看出那些面网的衍射状况。2S/S0 /OA1/P2021/8/2517 入射矢量入射矢量S0、 衍射矢量衍射矢量S 及倒易矢量及倒易矢量g*的端的端点均落在球面上点均落在球面上 S的方向与大小均的方向与大小均由由2 所决定所决定g2S0 2 AOSSSg1g3P1P2P32021/8/2518Ewald 球与极限球球与极限球2021/8/2519AO1/hklS/S0/凡是处于凡是处于Ewald球面上的倒易点均符合衍射条件球面上的倒易点均符合衍射条件若若同同时时有有m个个倒倒易易点点落落在在球球面面上上，将将同同时时有有m个个衍衍射射发发生生，衍衍射线方向即球心
11、射线方向即球心A与球面上倒易点连线所指方向。与球面上倒易点连线所指方向。 2021/8/2520即即EwaldEwald球球不不动动，围围绕绕O点点转转动动倒倒易易晶晶格格，接接触触到到球球面面的的倒倒易易点点代代表表的的晶晶面面均均产产生生衍衍射射（周周转晶体法的基础）。转晶体法的基础）。CO1/hklS/S0/增大晶体产生衍射几率的方法增大晶体产生衍射几率的方法(1)入射方向不变，转动晶体入射方向不变，转动晶体2021/8/2521增大晶体产生衍射几率的方法增大晶体产生衍射几率的方法(2) 波长连续，波长连续， 使使EwaldEwald球的数球的数量增加，即球壁量增加，即球壁增厚（增厚（L
12、aueLaue法）法）AO1/hklS/S0/2021/8/2522（3 3）EwaldEwald球球不不动动，增增加加随随机机分分布布的的晶晶体体数数量量，相相当当于于围围绕绕O点点转转动动倒倒易易晶晶格格，使使每每个个倒倒易易点点均均形形成成一一个个球球（倒倒易易球球）。（粉粉晶法的基础）晶法的基础）AO1/hklS/S0/增大晶体产生衍射几率的方法增大晶体产生衍射几率的方法倒易球倒易球2021/8/2523 Direction ofdirect beamDirection ofdiffracted raySphere of reflectionhklS/S0/C1/2OLimiting
13、sphereg极限球衍射的极限条件衍射的极限条件可可见见，能能获获得得衍衍射射的的最最大大 倒倒 易易 球球 半半 径径 为为g=1/d 2/ :即即 的的晶晶面面不不可能发生衍射可能发生衍射2021/8/2524(1) 晶晶体体结结构构是是客客观观存存在在，点点阵阵是是一一个个数数学学抽抽象象。晶晶体体点点阵阵是是将将晶晶体体内内部部结结构构在在三三维维空空间间周周期期平平移移这这一一客观事实的抽象，有严格的物理意义。客观事实的抽象，有严格的物理意义。(2) 倒倒易易点点阵阵是是晶晶体体点点阵阵的的倒倒易易，不不是是客客观观实实在在，没没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。有特定的物理意
14、义，纯粹为数学模型和工具。(3) Ewald球球本本身身无无实实在在物物理理意意义义，仅仅为为数数学学工工具具。但但由由于于倒倒易易点点阵阵和和反反射射球球的的相相互互关关系系非非常常完完善善地地描描述述了了X射射线线和和电电子子在在晶晶体体中中的的衍衍射射，故故成成为为研研究究晶晶体衍射有力手段。体衍射有力手段。关于点阵、倒易点阵及关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考球的思考2021/8/2525概念回顾概念回顾l以以A A为圆心，为圆心，1/1/为半径所做的球称为为半径所做的球称为反反射球射球，这是因为只有在这个球面上的倒，这是因为只有在这个球面上的倒易点所对应的晶面才能产生衍射。有时易点所对应的晶面才能产生衍射。有时也称此球为也称此球为干涉球，干涉球， Ewald Ewald球球。l围绕围绕O点点转动倒易晶格，使每个倒易点形转动倒易晶格，使每个倒易点形成的球成的球称为称为倒易球倒易球l以以O O为圆心，为圆心，2/2/为半径的球称为为半径的球称为极限球极限球。2021/8/2526
