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1、12.3 角的平分线的性质目标：目标：1、能画已知角的角平分线；、能画已知角的角平分线；2、理解、掌握角平分线的、理解、掌握角平分线的性质性质.尺尺规作角的平分作角的平分线A A画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线即为所求射线即为所求A A为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？ O O想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB证明证明：在：在OM
2、COMC和和ONCONC中，中， OM=ONOM=ON（已知）（已知） MC=NCMC=NC（已知）（已知） OC=OCOC=OC（公共边）（公共边） OMC ONCOMC ONC（SSSSSS） MOC=NOCMOC=NOC（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） 即：即：OCOC平分平分AOBAOB练习:P50已知：已知：OC平分平分AOB，点，点P在在OC上，上，PD OA于于D， PE OB于于E求证求证: PD=PEAOBEDP PC证明：OC平分AOBDOPEOP又PDOA于D，PEOB于EODP=ODP=90在PDO和PEO中DOPEOP（已证）ODP=ODP=90（
3、已证）OP=OP（公共边） PDOPEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）通过刚才的学习，你能从中得出什么结论？提示：OC是角平分线，点P在OC上，可得出PD=PE角平分线的性质：角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两角的平分线上的点到角的两边的距离相等边的距离相等练习：P49思考随堂练习随堂练习 如图：在如图：在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF； 求证：求证：CF=EBACDEBF分分析析:要要证证CF=EB,首首先先我我们们想想到到的的是是要要证证它它们们所所在在的的两两个个三三角角形形全全等等,即即Rt
4、CDF RtEDB.现现已已有有一一个个条条件件BD=DF(斜斜边边相相等等),还需要我们找什么条件还需要我们找什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) 再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于点相交于点P. 求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等. 过点过点P作作PD 、PE、PF分别垂直于分别垂直于AB、BC、CA，垂足为垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边
5、的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到边到边AB、BC、 CA的距离相等的距离相等DEFABCPMN证明：证明：练习：练习：如图，如图，的的的外角的平的外角的平分线与分线与的外角的平分线相交于的外角的平分线相交于点求证：点到三边，点求证：点到三边，所在直线的距离相等所在直线的距离相等F FGH证明：证明：过点P作PHAC于H，作PFCB于F， 作PGAD于G。CE是角平分线，点P在CE上；PH=PF（在角平分线上的点到角在角平分线上的点到角的两边的距离相等的两边的距离相等 ）同理：PF=PGPH=PF=PG即点P到，三边所在直线的距离相等所在直线的距离相等1 1：画一个已知角的角平分线；：画一个已知角的角平分线；2 2：角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等3 3：角平分线的判定结论：角平分线的判定结论：到角的两边的距离相等的点在角平分线上到角的两边的距离相等的点在角平分线上
